上册 2.1 函数的连续性 第36题

答：正确．令 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}A, x=a, \\ f(x), x \in(a, b) \text { ，则 } F(x) \text { 在 }[a, b] \text { 上连续，且 } F(a) F(b)<0, F(a) \neq 0 \neq F(b) \text { ．}\end{array}\right.$由零点定理知，$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $F(\xi)=0$ ，故 $f(\xi)=F(\xi)=0$ ． （2）区间 $(a, b)$ 上的连续函数必能达到最小值．（吉林大学 2006） 答：错误。如 $f(x)=x, x \in(0,1)$ 。 （3）有界区间上的有界连续函数必有最大值．（吉林大学 2003） 答：错误。如 $f(x)=x, x \in(0,1)$ 。 （4）连续函数一定是有界函数．（吉林大学 2007） 答：错误。如 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}, x \in(0,1)$ ． （5）$y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续当且仅当 $y=|f(x)|$ 在区间 $(a, b)$ 内连续．（东南大学 2006） 答：错误．如 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ -1, x \in(0,1)-\mathbf{Q},\end{array}\right.$ 其中 $\mathbf{Q}$ 为有理数集． （6）连续函数把有限闭区间映射成有限闭区间，即若函数 $f:[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ 连续，则 $f([a, b])$ 也必定是某个有限闭区间 $[c, d]$ ．（东南大学 2004） 答：正确。由介值定理可得。 （7）若对 $\forall \varepsilon>0, f(x)$ 在 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．（福建师大 2004，中南大学 2007） 答：错误。如 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x=0, \\ x, x \in(0,1), \\ 0, x=1 .\end{array}\right.$ （8）对 $\forall \delta>0, f(x)$ 在 $x_{0} \in[a+\delta, b-\delta]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续．（郑州大学 2009） 答：正确．$\forall x_{0} \in(a, b)$ ，存在 $[a+\delta, b-\delta]$ 使 $x_{0} \in[a+\delta, b-\delta]$ ，由 $f(x)$ 在 $[a+\delta, b-\delta]$ 上连续知， $f(x)$ 在 $x_{0}$ 上连续．于是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续． （9）若 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续且无界，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty}|f(x)|=+\infty$ 。（苏州大学 2009／2011） 答：错误。 $f(x)=x \sin x$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续且无界，但 $\lim _{x \rightarrow+\infty}|f(x)|$ 不存在。 （10）函数 $f(x)$ 在某点 $x_{0}$ 连续的充分必要条件为：对任何收敛到 $x_{0}$ 的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 均收敛。（厦门大学 2005） 答：错误。 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 存在，但不一定等于 $f\left(x_{0}\right)$ ． （11）设函数 $f(x)$ 定义在 $(a, b)$ 上，则 $f(x)$ 在点 $x_{0} \in(a, b)$ 处连续的充要条件为 $\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} m(\delta)=\lim _{\delta \rightarrow 0} M(\delta)$ ，其中 $M(\delta)=\sup _{x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)} f(x), m(\delta)=\inf _{x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)} f(x)$ 。（厦门大学 2005） 答：正确．若 $f(x)$ 在点 $x_{0} \in(a, b)$ 处连续，由 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$ 及 $m(\delta) \leqslant f(x) \leqslant M(\delta)$ 得 $$ \lim _{\delta \rightarrow 0^{-}} m(\delta)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{-}} M(\delta)=f\left(x_{0}\right) $$ 反之，对 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), m(\delta) \leqslant f(x) \leqslant M(\delta)$ ．若 $\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} m(\delta)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{-}} M(\delta)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$ ，即 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续． （12）设 $f(x)$ 为定义在区间 $I$ 上的单调函数，若 $x_{0} \in I$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $x_{0}$ 必是 $f(x)$ 的第一类间断点。（浙江理工 2013） 答：正确．由单调有界定理知，$f\left(x_{0}+0\right)$ 与 $f\left(x_{0}-0\right)$ 存在，因此 $x_{0}$ 必是 $f$ 的第一类间断点． （13）若函数 $f$ 在 $u_{0}$ 连续， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0}$ 则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=f\left(u_{0}\right)$ 。（华东师大 2013） 答：正确。由 $f$ 在 $u_{0}$ 连续，得 $\forall \varepsilon>0, \exists \eta>0$ ，当 $\left|u-u_{0}\right|<\eta$ 时，$\left|f(u)-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon$ 。 由 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0}$ ，则对上述 $\eta>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时，$\left|g(x)-u_{0}\right|<\eta$ ，从而 $\left|f(g(x))-f\left(u_{0}\right)\right|<\varepsilon$ ，即 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=f\left(u_{0}\right)$ ．