上册 1.1 数列极限 第34题
📝 题目
34．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}, n=3,4, \cdots$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right), n=2,3,4, \cdots$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{3}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $0<\alpha<1,\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\alpha x_{n}+(1-\alpha) x_{n-1}, n=3,4, \cdots$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 是收敛的，用 $x_{1}, x_{2}$ 表示 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $x_{0}=a, x_{1}=b, 0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $\displaystyle x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}$ ，所以
$$
x_{n+1}-x_{n}=\frac{x_{n}+x_{n-1}}{2}-x_{n}=\frac{x_{n}-x_{n-1}}{-2}=\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{(-2)^{2}}=\cdots=\frac{b-a}{(-2)^{n-1}} .
$$
故
$$
\begin{aligned}
x_{n+1} & =\left(x_{n+1}-x_{n}\right)+\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\cdots+\left(x_{2}-x_{1}\right)+x_{1} \\
& =\frac{b-a}{(-2)^{n-1}}+\frac{b-a}{(-2)^{n-2}}+\cdots+\frac{b-a}{(-2)^{0}}+a=(b-a) \cdot \frac{1-\left(-2^{-1}\right)^{n}}{1-\left(-2^{-1}\right)}+a .
\end{aligned}
$$
所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{b-a}{1-\left(-2^{-1}\right)}+a=\frac{a+2 b}{3} .
$$
（2）由条件得
$$
x_{n}+x_{n-1}=\frac{1}{2}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right)+x_{n-1}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+x_{n-2}\right)
$$
反复递归得
$$
x_{n}+x_{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(x_{1}+x_{0}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(b+a), n=1,2, \cdots
$$
于是
$$
\begin{aligned}
x_{2 n+1} & =\left(x_{2 n+1}+x_{2 n}\right)-\left(x_{2 n}+x_{2 n-1}\right)+\cdots-\left(x_{2}+x_{1}\right)+\left(x_{1}+x_{0}\right)-x_{0} \\
& =\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n}(a+b)-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-1}(a+b)+\cdots-\frac{1}{2}(a+b)+(a+b)-a=(a+b) \frac{1-\left(-2^{-1}\right)^{2 n+1}}{1-\left(-2^{-1}\right)}-a . \\
x_{2 n}= & \left(x_{2 n}+x_{2 n-1}\right)-\left(x_{2 n-1}+x_{2 n-2}\right)+\cdots+\left(x_{2}+x_{1}\right)-\left(x_{1}+x_{0}\right)+x_{0} \\
= & \left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-1}(a+b)-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n-2}(a+b)+\cdots+\frac{1}{2}(a+b)-(a+b)+a=-(a+b) \frac{1-\left(-2^{-1}\right)^{2 n}}{1-\left(-2^{-1}\right)}+a .
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=\frac{2}{3}(a+b)-a=\frac{2 b-a}{3} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=-\frac{2}{3}(a+b)+a=\frac{a-2 b}{3}
\end{aligned}
$$
故当 $a=2 b$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；当 $a \neq 2 b$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 不存在．
（3）由条件得
$$
2 x_{n}+x_{n-1}=\frac{2}{3}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right)+x_{n-1}=\frac{1}{3}\left(2 x_{n-1}+x_{n-2}\right)
$$
反复递归得
$$
2 x_{n}+x_{n-1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(2 x_{1}+x_{0}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2 b+a), n=1,2, \cdots
$$
于是
$$
x_{n}=-\frac{1}{2} x_{n-1}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2 b+a), n=1,2, \cdots
$$
则
$$
\begin{aligned}
x_{n}-x_{n-1} & =-\frac{1}{2}\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2 b+a)-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}(2 b+a) \\
& =-\frac{1}{2}\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}(2 b+a)=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)-\frac{1}{6}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}(2 b+a)
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
x_{n+1} & =\left(x_{n+1}-x_{n}\right)+\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\cdots+\left(x_{2}-x_{1}\right)+x_{1} \\
& =\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\cdots+1\right](b-a)-\frac{1}{6}(2 b+a)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-3}+\cdots+1\right]+a \\
& =(b-a) \cdot \frac{1-\left(-2^{-1}\right)^{n}}{1-\left(-2^{-1}\right)}-\frac{1}{6}(2 b+a) \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}}\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right]+a .
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{2}{3}(b-a)-\frac{1}{2}(2 b+a)+a$ ．
（4）因
$$
x_{n+1}-x_{n}=\alpha x_{n}+(1-\alpha) x_{n-1}-x_{n}=(\alpha-1)\left(x_{n}-x_{n-1}\right)=(\alpha-1)^{2}\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)=\cdots=(\alpha-1)^{n-1}\left(x_{2}-x_{1}\right),
$$
故
$$
x_{n+1}=\left(x_{n+1}-x_{n}\right)+\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\cdots+\left(x_{2}-x_{1}\right)+x_{1}=\left[(\alpha-1)^{n-1}+(\alpha-1)^{n-2}+\cdots+1\right]\left(x_{2}-x_{1}\right)+x_{1} .
$$
所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2-\alpha}+x_{1}$ ．
（5）记 $y_{n}=\ln x_{n}$ ，则 $\displaystyle y_{n+1}=\frac{y_{n}+y_{n-1}}{2}$ ．由（1）得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} y_{n}=\frac{1}{3}(\ln a+2 \ln b)$ ．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\mathrm{e}^{\frac{1}{3}(\ln a+2 \ln b)}=\sqrt[3]{a b^{2}}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/12
目标：建立递推关系并求相邻项差
由 $x_n = \frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}$，得 $x_{n+1}-x_n = \frac{x_n+x_{n-1}}{2}-x_n = \frac{x_{n-1}-x_n}{2} = -\frac{1}{2}(x_n-x_{n-1})$。反复迭代得 $x_{n+1}-x_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)$。
公式：x_{n+1}-x_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}(b-a)
提示：注意符号变化，每次迭代乘以 $-\frac{1}{2}$。
步骤 2/12
目标：求和得到通项公式
将 $x_{n+1}$ 表示为累加和：$x_{n+1} = (x_{n+1}-x_n) + (x_n-x_{n-1}) + \cdots + (x_2-x_1) + x_1 = (b-a)\sum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right)^k + a$。利用等比数列求和公式：$\sum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-(-1/2)^n}{1-(-1/2)}$。
公式：\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r}
提示：注意首项为 $k=0$ 对应 $x_2-x_1$。
步骤 3/12
目标：取极限得到结果
当 $n\to\infty$ 时，$\left(-\frac{1}{2}\right)^n \to 0$，故 $\lim_{n\to\infty} x_{n+1} = (b-a)\frac{1}{1+1/2} + a = \frac{2(b-a)}{3} + a = \frac{a+2b}{3}$。
提示：极限与 $n$ 的奇偶无关，因为 $(-1/2)^n$ 趋于0。
步骤 4/12
目标：建立递推关系并求相邻项和
由 $x_n = \frac{1}{2}(x_{n-2}-x_{n-1})$，得 $x_n + x_{n-1} = \frac{1}{2}(x_{n-2}-x_{n-1}) + x_{n-1} = \frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2})$。反复迭代得 $x_n + x_{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a+b)$。
公式：x_n + x_{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a+b)
提示：注意 $n$ 从1开始，$x_1+x_0 = a+b$。
步骤 5/12
目标：分别求奇数项和偶数项的通项
对于奇数项 $x_{2n+1}$，利用交错求和：$x_{2n+1} = (x_{2n+1}+x_{2n}) - (x_{2n}+x_{2n-1}) + \cdots - (x_2+x_1) + (x_1+x_0) - x_0$。代入和公式得 $x_{2n+1} = (a+b)\sum_{k=0}^{2n} (-1/2)^k - a$。类似地，$x_{2n} = -(a+b)\sum_{k=0}^{2n-1} (-1/2)^k + a$。
提示：注意符号交替，奇数项和偶数项表达式不同。
步骤 6/12
目标：取极限并讨论收敛性
当 $n\to\infty$ 时，$\sum_{k=0}^{\infty} (-1/2)^k = \frac{1}{1+1/2} = \frac{2}{3}$。故 $\lim x_{2n+1} = \frac{2}{3}(a+b)-a = \frac{2b-a}{3}$，$\lim x_{2n} = -\frac{2}{3}(a+b)+a = \frac{a-2b}{3}$。两极限相等当且仅当 $a=2b$，此时极限为0；否则极限不存在。
提示：注意奇偶子列极限不同时原极限不存在。
步骤 7/12
目标：建立递推关系并求线性组合
由 $x_n = \frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{3}$，得 $2x_n + x_{n-1} = \frac{2}{3}(x_{n-2}-x_{n-1}) + x_{n-1} = \frac{1}{3}(2x_{n-1}+x_{n-2})$。反复迭代得 $2x_n + x_{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2b+a)$。
公式：2x_n + x_{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2b+a)
提示：注意系数2的由来。
步骤 8/12
目标：解出通项并取极限
由 $2x_n + x_{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2b+a)$ 解出 $x_n = -\frac{1}{2}x_{n-1} + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2b+a)$。然后求 $x_n$ 的表达式（类似(1)），最终极限为 $\frac{2}{3}(b-a) - \frac{1}{2}(2b+a) + a = \frac{a-2b}{3}$。
提示：注意计算极限时 $(-1/2)^n$ 和 $(2/3)^n$ 均趋于0。
步骤 9/12
目标：建立递推关系并求相邻项差
由 $x_{n+1} = \alpha x_n + (1-\alpha)x_{n-1}$，得 $x_{n+1}-x_n = (\alpha-1)(x_n-x_{n-1})$。反复迭代得 $x_{n+1}-x_n = (\alpha-1)^{n-1}(x_2-x_1)$。
公式：x_{n+1}-x_n = (\alpha-1)^{n-1}(x_2-x_1)
提示：注意 $\alpha-1$ 为负，但绝对值小于1。
步骤 10/12
目标：求和得到通项并取极限
累加得 $x_{n+1} = (x_2-x_1)\sum_{k=0}^{n-1}(\alpha-1)^k + x_1$。当 $n\to\infty$ 时，$\sum_{k=0}^{\infty}(\alpha-1)^k = \frac{1}{1-(\alpha-1)} = \frac{1}{2-\alpha}$。故 $\lim x_n = \frac{x_2-x_1}{2-\alpha} + x_1$。
提示：注意 $0<\alpha<1$ 保证 $|\alpha-1|<1$，级数收敛。
步骤 11/12
目标：取对数转化为线性递推
令 $y_n = \ln x_n$，则 $x_{n+1} = \sqrt{x_n x_{n-1}}$ 取对数得 $y_{n+1} = \frac{y_n + y_{n-1}}{2}$。由(1)知 $\lim y_n = \frac{y_0 + 2y_1}{3} = \frac{\ln a + 2\ln b}{3}$。
公式：y_{n+1} = \frac{y_n + y_{n-1}}{2}
提示：注意 $x_n>0$ 保证对数有意义。
步骤 12/12
目标：取指数得到原数列极限
由 $\lim y_n = \frac{\ln a + 2\ln b}{3}$，得 $\lim x_n = e^{\lim y_n} = e^{(\ln a + 2\ln b)/3} = \sqrt[3]{ab^2}$。
提示：注意指数运算性质。
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