上册 1.1 数列极限 第32题
📝 题目
32．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：易得 $2 \leqslant x_{n+1} \leqslant 3$ ．记 $a=1+\sqrt{2}$ ，
$$
\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{x_{n-1}}-\frac{1}{a}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left|x_{n-1}-a\right| \leqslant \cdots \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}\left|x_{1}-a\right| .
$$
于是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1+\sqrt{2}$ ．
方法 2：易得 $2 \leqslant x_{n+1} \leqslant 3$ ．又
$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right|=\left|\left(2+\frac{1}{x_{n}}\right)-\left(2+\frac{1}{x_{n-1}}\right)\right|=\frac{1}{x_{n}} \frac{1}{x_{n-1}}\left|x_{n}-x_{n-1}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|x_{n}-x_{n-1}\right|, n=1,2,3, \cdots
$$
即数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是压缩数列．于是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，显然 $2 \leqslant A \leqslant 3$ ．在 $\displaystyle x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}$ 两边取极限，得 $\displaystyle A=2+\frac{1}{A}$ ．解之得 $A=\sqrt{2}+1$ ．所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}+1$ ．
（2）易得 $1 \leqslant x_{n} \leqslant 2$ ．记 $\displaystyle a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ ．
$$
\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{x_{n-1}}-\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{a x_{n-1}}\left|x_{n-1}-a\right| \leqslant \frac{1}{a}\left|x_{n-1}-a\right| \leqslant \cdots \leqslant \frac{1}{a^{n-1}}\left|x_{1}-a\right| .
$$
于是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ ．
（3）记 $\displaystyle x_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ．由已知可得 $\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=1+\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ ，即 $\displaystyle x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}$ ．令 $\displaystyle y_{n}=\frac{1}{x_{n}}$ ，则 $\displaystyle y_{n+1}=\frac{1}{1+y_{n}}$ 且 $y_{1}=1$ ．此题转化为（2）．所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，从而 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$ ．
（4）方法 1：记 $\displaystyle a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ．
$$
\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{1+x_{n-1}}-\frac{1}{1+a}\right|=\frac{\left|x_{n-1}-a\right|}{\left(1+x_{n-1}\right)(1+a)} \leqslant \frac{1}{1+a}\left|x_{n-1}-a\right|=a\left|x_{n-1}-a\right| .
$$
即 $\left\{x_{n}\right\}$ 是压缩数列．于是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ．
方法 2：当 $n \geqslant 2$ 时， $\displaystyle 00$ 同号，所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调增加．又 $\displaystyle 1 \leqslant x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}} \leqslant 2$ ，所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界。所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。记 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．由 $1 \leqslant x_{n+1} \leqslant 2$ 知， $1 \leqslant a \leqslant 2$ 。在 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$ 两边取极限得 $\displaystyle a=1+\frac{a}{1+a}$ ．解得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ．
（6）易知，又 $2 \leqslant x_{n+1} \leqslant 3$ ，即数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界．记 $\displaystyle a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ ，则
$$
\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{x_{n-1}}}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right|=\frac{\left|x_{n-1}-a\right|}{\sqrt{x_{n-1} a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{x_{n-1}}\right)} \leqslant \frac{1}{2}\left|x_{n-1}-a\right| .
$$
即数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是压缩数列，于是数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+x} x_{n}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明数列有界
由递推公式 $x_{n+1}=2+\frac{1}{x_n}$，且 $x_1=2$，$x_2=2+\frac{1}{2}$，易得 $2 \leq x_n \leq 3$ 对所有 $n$ 成立。
提示：注意初始值范围，归纳证明时需验证基础步和递推步。
步骤 2/5
目标：证明数列是压缩映射
计算相邻项差：$|x_{n+1}-x_n| = \left|\left(2+\frac{1}{x_n}\right)-\left(2+\frac{1}{x_{n-1}}\right)\right| = \frac{|x_n-x_{n-1}|}{x_n x_{n-1}} \leq \frac{1}{4}|x_n-x_{n-1}|$，因为 $x_n, x_{n-1} \geq 2$。
公式：|x_{n+1}-x_n| \leq \frac{1}{4}|x_n-x_{n-1}|
提示：注意分母下界为4，确保压缩因子小于1。
步骤 3/5
目标：由压缩性得收敛
由压缩映射原理，数列 $\{x_n\}$ 收敛。设极限为 $A$，则 $A$ 满足 $A=2+\frac{1}{A}$。
提示：压缩映射原理要求压缩因子小于1，这里为1/4。
步骤 4/5
目标：解方程求极限
解方程 $A=2+\frac{1}{A}$，即 $A^2-2A-1=0$，得 $A=1\pm\sqrt{2}$。由 $A\geq2$，取 $A=1+\sqrt{2}$。
公式：A^2-2A-1=0
提示：舍去负根，因为极限为正。
步骤 5/5
目标：总结极限值
因此，$\lim_{n\to\infty} x_n = 1+\sqrt{2}$。
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