上册 1.1 数列极限 第42题
📝 题目
42．设 $S$ 为有界数集，证明：若 $a=\sup S$ 不属于 $S$ ，则存在严格递增数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $a=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $a=\sup S$ 不属于 $S$ ，所以 $\forall x \in S, x0$ ，存在 $x \in S$ ，使得 $x>a-\varepsilon$ 。于是
取 $\varepsilon_{1}=1, \exists x_{1} \in S$ ，使 $a-\varepsilonx_{1}$ ；
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一般地，取 $\displaystyle \varepsilon_{n}=\min \left(\frac{1}{2}, a-x_{n-1}\right)$ ，则 $\exists x_{n} \in S$ ，使 $a-\varepsilon_{n}x_{n-1}$ ； ．．．．．．
无限地重复以上步骤，得到严格递增数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，满足：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset S, a-\frac{1}{n}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知 $S$ 为有界数集，$a = \sup S$ 且 $a \notin S$。这意味着 $a$ 是 $S$ 的上确界，但 $a$ 本身不是 $S$ 中的元素，因此对于任意 $x \in S$，都有 $x < a$。
提示：注意区分上确界与最大值：上确界不一定属于集合，而最大值必须属于集合。
步骤 2/6
目标：利用上确界性质构造初始点
由上确界定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $x \in S$ 使得 $x > a - \varepsilon$。取 $\varepsilon_1 = 1$，则存在 $x_1 \in S$ 满足 $a - 1 < x_1 < a$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists x \in S: x > a - \varepsilon$
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取要保证 $x_1$ 存在，且 $x_1 < a$ 是因为 $a \notin S$。
步骤 3/6
目标：递推构造后续点
假设已构造出 $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$，取 $\varepsilon_n = \min\left(\frac{1}{n}, a - x_{n-1}\right)$。由于 $a - x_{n-1} > 0$，$\varepsilon_n > 0$，则存在 $x_n \in S$ 满足 $a - \varepsilon_n < x_n < a$。
公式：$\varepsilon_n = \min\left(\frac{1}{n}, a - x_{n-1}\right)$
提示：确保 $\varepsilon_n$ 足够小，使得 $x_n > x_{n-1}$，因为 $x_n > a - \varepsilon_n \ge a - (a - x_{n-1}) = x_{n-1}$。
步骤 4/6
目标：验证数列严格递增
由构造过程，$x_n > a - \varepsilon_n \ge a - (a - x_{n-1}) = x_{n-1}$，因此 $x_n > x_{n-1}$，数列严格递增。
公式：$x_n > x_{n-1}$
提示：注意 $\varepsilon_n \le a - x_{n-1}$ 保证了 $x_n > x_{n-1}$。
步骤 5/6
目标：证明数列收敛到 $a$
由构造，$a - \frac{1}{n} \le a - \varepsilon_n < x_n < a$，因此 $0 < a - x_n < \frac{1}{n}$。由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
公式：$0 < a - x_n < \frac{1}{n}$
提示：注意 $\varepsilon_n \le \frac{1}{n}$，所以 $a - x_n < \varepsilon_n \le \frac{1}{n}$。
步骤 6/6
目标：总结结论
我们构造了严格递增数列 $\{x_n\} \subset S$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，命题得证。
提示：该结论说明上确界即使不属于集合，也可由集合中的严格递增数列逼近。
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