上册 3.1 一元函数的导数 第40题

答：错误．如狄利克雷函数． （2）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{h}=2 f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．（山西师大 2007） 答：正确． （3）已知 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ，则 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导。华东师大 2009） 答：正确．因为 $$ f(2)=\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}(x-2)=0, \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1, $$ 所以 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导． （4）若函数在一点处存在左、右导数，则函数在该点处连续．（西安电子 2008） 答：正确．用定义可证． （5）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导．若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界．（华东师大 2006／2007） 答：当 $(a, b)$ 为有限开区间时，命题正确．见下题． 当 $(a, b)$ 为无限开区间时，命题错误。反例。 $f(x)=x, x \in(0,+\infty)$ ，显然 $f^{\prime}(x)=1$ 在 $(0,+\infty)$ 卜有界，但 $f(x)=x$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界。 （6）设 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 在有限区间 $I$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 上有界．（苏州大学 2012，西安电子 2008） 答：正确．$|f(x)| \leqslant\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|+\left|f\left(x_{0}\right)\right|=\left|f^{\prime}(\xi)\left(x-x_{0}\right)\right|+\left|f\left(x_{0}\right)\right| \leqslant M(b-a)+\left|f\left(x_{0}\right)\right|$ ． （7）若 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 的可导函数，则 $f^{\prime}(x)$ 连续有界．（苏州大学 2011，南京大学 2009） 答：错误。由 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，即 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在，但 $f^{\prime}(x)$ 末必在 $[0,1]$ 上有界。 反例：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}}, x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array} f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{n \pi}}\right)=-2 \sqrt{n \pi}(-1)^{n}\right.$ ，即 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上无界。 （8）如果 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 可导， $\lim _{x \rightarrow+x} f(x)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ．（华东师大 2013） 答：错误．$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \cos x^{2}$ 在 $[1,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)=-2 \sin x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \cos x^{2}, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \cos x^{2}=0$ ，但 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 不存在． （9）若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $I$ 内连续．（苏州大学 2013，兰州大学 2003） 答：错误．反例：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array} x \in \mathbf{R}, f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}-2 \sin x^{2}-\frac{1}{x^{2}} \cos x^{2}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.\right.$ 显然 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x \neq 0$ 处不连续。 （10）开区间 $(a, b)$ 内可导的函数一定在闭区间 $[a, b]$ 上连续．（中南大学 2006） 答：错误．$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x<1, \\ 0, x=1 .\end{array}\right.$ （11）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的邻域内有定义，在 $x_{0}$ 可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内连续。（重庆大学 2003，华东师大2009，兰州大学2003） 答：错误．反例：$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为无理数，显然，} f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可导，但 } f(x) \text { 在 } x \neq 0 \text { 处不连续．}\end{array}\right.$ （12）如果 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的一个邻域内可导．（暨南大学 2012） 答：错误．反例：$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为无理数，显然，} f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可导，但 } f(x) \text { 在 } x \neq 0 \text { 处不连续，当 } \\ 0, x \text { 为有理数。 }\end{array}\right.$然也不可导。 （13）若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 取极小值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．（吉林大学 2006） 答：错误。 $f(x)=|x|$ 在 $x_{0}=0$ 取极小值，但 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 不存在。 （14）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 取极大值．（吉林大学 2006） 答：正确． （15）函数 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内有无穷多个极大极小值点．（吉林大学 2007） 答：正确．$\displaystyle x_{n}=\left(2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{-1}$ 为 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 的极大值点，$\displaystyle y_{n}=\left(2 n \pi-\frac{\pi}{2}\right)^{-1}$ 为 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 的极小值点． （16）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 必取极大值或极小值．（吉林大学 2007） 答：错误．$f(x)=x^{3}$ 在 $x_{0}=0$ 有 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，但 $x_{0}=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点。 （17）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可微，$c, d \in(a, b)$ ，且 $f^{\prime}(c) f^{\prime}(d)<0$ ，则在 $c, d$ 之间至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．（东南大学 2006） 答：正确．导数介值定理． （18）设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$ ，则必存在 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．（南京师大 2003） 答：错误．$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x<1, \\ 0, x=1 .\end{array}\right.$ （19）若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内没有第一类间断点．（西安交大 2009） 答：正确。由导数介值定理得。 （20）若 $f(x)$ 的导函数是单调的，则 $f^{\prime}(x)$ 连续．（苏州大学 2009） 答：正确．因单调的函数的间断点为第一类的，而 $f^{\prime}(x)$ 没有第一类间断点，所以 $f^{\prime}(x)$ 连续。 （21）$f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，$\forall x \in[a, b], f^{\prime}(x) \leqslant g^{\prime}(x)$ ，则 $\forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ ．（重庆大学 2003） 答：错误．$g(x)=x, f(x)=-x+5, x \in[0,1]$ ． （22）若函数 $f(x)$ 是在区间 $(a, b)$ 上的连续递增函数，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．（中南大学 2008） 答：错误．$f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}, 0 \leqslant x<1, \\ 1,1 \leqslant x \leqslant 2 .\end{array}\right.$ （23）设 $f$ 是 $n$ 次多项式，则 $\forall a, x \in \mathbf{R}$ 都有 $$ f(x)=f(a)+(x-a) f^{\prime}(a)+\frac{(x-a)^{2}}{2!} f^{\prime \prime}(a)+\cdots+\frac{(x-a)^{n}}{n!} f^{(n)}(a) \text {. (厦门大学 2005) } $$ 答：正确． （24）设 $f(x)$ 在点 $x_{0} \in \mathbf{R}^{1}$ 的邻域有定义。如果 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极大值，则存在 $\delta>0$ ，使得 $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 内单调增，而在 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 单调减．（西安交大） 答：错误．反例：$f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \text { 为无理数，则 } 0 \text { 为 } f(x) \text { 的极小值点，但 } f(x) \text { 在 } 0 \text { 点邻域内没有单 } \\ 0, x \text { 为有理数，}\end{array}\right.$调性。 （25）可导周期函数的导函数为周期函数．（太原理工 2004） 答：正确．$f(x)$ 为以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x+T)=f(x)$ ，于是 $f^{\prime}(x+T)=f^{\prime}(x)$ ． （26）对任意给定的 $x_{0} \in \mathbf{R}$ ，任意给定的严格增加正整数列 $n_{k}, k=1,2, \cdots$ ，存在定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 使得 $f^{\left(n_{k}\right)}\left(x_{0}\right)=0, k=1,2, \cdots,\left(f^{(k)}\left(x_{0}\right)\right.$ 表示 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的 $k$ 阶导数）。（华东师大 2008） 答：正确．例如，函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{e}^{\left(x-x_{0}\right)^{2}}}, x \neq x_{0} \text { ，满足条件．} \\ 0, x=x_{0} .\end{array}\right.$ （27）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上导数处处存在，$\forall[c, d] \subset(a, b)$ ，由中值定理，$\exists \xi=\xi(c, d)$ 使得 $f(d)-f(c)=f^{\prime}(\xi)(d-c)$ 。则 $\xi=\xi(c, d)$ 是关于 $c, d(c