上册 2.3 函数的零点 第28题
📝 题目
28．设 $f(x) \in C[0,1]$ ．证 明：（1）存 在一 点 $\xi \in[0,1]$ 使 $\sin ^{2}(\pi f(\xi))=\xi$ ；（2）若 $f(x)=x$ ，则 $\sin ^{2}(\pi x)=x$ 有且仅有三个根．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）令 $F(x)=\sin ^{2}(\pi f(x))-x$ ，则 $F(0)=\sin ^{2}(\pi f(0)) \geqslant 0, F(1)=\sin ^{2}(\pi f(1))-1 \leqslant 0$ ．由连续函数零点定理，存在 $x_{0} \in[0,1]$ ，使 $F\left(x_{0}\right)=0$ ，即存在 $x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\sin ^{2}\left(\pi f\left(x_{0}\right)\right)=x_{0}$ ．
（2）令 $\displaystyle t=\pi x, g(t)=\sin ^{2} t-\frac{t}{\pi}$ 。当 $t<0$ 时，$g(t)>0$ ，当 $t>\pi$ 时，$g(t)<0$ 。故 $g(t)=0$ 的根只能分布在 $[0, \pi]$ 上．易知 $\displaystyle g(0)=0, g^{\prime}(t)=\sin 2 t-\frac{1}{\pi}$ ．
由函数图像可知，函数 $y=\sin 2 t$ 与 $\displaystyle y=\frac{1}{\pi}$ 在 $[0, \pi]$ 上只有两个交点：$\displaystyle t_{1}, t_{2}\left(0g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}>0, g(\pi)=-1$ ．由连续函数零点定理知，$g(t)$ 在 $[0, \pi]$上只有三个实根，对应 $\sin ^{2} \pi x=x$ 有且仅有三个根（分布在 $[0,1] \mathrm{H}$ ．）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并利用零点定理
令 $F(x)=\sin^2(\pi f(x))-x$。由于 $f(x)\in C[0,1]$，$F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。计算端点值：$F(0)=\sin^2(\pi f(0))\ge 0$，$F(1)=\sin^2(\pi f(1))-1\le 0$。由连续函数零点定理，存在 $\xi\in[0,1]$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $\sin^2(\pi f(\xi))=\xi$。
公式：零点定理：若 $F(a)F(b)\le 0$，则存在 $c\in[a,b]$ 使得 $F(c)=0$。
提示：注意 $\sin^2$ 的值域为 $[0,1]$，因此 $F(0)\ge 0$，$F(1)\le 0$ 成立。
步骤 2/5
目标：将方程转化为函数零点问题
当 $f(x)=x$ 时，方程变为 $\sin^2(\pi x)=x$。令 $t=\pi x$，则 $x=t/\pi$，方程化为 $\sin^2 t = t/\pi$。定义 $g(t)=\sin^2 t - t/\pi$，则问题转化为求 $g(t)=0$ 在 $t\in[0,\pi]$ 上的根。
公式：变量代换：$t=\pi x$
提示：注意 $x\in[0,1]$ 对应 $t\in[0,\pi]$。
步骤 3/5
目标：分析函数单调性
求导：$g'(t)=2\sin t \cos t - \frac{1}{\pi} = \sin 2t - \frac{1}{\pi}$。令 $g'(t)=0$ 得 $\sin 2t = \frac{1}{\pi}$。由于 $\frac{1}{\pi}\approx 0.318$，在 $[0,\pi]$ 上 $\sin 2t$ 的图像与 $y=1/\pi$ 有两个交点，记为 $t_1,t_2$，且 $0
公式：$g'(t)=\sin 2t - \frac{1}{\pi}$
提示：注意 $\sin 2t$ 在 $[0,\pi]$ 上的周期性和对称性，确保正确判断单调区间。
步骤 4/5
目标：计算关键点函数值
计算 $g(0)=0$；$g(t_1)g(\pi/2)=\sin^2(\pi/2)-\frac{\pi/2}{\pi}=1-1/2=1/2>0$；$g(\pi)=\sin^2\pi - \pi/\pi = 0-1=-1<0$。
提示：注意 $g(t_2)$ 的符号判断：由于 $t_2<\pi/2$，且 $g$ 在 $[t_1,t_2]$ 递增，$g(t_2)>g(\pi/2)$ 不一定成立，但 $g(\pi/2)=1/2>0$，而 $t_2<\pi/2$ 且 $g$ 递增，故 $g(t_2)0$，所以 $g(t_2)>0$ 仍需确认。更严谨的做法：由 $g'(\pi/2)=\sin\pi-1/\pi=-1/\pi<0$，说明 $\pi/2$ 在递减区间，但 $t_2<\pi/2$ 且 $t_2$ 是极大值点，故 $g(t_2)>g(\pi/2)$？实际上 $g$ 在 $[t_1,t_2]$ 递增，$t_2$ 是极大值点，之后递减，所以 $g(t_2)$ 是极大值，而 $\pi/2$ 在递减段，故 $g(t_2)>g(\pi/2)$。因此 $g(t_2)>1/2>0$。
步骤 5/5
目标：应用零点定理确定根的个数
由 $g(0)=0$，$g(t_1)<0$，$g(t_2)>0$，$g(\pi)<0$，且 $g$ 在各区间连续，根据零点定理：在 $(0,t_1)$ 内至少有一个根（实际上 $0$ 已经是根，但 $0$ 是端点，需考虑内部根）；在 $(t_1,t_2)$ 内至少有一个根；在 $(t_2,\pi)$ 内至少有一个根。结合单调性，每个区间内至多一个根，因此 $g(t)=0$ 在 $[0,\pi]$ 上恰有三个根：$t=0$，以及两个正根 $t_3\in(t_1,t_2)$，$t_4\in(t_2,\pi)$。对应 $x=0$，$x=t_3/\pi$，$x=t_4/\pi$，即 $\sin^2(\pi x)=x$ 有且仅有三个根。
公式：零点定理
提示：注意 $t=0$ 是一个根，但需确认是否还有别的根。另外，$t=\pi$ 对应 $x=1$，但 $g(\pi)=-1\neq0$，故 $x=1$ 不是根。
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