上册 3.1 一元函数的导数 第36题

\section*{解题过程：} （1）令 $x=y=0$ 得 $f(0)=0 . \forall x_{0} \in \mathbf{R}$ 有 $f(x)=f\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ 。再由 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续得 $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)+\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x-x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)+f(0)=f\left(x_{0}\right) . $$ 所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续． 下证：对任何有理数 $r$ 有 $f(r x)=r f(x)$ ． $\forall x \in \mathbf{R}$ ，因为 $f(x+x)=f(x)+f(x)$ ，即 $f(2 x)=2 f(x)$ ．由数学り纳法，对任何自然数 $n$ 有 $$ f(n x)=n f(x) . $$ 用 $\displaystyle \frac{x}{n}$ 代替 $x$ 得 $$ f(x)=n f\left(\frac{x}{n}\right) \text {, 即 } f\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n} f(x) \text {. } $$ 设 $\displaystyle r=\frac{p}{q}$（ $p, q$ 为自然数），则 $$ f(r x)=f\left(\frac{p}{q} x\right)=p f\left(\frac{x}{q}\right)=\frac{p}{q} f(x)=r f(x) . $$ 又因 $f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)$ ，而 $f(0)=0$ ，故 $f(-x)=-f(x)$ ，即 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的奇函数．从而对任何负有理数 $-r(r>0)$ 有 $$ f(-r x)=-f(r x)=-r f(x) . $$ 因此对任何有理数 $r$ 有 $f(r x)=r f(x)$ ． 再证明：对任意无理数 $\alpha$ 有 $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ 。 取有理数列 $\left\{r_{n}\right\}$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}=\alpha$ ．由 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续性及 $f\left(r_{n} x\right)=r_{n} f(x)$ 知 $$ f(\alpha x)=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} x\right)=\lim _{n \rightarrow x} f\left(r_{n} x\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} f(x)=\alpha f(x) . $$ 综上，$\forall x \in \mathbf{R}$ 及 $\forall c \in \mathbf{R}$ ，有 $f(c x)=c f(x)$ 。特别地 $f(c)=c f(1)$ 。于是 $\forall x \in \mathbf{R}$ 有 $f(x)=f(1) x$ 。 $$ f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x}=1 . $$ （2）若 $f(x) \equiv 0$ 或 $f(x) \equiv 1$ ，则命题显然成立． 若 $f(x)$ 不恒为零，也不恒等于 1 ，则 $\exists x_{0} \in \mathbf{R}$ ，使得 $f\left(x_{0}\right) \neq 0$ 。于是 $$ f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}-x+x\right)=f\left(x_{0}-x\right) f(x) \neq 0 . $$ 从而 $f(x) \neq 0$ ． 由归纳法，对任意正整数 $m$ 有 $\displaystyle f(m)=(f(1))^{m}, f\left(\frac{1}{m}\right)=(f(1))^{\frac{1}{m}}$ ．从而对任意正有理数 $\displaystyle \frac{q}{p}$（既约分数）有 $$ f\left(\frac{q}{p}\right)=(f(1))^{\frac{q}{p}} . $$ 对任意正数 $r$ ，必存在正有理数列 $\left\{r_{n}\right\}$ ，使得 $r_{n} \rightarrow r(n \rightarrow \infty)$ ．由 $f(x)$ 连续得 $$ f(r)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(r_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}(f(1))^{r_{n}}=(f(1))^{r} $$ 又 $f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+0\right)=f\left(x_{0}\right) f(0)$ ，所以 $f(0)=1$ ． 对任意正数 $r$ ，有 $1=f(0)=f(r-r)=f(r) f(-r)$ ．由此得 $$ f(-r)=\frac{1}{f(r)}=(f(1))^{-r} \text {, 且有 } f(0)=1=(f(1))^{0} \text {. } $$ 综上得：$\forall x \in \mathbf{R}$ ，有 $f(x)=(f(1))^{x}$ 。而 $f(x)$ 不恒等于 1 ，所以 $f(1) \neq 1$ ，故 $f(x)$ 为指数函数，当然在 $\mathbf{R}$ 上可微。 （3）令 $y=1$ ，则 $f(1)=0$ ．因 $f(x)$ 在 $x=1$ 点处连续，故 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)=0$ ． 对任一 $x_{0} \in(0,+\infty)$ ，由 $\displaystyle f(x)=f\left(x_{0}\right)+f\left(\frac{x}{x_{0}}\right)$ 得 $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)+\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(\frac{x}{x_{0}}\right)=f\left(x_{0}\right) $$ 故 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续．由 $x_{0}$ 的任意性，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续． $\forall x \in(0,+\infty)$ ，让 $\Delta x$ 充分小使 $1+\Delta x \in(0,+\infty)$ ．由 $f(x+x \Delta x)-f(x)=f(1+\Delta x)$ 得 $$ x \cdot \frac{f(x+x \Delta x)-f(x)}{x \Delta x}=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} $$ 令 $\Delta x \rightarrow 0$ 得 $x f^{\prime}(x)=f^{\prime}(1)$ ，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(1)}{x}$ 。