上册 3.1 一元函数的导数 第38题
📝 题目
38．设 $0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $S^{\prime}(x)=k x^{k-1}(1-x)^{2 k-1}(1-3 x)=0$ ，得 $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ 。
当 $\displaystyle x<\frac{1}{3}$ 时，$S^{\prime}(x)>0$ ，当 $\displaystyle x>\frac{1}{3}$ 时，$S^{\prime}(x)<0$ ，故 $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ 为 $S(x)=x^{k}(1-x)^{2 k}$ 的极大值点，极值为 $\displaystyle S\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3^{k}} \frac{2^{2 k}}{3^{2 k}}=\frac{2^{2 k}}{3^{3 k}}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导数
给定函数 $S(x)=x^{k}(1-x)^{2k}$，其中 $0
公式：$(uv)'=u'v+uv'$；$(x^n)'=nx^{n-1}$
提示：注意链式法则：$(1-x)^{2k}$ 的导数为 $2k(1-x)^{2k-1}\cdot(-1)$，负号不要遗漏。
步骤 2/5
目标：求驻点
令 $S'(x)=0$，即 $k x^{k-1}(1-x)^{2k-1}(1-3x)=0$。由于 $00$，$(1-x)^{2k-1}>0$，$k>0$，因此 $1-3x=0$，解得 $x=\frac{1}{3}$。
提示：注意定义域 $0
步骤 3/5
目标：判断极值类型
分析 $S'(x)$ 的符号：当 $00$，故 $S'(x)>0$；当 $\frac{1}{3}
提示：符号判断时注意 $k>0$，$x^{k-1}>0$，$(1-x)^{2k-1}>0$，所以符号仅由 $1-3x$ 决定。
步骤 4/5
目标：计算极大值
将 $x=\frac{1}{3}$ 代入 $S(x)$：
$$S\left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2k}=\frac{1}{3^k}\left(\frac{2}{3}\right)^{2k}=\frac{1}{3^k}\cdot\frac{2^{2k}}{3^{2k}}=\frac{2^{2k}}{3^{3k}}$$
提示：注意指数运算：$(\frac{2}{3})^{2k}=\frac{2^{2k}}{3^{2k}}$，合并分母时 $3^k\cdot3^{2k}=3^{3k}$。
步骤 5/5
目标：总结极值
函数 $S(x)=x^k(1-x)^{2k}$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一的极大值点 $x=\frac{1}{3}$，极大值为 $\frac{2^{2k}}{3^{3k}}$。由于函数在区间内连续且只有这一个极值点，该极大值也是最大值。
提示：注意题目只要求极值，不要求最值，但可补充说明。
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