上册 1.1 数列极限 第19题
📝 题目
19．证明或求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
利用 Stolz 公式得
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) a_{n+1}}{(n+1)^{2}-n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) a_{n+1}}{2 n+1}=\frac{a}{2}$ ．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}} \cdot \frac{n}{n+1}=\frac{a}{2}
$$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) \cos \frac{1}{n+1}}{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \frac{1}{n+1}=1$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n+1} a_{n+1}}{p_{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=a$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=2$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\ln (n+1)-\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}=1+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+(n-1)!}{n!}=1+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{(n+1)!-n!}=1$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln C_{n}^{k}}{n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) \ln (n+1)-\sum_{k=1}^{n+1} \ln k}{2 n+1}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) \ln (n+1)-n \ln n-\ln (n+1)}{(2 n+1)-(2 n-1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}}{2}=\frac{1}{2} .
$$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2 n+1)^{2}}{(n+1)^{3}-n^{3}}=\frac{4}{3}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+n)^{3}}{(1+2+\cdots+n+n+1)^{2}-(1+2+\cdots+n)^{2}}$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+n)^{3}}{(n+1)[2(1+2+\cdots+n)+n+1]}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+n)^{2}}{(1+n) n+n+1}=1 .
$$
（11）由 Stolz 公式得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{n} .
$$
由于 $\displaystyle \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leqslant \frac{\mathrm{e}}{3}<1$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}}{3}\right)^{n}=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}=0$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{d}-\frac{(n+1)^{d+1}}{d+1}+\frac{n^{d+1}}{d+1}}{(n+1)^{d}-n^{d}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+1\right)^{d}-\frac{1}{d+1}\left(\frac{1}{n}+1\right)^{d+1}+\frac{1}{d+1}}{\frac{1}{n}\left[\left(\frac{1}{n}+1\right)^{d}-1\right]} \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}\left(1+d \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)-\frac{1}{d+1}\left[1+(d+1) \frac{1}{n}+\frac{1}{2} d(d+1) \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right]+\frac{1}{d+1}}{d \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)} \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{d \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{2} d \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)}{d \frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用Stolz定理化简极限
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n}{n^2}$，分子分母均趋于无穷，使用Stolz定理：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1} - y_n}$$
其中 $x_n = a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n$，$y_n = n^2$。
计算差分：
$$x_{n+1} - x_n = (n+1)a_{n+1}, \quad y_{n+1} - y_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$$
因此原极限化为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)a_{n+1}}{2n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+1} \cdot a_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot a = \frac{a}{2}$$
公式：Stolz定理：$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L$ 则 $\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L$
提示：注意Stolz定理要求分母严格单调趋于无穷，这里$y_n=n^2$满足条件。
步骤 2/8
目标：处理第二个极限形式
第二个极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n}{n(n+1)}$ 可化为第一个极限乘以 $\frac{n}{n+1}$：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n}{n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n}{n^2} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{a}{2} \cdot 1 = \frac{a}{2}$$
提示：注意 $\frac{n}{n+1} \to 1$，因此极限不变。
步骤 3/8
目标：应用Stolz定理于(2)
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\cos 1 + 2\cos\frac{1}{2} + \cdots + n\cos\frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$，分子分母均趋于无穷，使用Stolz定理。
设 $x_n = \sum_{k=1}^n k\cos\frac{1}{k}$，$y_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$。
计算差分：
$$x_{n+1} - x_n = (n+1)\cos\frac{1}{n+1}, \quad y_{n+1} - y_n = n+1$$
因此原极限化为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)\cos\frac{1}{n+1}}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \cos\frac{1}{n+1} = \cos 0 = 1$$
公式：Stolz定理
提示：注意分母求和公式 $1+2+\cdots+n = n(n+1)/2$，但Stolz定理中直接使用差分简化。
步骤 4/8
目标：应用Stolz定理于(3)
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n p_k a_k}{\sum_{k=1}^n p_k}$，其中 $p_i > 0$ 且 $\sum p_i = +\infty$，使用Stolz定理。
设 $x_n = \sum_{k=1}^n p_k a_k$，$y_n = \sum_{k=1}^n p_k$。
差分：
$$x_{n+1} - x_n = p_{n+1} a_{n+1}, \quad y_{n+1} - y_n = p_{n+1}$$
因此原极限化为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1} a_{n+1}}{p_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = a$$
公式：Stolz定理
提示：注意 $p_{n+1}>0$ 可约去，且 $a_{n+1}\to a$。
步骤 5/8
目标：应用Stolz定理于(4)
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$，改写为 $\frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}}{\sqrt{n}}$，使用Stolz定理。
设 $x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$，$y_n = \sqrt{n}$。
差分：
$$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}, \quad y_{n+1} - y_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$
因此原极限化为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right) = 1+1 = 2$$
公式：Stolz定理，分母有理化
提示：注意分母差分需有理化处理。
步骤 6/8
目标：应用Stolz定理于(5)
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + \frac{a_2}{2} + \cdots + \frac{a_n}{n}}{\ln n}$，使用Stolz定理。
设 $x_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k}$，$y_n = \ln n$。
差分：
$$x_{n+1} - x_n = \frac{a_{n+1}}{n+1}, \quad y_{n+1} - y_n = \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
因此原极限化为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a_{n+1}}{n+1}}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \cdot \frac{1}{(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$
利用等价无穷小 $\ln(1+\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$，得：
$$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} \cdot \frac{1}{(n+1)\cdot \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} = a \cdot 1 = a$$
公式：Stolz定理，等价无穷小：$\ln(1+x)\sim x$
提示：注意 $\ln(1+1/n) \sim 1/n$ 在 $n\to\infty$ 时成立。
步骤 7/8
目标：处理(6)的极限
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$，注意到分子包含 $n!$，可拆分为：
$$\frac{1!+2!+\cdots+(n-1)!+n!}{n!} = 1 + \frac{1!+2!+\cdots+(n-1)!}{n!}$$
因此原极限 $= 1 + \lim_{n\to\infty} \frac{1!+2!+\cdots+(n-1)!}{n!}$。
对后一极限使用Stolz定理：设 $x_n = \sum_{k=1}^{n-1} k!$，$y_n = n!$，则
$$x_{n+1} - x_n = n!, \quad y_{n+1} - y_n = (n+1)! - n! = n! \cdot n$$
因此 $\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n! \cdot n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$，故原极限 $=1+0=1$。
公式：Stolz定理
提示：注意拆分后分子是 $1!+\cdots+(n-1)!$，分母是 $n!$，应用Stolz时需正确设置序列。
步骤 8/8
目标：应用Stolz定理于(7)
对于极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$，使用Stolz定理。
设 $x_n = \sum_{k=1}^n \sqrt[n]{k}$，$y_n = n$。注意这里 $\sqrt[n]{k}$ 依赖于 $n$，不能直接使用Stolz。正确做法是：
考虑 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$，且 $\sqrt[n]{k} \leq \sqrt[n]{n}$，由夹逼定理得极限为1。
但题目答案使用Stolz，需注意：实际上 $x_n$ 不是通常的求和形式，因为每一项都依赖于 $n$。Stolz定理要求 $x_n$ 是数列，这里 $x_n$ 定义中每一项随 $n$ 变化，不能直接应用。正确解法：
$$\frac{1+\sqrt[n]{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n} \leq \frac{n \cdot \sqrt[n]{n}}{n} = \sqrt[n]{n} \to 1$$
且 $\frac{1+\sqrt[n]{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n} \geq \frac{n \cdot 1}{n} = 1$，故极限为1。
公式：夹逼定理，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$
提示：注意Stolz定理不适用于这种每一项都依赖$n$的情况，应使用夹逼定理。
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