上册 3.2 微分中值问题 第36题
📝 题目
36．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续．证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(1-\xi) f(\xi)$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \cdot($ 苏州大学 2009，2010，东华大学 $2000([0,1]))$
（3）设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，且 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$使 $f^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x+2 f(\xi) g(\xi)+g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（4）设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导．证明至少 $\exists \xi \in(a, b)$ ，使
$$
f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（5）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}+\int_{a}^{b} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 。则 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得
$$
f(\xi)-f\left(\xi^{2}\right)=\frac{1}{4(b-a)} .
$$
（6）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续．证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1）令 $F(x)=(1-x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0)=F(1)=0$ ．根据罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即
$$
\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(1-\xi) f(\xi)
$$
（2）令 $F(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_{a}^{x} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F(a)=F(b)=0$ ．根据罗尔定理，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=\mathrm{e}^{-\xi}\left(\int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x-f(\xi)\right)=0 \text {, 即 } \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \text {. }
$$
（3）令 $F(x)=f(x) \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t-g(x) \int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(a)=F(b)=0$ 。根据罗尔定理可得，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x+2 f(\xi) g(\xi)+g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0
$$
（4）令 $F(x)=\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \cdot \int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(a)=F(b)=0$ ．根据罗尔定理，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=g(\xi) \int_{\xi}^{a} f(x) \mathrm{d} x+f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=0
$$
于是
$$
f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x
$$
（5）令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{x} f\left(t^{2}\right) \mathrm{d} t-\frac{1}{4} \frac{x-a}{b-a}$ ，则
$$
F(a)=0, F(b)=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{b} f\left(t^{2}\right) \mathrm{d} t-\frac{1}{4} \frac{b-a}{b-a}=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{b} f\left(t^{2}\right) \mathrm{d} t-\frac{1}{4}=0
$$
由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，得 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，且 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)-f\left(x^{2}\right)-\frac{1}{4} \frac{1}{b-a}$ ．根据罗尔定理，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $\displaystyle f(\xi)-f\left(\xi^{2}\right)=\frac{1}{4(b-a)}$ ．
（6）分析：由于 $\int_{x}^{1} f(t) \mathrm{d} t-x f(x)=\left(x \int_{x}^{1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{\prime}$ ，用罗尔定理可得。证明如下：
令 $F(x)=x \int_{x}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $F(0)=F(1)=0$ ．根据罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，即 $\xi f(\xi)=\int_{\xi}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数并验证端点值相等
令 $F(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \, dt$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。计算 $F(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) \, dt = 0$，$F(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) \, dt = 0$，故 $F(0)=F(1)=0$。
提示：注意 $F(1)$ 的计算：$(1-1)=0$，乘积为0。
步骤 2/8
目标：应用罗尔定理得到导数零点
由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(x) = -\int_0^x f(t) \, dt + (1-x) f(x)$，代入 $x=\xi$ 得 $-\int_0^\xi f(t) \, dt + (1-\xi) f(\xi)=0$，即 $\int_0^\xi f(x) \, dx = (1-\xi) f(\xi)$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。
提示：求导时注意乘积法则：$(1-x)' \int_0^x f + (1-x) (\int_0^x f)' = -\int_0^x f + (1-x) f(x)$。
步骤 3/8
目标：构造辅助函数并验证端点值相等
令 $F(x) = e^{-x} \int_a^x f(t) \, dt$，则 $F(a)=e^{-a} \cdot 0 = 0$，$F(b)=e^{-b} \int_a^b f(t) \, dt = 0$（由条件 $\int_a^b f = 0$），故 $F(a)=F(b)=0$。
提示：注意条件 $\int_a^b f = 0$ 用于 $F(b)=0$。
步骤 4/8
目标：应用罗尔定理得到导数零点
由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(x) = -e^{-x} \int_a^x f(t) \, dt + e^{-x} f(x) = e^{-x} \left( f(x) - \int_a^x f(t) \, dt \right)$，代入 $x=\xi$ 得 $e^{-\xi} \left( f(\xi) - \int_a^\xi f(t) \, dt \right)=0$，即 $\int_a^\xi f(x) \, dx = f(\xi)$。
公式：罗尔定理
提示：求导时注意 $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)$。
步骤 5/8
目标：构造辅助函数并验证端点值相等
令 $F(x) = f(x) \int_a^x g(t) \, dt - g(x) \int_x^b f(t) \, dt$，则 $F(a) = f(a) \cdot 0 - g(a) \int_a^b f(t) \, dt = -g(a) \int_a^b f$，$F(b) = f(b) \int_a^b g - g(b) \cdot 0 = f(b) \int_a^b g$。由条件 $\int_a^b g = 0$，但 $\int_a^b f$ 不一定为零，故 $F(a)$ 和 $F(b)$ 不一定相等。需重新构造。
提示：原解答中 $F(x)$ 的构造有误，应改为 $F(x) = f(x) \int_a^x g(t) \, dt + g(x) \int_a^x f(t) \, dt$ 或类似形式。但根据题目要求，我们采用标准解法：令 $F(x) = \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) \left( \int_a^x g(t) \, dt \right)$，则 $F(a)=0$，$F(b)=0$？不，$F(b) = \left( \int_a^b f \right) \left( \int_a^b g \right) = 0$ 因为 $\int_a^b g = 0$。故 $F(a)=F(b)=0$。
步骤 6/8
目标：应用罗尔定理并求导
令 $F(x) = \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) \left( \int_a^x g(t) \, dt \right)$，则 $F(a)=0$，$F(b)= \left( \int_a^b f \right) \left( \int_a^b g \right) = 0$（因为 $\int_a^b g = 0$）。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$。计算 $F'(x) = f(x) \int_a^x g(t) \, dt + g(x) \int_a^x f(t) \, dt$，代入 $x=\xi$ 得 $f(\xi) \int_a^\xi g + g(\xi) \int_a^\xi f = 0$，即 $f(\xi) \int_a^\xi g = -g(\xi) \int_a^\xi f$。但题目要求 $f(\xi) \int_a^\xi g = g(\xi) \int_a^\xi f$，符号相反。因此需要调整构造。
公式：罗尔定理
提示：注意符号问题，原题（3）的答案中构造的 $F(x)$ 为 $f(x) \int_a^x g - g(x) \int_x^b f$，但需验证端点值。
步骤 7/8
目标：重新构造辅助函数并验证端点值
令 $F(x) = f(x) \int_a^x g(t) \, dt - g(x) \int_x^b f(t) \, dt$，则 $F(a) = f(a) \cdot 0 - g(a) \int_a^b f(t) \, dt = -g(a) \int_a^b f$，$F(b) = f(b) \int_a^b g - g(b) \cdot 0 = f(b) \int_a^b g = 0$（因为 $\int_a^b g = 0$）。$F(a)$ 不一定为0，但 $F(b)=0$。为了应用罗尔定理，需要 $F(a)=F(b)$，但这里不相等。因此原解答有误。正确构造应为 $F(x) = f(x) \int_a^x g(t) \, dt + g(x) \int_a^x f(t) \, dt$，则 $F(a)=0$，$F(b) = f(b) \int_a^b g + g(b) \int_a^b f = 0 + g(b) \int_a^b f$，不一定为0。故需附加条件 $\int_a^b f = 0$ 或 $g(b)=0$，但题目未给。因此原题（3）的答案可能不完整。
提示：此处原答案有误，实际应使用 $F(x) = \left( \int_a^x f \right) \left( \int_a^x g \right)$ 但得到的是相反符号，故题目可能要求证明 $f(\xi) \int_a^\xi g = -g(\xi) \int_a^\xi f$，但原题写的是 $=0$ 的表达式。
步骤 8/8
目标：采用标准解法（基于原答案）
根据原答案，令 $F(x) = f(x) \int_a^x g(t) \, dt - g(x) \int_x^b f(t) \, dt$，则 $F(a) = -g(a) \int_a^b f$，$F(b) = f(b) \int_a^b g = 0$。若 $\int_a^b f = 0$，则 $F(a)=0$，可应用罗尔定理。但题目未给出 $\int_a^b f = 0$，故原答案有误。实际上，题目（3）的条件是 $\int_a^b g = 0$，没有 $\int_a^b f = 0$，因此无法直接得到 $F(a)=F(b)$。正确做法是考虑 $F(x) = \left( \int_a^x f \right) \left( \int_a^x g \right)$，得到 $f(\xi) \int_a^\xi g + g(\xi) \int_a^\xi f = 0$，即 $f(\xi) \int_a^\xi g = -g(\xi) \int_a^\xi f$，但原题要求 $f(\xi) \int_a^\xi g + 2f(\xi)g(\xi) + g'(\xi) \int_a^\xi f = 0$，显然不同。因此原题（3）的答案可能错误。
提示：注意原题（3）的答案中 $F'(\xi)$ 表达式包含 $2f(\xi)g(\xi)$，这提示可能使用了乘积的导数。
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