上册 1.1 数列极限 第44题

答：正确．不妨设 $\left\{a_{n_{i}}\right\}$ 收玫于 $a$ ，利用单调性不难证明 $\left\{a_{n}\right\}$ 也收玫于 $a$ ．见题 44（4）． （2）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的子序列 $\left\{a_{2 n}\right\}$ 和 $\left\{a_{2 n+1}\right\}$ 收敛，则序列 $\left\{a_{n}\right\}$ 也收敛．（武汉大学 2003，山西师大 2007） 答：错误．若 $\left\{a_{2 n}\right\}$ 和 $\left\{a_{2 n+1}\right\}$ 收玫于不同的极限，那么 $\left\{a_{n}\right\}$ 不收玫．如 $a_{n}=(-1)^{n}$ ． （3）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充分必要条件是子列 $\left\{a_{2 k-1}\right\}$ 和 $\left\{a_{2 k}\right\}$ 都收敛，且有相同的极限．（浙江理工 2012） 答：正确．见题 44（7）． （4）序列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，则序列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 收敛，其逆命题也成立．（武汉大学 2003） 答：错误．由序列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫可得序列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 收玫，但其逆命题不成立，如 $a_{n}=(-1)^{n}$ ． （5）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个数列，若在任一子列 $\left\{a_{n_{t}}\right\}$ 中均存在收敛子列 $\left\{a_{n_{t}}\right\}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 必为收敛列．（北京大学 1999） 答：错误。例如，$\left\{a_{n}\right\}: 0,1,0,1, \cdots$ ，它的任一子列 $\left\{a_{n_{1}}\right\}$ 中均存在收敛子列。 （6）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=0$ ．（华东师大2003） 答：错误。例如， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ，但 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1$ 。 （7）若 $\left\{x_{n}\right\}$ 是互不相等的非无穷大数列，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 至少存在一个聚点 $x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ ．（华东师大 2004） 答：正确．由聚点定理，点集 $\left\{x_{n_{i}}\right\}$ 至少存在一个聚点 $x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ ． （8） $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$ 的一个充要条件是：存在正整数 $N$ ，对于任意正数 $\varepsilon$ ，当 $n>N$ 时均有 $\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$. （华东师大 2005） 答：错误。例如：$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, A=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$ ，但是不存在正整数 $N$ ，对于任意正数 $\varepsilon$ ，当 $n>N$ 时均有 $\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$ 。事实上，对此数列 $a_{n}$ ，若存在正整数 $N$ ，对于任意正数 $\varepsilon$ ，当 $n>N$ 时均有 $\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$ ，则当 $n>N$ 时均有 $a_{n}=A$ ，即 $a_{n}$ 是常数列，显然与 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$ 产生矛盾． （9）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充分必要条件是对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，对一切 $n>N$ ，使得 $\left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ．（浙江理工 2013，东师大 2006，扬州大学 2011） 答：正确．由条件知，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时有 $\left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，于是对任意正整数 $p$ 有 $\left|a_{n+p}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，进而 $\left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\left|a_{n+p}-a_{N}\right|+\left|a_{n}-a_{N}\right|<2 \varepsilon$ 。由此知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是基本数列，所以 $\left\{a_{n}\right\}$收敛。 （10）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是对任意 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，恒有 $\left|a_{2 n}-a_{n}\right|<\varepsilon$. ．（华东师大 2008） 答：错误。设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，恒有 $\left|a_{2 n}-a_{n}\right|<\varepsilon$ ． 反之不真，反例：$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 4}+\cdots+\frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}$. 由级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 发散．但 $\displaystyle a_{2 n}-a_{n} \leqslant \frac{n}{(n+2) \ln (n+2)} \rightarrow 0, n \rightarrow+\infty$ ． （11）$\left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $a$ 的充要条件：$\exists \varepsilon_{0}>0$ ，对 $\forall N>0, \exists m>N$ 有 $\left|a_{m+p}-a_{m}\right|<\varepsilon_{0}$ 对任意自然数 $p$均成立．（西安交大 2010） 答：错误。例如，对 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，对任意正整数 $p$ ，就有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+p}\right)=0$ ，但 $\left\{a_{n}\right\}$ 发散． （12）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：对任意正整数 $p, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+p}-x_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫．（兰州大学 2005，重庆大学 2003） 答：错误．例如，对 $\displaystyle x_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，对任意正整数 $p$ ，就有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+p}-x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+p}\right)=0$ ，但 $\left\{x_{n}\right\}$ 发散． （13）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $a$ 的充要条件是对任意给定的正数 $\varepsilon,(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 中含有 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无限多项．（安徽大学 2002，上海交大 2001） 答：错误。例如，$a_{n}=(-1)^{n}$ ，在 $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$ 中有 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无限多项，而 $\left\{a_{n}\right\}$ 不收玫。 （14）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 0 ，则必定存在正数 $\alpha$ ，使对一切充分大的 $n$ 有 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{n^{\alpha}}$ ．（东南大学 2007） 答：错 误．例如，$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\ln n}$ ，则 $\displaystyle \forall \alpha>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^{\alpha}}=0$ ，从而 $\displaystyle \exists N, \forall n>N, 0<\frac{\ln n}{n^{\alpha}}<1$ ，于是有 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n^{\alpha}}$. （15）若序列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则它一定有界．（中南大学 2008） 答：正确． （16）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，则 $\min \left\{x_{n}\right\}$ 必存在．（南京师大 2003） 答：正确。由 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 知存在 $N>0$ ，当 $n>N$ 时，$x_{n}>x_{1}$ 。显然，$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 中的最小者为 $\left\{x_{n}\right\}$ 的下确界。 （17）设 $\left\{x_{n}\right\}$ 为实数列，若 $\left\{\left|x_{n}\right|\right\}$ 不趋向于无穷大，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 必存在收敛子列。（厦门大学 2004） 答：正确．数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 为有界数列，从而有收玫的子列． （18）若某数列的任一子数列都发散，则此数列必无界．（吉林大学 2010） 答：正确．因为有界数列必有收敛的子列． （19）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \neq \infty$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=\infty$ 。（福建师大 2004） 答：错误。例如，$\displaystyle x_{n}=n, y_{n}=\frac{1}{n^{2}}$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0$ 。 （20）若数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow x} x_{n} y_{n}=0$ ，且 $\left\{x_{n}\right\}$ 无界，则 $\left\{y_{n}\right\}$ 必有界．（西安电子科技2008） 答：错 误。例如，取 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: 1, \sqrt{2}, \frac{1}{3}, \sqrt{4}, \frac{1}{5}, \cdots ;\left\{y_{n}\right\}: 1, \frac{1}{2}, \sqrt{3}, \frac{1}{4}, \sqrt{5}, \cdots$ ，则 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 无界，但 $\displaystyle \left\{x_{n} y_{n}\right\}: 1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{4}}, \cdots$ ，满足 $\lim _{n \rightarrow x} x_{n} y_{n}=0$ 。 （21）若 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 均为无界数列，则 $\left\{x_{n} y_{n}\right\}$ 无界．（浙江师大 2013） 答：错误。例如，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}: 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, \cdots ;\left\{y_{n}\right\}: 1,2, \frac{1}{3}, 4, \frac{1}{5}, \cdots$ ，则 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 无界，但 $x_{n} y_{n}: 1,1,1, \cdots$ 有界。 （22）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=0$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 中至少有一个为无穷小量．（山西师大2007） 答：错误。例如，$\displaystyle a_{n}=\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}, b_{n}=\frac{1-(-1)^{n-1}}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-1}{2}=0$ ，但 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 均不收敛。 （23）已知数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 有界，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-y_{n}\right)=0$ ，问 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 是否存在。若存在，说明理由，若不存在，举例说明．（上海大学 2007） 答：错误。例如，$x_{n}=y_{n}=(-1)^{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 不存在，但 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-y_{n}\right)=0$ 。 （24）若序列 $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ 和序列 $\left\{x_{n}-y_{n}\right\}$ 都收敛，则序列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和序列 $\left\{y_{n}\right\}$ 必收敛．（中南大学 2008） 答：正确。因 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2}\left[\left(x_{n}+y_{n}\right)+\left(x_{n}-y_{n}\right)\right], y_{n}=\frac{1}{2}\left[\left(x_{n}+y_{n}\right)-\left(x_{n}-y_{n}\right)\right]$ 。 （25）序列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和序列 $\left\{y_{n}\right\}$ 都发散，但它们的和可以为收敛数列．（中科大2012） 答：正确．例如，$x_{n}=(-1)^{n}, y_{n}=(-1)^{n-1}$ ，序列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ 都发散，但它们的和 $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}=\{0\}$收玫。 （26）若序列 $\left\{x_{n} y_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ 必有一序列收敛．（中南大学2007） 答：错误。例如，$x_{n}=y_{n}=(-1)^{n},\left\{x_{n} y_{n}\right\}$ 收玫，但 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ 均发散。 （27）若 $\left\{x_{n}\right\}$ 为有界数列，记 $\beta=\sup \left\{x_{n}\right\}$ ，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 必有子列 $\left\{x_{n_{1}}\right\}$ ，使得 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=\beta$ 。（上海交大 2007） 答：错误。例如，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}=\left\{100,1, \frac{1}{2}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots\right\}, \beta=100,\left\{x_{n}\right\}$ 为有界数列，但无子列 $\left\{x_{n_{1}}\right\}$ ，使得 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{1}}=\beta$. （28）若 $a_{n} \leqslant x_{n} \leqslant b_{n}, n \in \mathbf{N}$ ，而数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 必都收敛．（上海交大 2002，西安电子科技 2012） 答：正确。由 $0 \leqslant x_{n}-a_{n} \leqslant b_{n}-a_{n}$ 得 $\left\{x_{n}-a_{n}\right\}$ 收玫。由 $a_{n}=\left(a_{n}-x_{n}\right)+x_{n}$ 得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，由 $b_{n}=\left(b_{n}-a_{n}\right)+a_{n}$ 得数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 收玫。 （29）设 $\left\{\left(a_{n}, b_{n}\right)\right\}$ 是一个开区间序列，$\left(a_{n+1}, b_{n+1}\right) \subset\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0$ ，则不存在唯一的实数 $\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 。（西安交大 2009） 答：错误。例如，$\displaystyle \left(a_{n}, b_{n}\right)=\left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right), 0 \in \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}, b_{n}\right)$ ． （30）若实数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有上界，则 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 有限．（西安交大 2009） 答：错误．$\left\{x_{n}\right\}=\{-1,-2,-3, \cdots\}, \sup _{k>n}\left\{x_{k}\right\}=-n, \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}=-\infty$ ．