上册 3.2 微分中值问题 第23题
📝 题目
23．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。证明：（1）$\exists \xi \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\xi) \sin \pi \xi+ \pi f(\xi) \cos \pi \xi=0$ ；（2）对 任 意 正 数 $\lambda, \exists \xi \in(0,1)$ 使 $(1-\xi) f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ；（3）$\exists \eta \in(0,1)$ 使
$\displaystyle f^{\prime}(\eta)=\frac{1}{2001}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $F(x)=f(x) \sin \pi x$ ，则 $F(0)=f(0) \sin 0=0, F(1)=f(1) \sin \pi=0$ ．由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $f^{\prime}(\xi) \sin \pi \xi+\pi f(\xi) \cos \pi \xi=0$ 。
（2）设 $F(x)=(1-x)^{\lambda} f(x)$ ，则 $F(0)=(1-0)^{\lambda} f(0)=f(0)=0, F(1)=(1-1)^{\lambda} f(1)=0$ ，且
$$
F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)(1-x)^{\lambda}+f(x) \lambda(1-x)^{\lambda-1}=(1-x)^{\lambda-1}\left[f^{\prime}(x)(1-x)+f(x) \lambda\right] \text {. }
$$
由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $(1-\xi) f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ 。
（3）由 $f(0)=0, f(1)=1$ ，存在 $c \in(0,1)$ 使 $f^{\prime}(c)=1$ 。由导数介值定理，存在 $\eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)=\frac{1}{2001}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第一问）
令 $F(x)=f(x)\sin\pi x$，则 $F(0)=f(0)\sin0=0$，$F(1)=f(1)\sin\pi=1\cdot0=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。计算导数：$F'(x)=f'(x)\sin\pi x+\pi f(x)\cos\pi x$，代入得 $f'(\xi)\sin\pi\xi+\pi f(\xi)\cos\pi\xi=0$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$
提示：注意 $\sin\pi x$ 在 $x=0,1$ 处为零，确保 $F(0)=F(1)=0$。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并应用罗尔定理（第二问）
令 $F(x)=(1-x)^\lambda f(x)$，则 $F(0)=1^\lambda\cdot f(0)=0$，$F(1)=0^\lambda\cdot f(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $F'(\xi)=0$。计算导数：$F'(x)=f'(x)(1-x)^\lambda+f(x)\lambda(1-x)^{\lambda-1}=(1-x)^{\lambda-1}[f'(x)(1-x)+\lambda f(x)]$。由于 $\xi\in(0,1)$，$(1-\xi)^{\lambda-1}\neq0$，故 $f'(\xi)(1-\xi)+\lambda f(\xi)=0$，即 $(1-\xi)f'(\xi)+\lambda f(\xi)=0$。
公式：罗尔定理；乘积求导法则
提示：注意 $(1-x)^\lambda$ 在 $x=1$ 处为0，确保 $F(1)=0$；导数计算时注意指数为 $\lambda-1$。
步骤 3/4
目标：应用拉格朗日中值定理得到导数等于1的点
由 $f(0)=0$，$f(1)=1$，根据拉格朗日中值定理，存在 $c\in(0,1)$ 使得 $f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微，满足定理条件。
步骤 4/4
目标：利用导数介值定理证明第三问
由 $f'(0)=0$ 和 $f'(c)=1$，且 $f'$ 在 $[0,c]$ 上连续（可微蕴含连续），根据导数介值定理（达布定理），$f'$ 可取到 $0$ 和 $1$ 之间的任何值。特别地，存在 $\eta\in(0,c)\subset(0,1)$ 使得 $f'(\eta)=\frac{1}{2001}$。
公式：达布定理（导数介值定理）：若 $f$ 可导，则 $f'$ 具有介值性
提示：注意 $f'(0)=0$ 是已知条件，$f'(c)=1$ 由拉格朗日定理得到；需确保 $\frac{1}{2001}$ 在 $0$ 和 $1$ 之间。
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