上册 2.3 函数的零点 第30题
📝 题目
30．设实数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow x} a_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=2$ 。证明：当 $n$ 充分大时，方程 $x^{8}+a_{n} x=b_{n}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且有一个解 $x_{n}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
记 $f_{n}(x)=x^{8}+a_{n} x-b_{n}$ ，则 $f_{n}^{\prime}(x)=8 x^{7}+a_{n}>0$ ．
易得 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=-1$ ．由保号性，当 $n$ 充分大时，$-20
$$
由介值定理，$f_{n}(x)=0$ 在 $(0,2)$ 上有解 $x_{n}$ 。再由单调性得，当 $n$ 充分大时，方程 $x^{8}+a_{n} x=b_{n}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且有一个解 $x_{n} \in(0,2)$ 。
下证： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
假设 $\lim _{n \rightarrow x} x_{n} \neq 1$ ，则存在 $\varepsilon_{0}>0$ ，有无穷多个 $n$ 满足 $\left|x_{n}-1\right| \geqslant \varepsilon_{0}$ 。不妨设 $\left\{x_{n_{1}}\right\}$ 满足 $x_{n_{1}} \geqslant \varepsilon_{0}+1$ ．
由 $f_{n_{k}}\left(x_{n_{k}}\right)=0$ 有 $\lim _{k \rightarrow x} f_{n_{k}}\left(x_{n_{k}}\right)=0$ ．由单调性有
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}}\left(x_{n_{k}}\right) \geqslant \lim _{k \rightarrow x} f_{n_{k}}\left(1+\varepsilon_{0}\right)=\left(1+\varepsilon_{0}\right)^{8}+\varepsilon_{0}-1>0
$$
預盾．所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造函数并分析单调性
令 $f_n(x) = x^8 + a_n x - b_n$，则 $f_n'(x) = 8x^7 + a_n$。由于 $a_n \to 1$，当 $n$ 充分大时 $a_n > 0$，故 $f_n'(x) > 0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，因此 $f_n(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上严格单调递增。
公式：f_n(x) = x^8 + a_n x - b_n, f_n'(x) = 8x^7 + a_n
提示：注意 $a_n$ 可能为负，但极限为1，故充分大后为正，确保单调性。
步骤 2/6
目标：利用极限性质估计 $a_n$ 和 $b_n$ 的范围
由 $\lim_{n\to\infty} a_n = 1$，$\lim_{n\to\infty} b_n = 2$，得 $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = -1$。由保号性，当 $n$ 充分大时，$-2 < a_n - b_n < 0$，从而 $1 < b_n < 3$ 且 $a_n < b_n$。
提示：保号性应用时注意不等式方向。
步骤 3/6
目标：利用介值定理证明解的存在性
计算 $f_n(0) = -b_n < 0$，$f_n(2) = 32 + 2a_n - b_n$。由于 $a_n \to 1$，$b_n \to 2$，当 $n$ 充分大时 $32 + 2a_n - b_n > 0$。由介值定理，存在 $x_n \in (0,2)$ 使得 $f_n(x_n)=0$。
公式：f_n(0) = -b_n, f_n(2) = 32 + 2a_n - b_n
提示：确保 $f_n(2)>0$，需验证 $2a_n - b_n > -32$，由极限易得。
步骤 4/6
目标：由单调性证明解的唯一性
由于 $f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格单调递增，至多有一个零点。结合存在性，方程在 $(0,+\infty)$ 上有且仅有一个解 $x_n$，且 $x_n \in (0,2)$。
提示：单调性保证唯一性，注意定义域包含0。
步骤 5/6
目标：反证法证明 $x_n$ 收敛于1
假设 $\lim_{n\to\infty} x_n \neq 1$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和子列 $\{x_{n_k}\}$ 使得 $|x_{n_k} - 1| \geq \varepsilon_0$。不妨设 $x_{n_k} \geq 1 + \varepsilon_0$（另一情况类似）。
提示：注意子列选取，需考虑两种情况：$x_n \geq 1+\varepsilon_0$ 或 $x_n \leq 1-\varepsilon_0$。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
由 $f_{n_k}(x_{n_k}) = 0$ 及单调性，$0 = f_{n_k}(x_{n_k}) \geq f_{n_k}(1+\varepsilon_0)$。取极限得 $0 \geq \lim_{k\to\infty} f_{n_k}(1+\varepsilon_0) = (1+\varepsilon_0)^8 + 1 \cdot (1+\varepsilon_0) - 2 = (1+\varepsilon_0)^8 + \varepsilon_0 - 1 > 0$，矛盾。类似地，若 $x_{n_k} \leq 1-\varepsilon_0$，则 $0 = f_{n_k}(x_{n_k}) \leq f_{n_k}(1-\varepsilon_0)$，取极限得 $0 \leq (1-\varepsilon_0)^8 - \varepsilon_0 - 1$，但 $(1-\varepsilon_0)^8 - \varepsilon_0 - 1 < 0$，矛盾。故假设不成立，$\lim_{n\to\infty} x_n = 1$。
公式：\lim_{k\to\infty} f_{n_k}(1+\varepsilon_0) = (1+\varepsilon_0)^8 + \varepsilon_0 - 1
提示：注意极限运算中 $a_n \to 1$，$b_n \to 2$；需验证 $(1+\varepsilon_0)^8 + \varepsilon_0 - 1 > 0$ 对任意 $\varepsilon_0 > 0$ 成立。
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