上册 1.1 数列极限 第29题

\section*{解题过程：} （1）（1）由于 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \geqslant \sqrt{x_{n} \cdot \frac{a}{x_{n}}}=\sqrt{a}, n=1,2, \cdots$ ，所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有下界 $\sqrt{a}$ 。 下面用两种方法证明收敛性。 方法 1：因 $\displaystyle x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)-x_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{x_{n}}-x_{n}\right)=\frac{1}{2} \frac{a-x_{n}^{2}}{x_{n}} \leqslant 0$ ，所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调递减，从而 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。 方法 2：记 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right), x>\sqrt{a}$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{x^{2}}\right) \leqslant \frac{1}{2}$ ．所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 为压缩数列，从而收玫。 设 $\lim _{n \rightarrow x} x_{n}=A$ ．由 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)$ 得，$\displaystyle A=\frac{1}{2}\left(A+\frac{a}{A}\right)$ ．从而 $A=\sqrt{a}, A=-\sqrt{a}$（舍去）。因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{a}$. （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 是正项级数，且 $x_{n} \geqslant \sqrt{a}$ ，于是 $$ 0 \leqslant \frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1=\frac{1}{x_{n+1}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right) \leqslant \frac{1}{\sqrt{a}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right) . $$ 由此得级数的部分和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{x_{k}}{x_{k+1}}-1\right) \leqslant \frac{1}{\sqrt{a}}\left(x_{1}-x_{n+1}\right) \leqslant \frac{1}{\sqrt{a}} x_{1}$ ，即级数的部分和有界，故级数收玫。 （2）由 $a>0$ 知，$x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ．由算术几何均值不等式有 $$ x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(x_{n}+x_{n}+x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right) \geqslant \sqrt[4]{x_{n} x_{n} x_{n} \frac{a}{x_{n}^{3}}}=\sqrt[4]{a} . $$ 所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有下界 $\sqrt[4]{a}$ 。 又 $\displaystyle \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{1}{4}\left(3+\frac{a}{x_{n}^{4}}\right) \leqslant \frac{1}{4}\left(3+\frac{a}{a}\right)=1$ ，所以 $x_{n+1} \leqslant x_{n}$ ，即数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，从而数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有极限． 设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，则 由 $x_{n} \geqslant \sqrt[4]{a}$ 知，$A \geqslant \sqrt[4]{a}>0$ 。在 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ 两边同时取极限得 $\displaystyle A=\frac{1}{4}\left(3 A+\frac{a}{A^{3}}\right)$ ．解之得 $A=\sqrt[4]{a}$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt[4]{a}$ ． （3）$\displaystyle x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}$ ，即 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right)$ ，采用与（2）相同的方法可证。