上册 3.2 微分中值问题 第38题
📝 题目
38．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f(\xi)=\xi$ ；
（2）存在一点 $\xi \in(0,1)$ 使 $f(\xi)=\xi$ ；
（3）存在一点 $\zeta \in(0,1)$ 使 $f^{\prime}(\zeta)=1$ ；
（4）$\forall \lambda, \exists \eta \in(0, \xi)$ 使 $f^{\prime}(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $F(x)=f(x)-x$ ，则 $\displaystyle F\left(\frac{1}{2}\right)>0, F(1)<0$ ．在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上应用根的存在性定理，存在 $\displaystyle \xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right) \subset(0,1)$ 使 $F(\xi)=0$ ，即 $f(\xi)=\xi$ ．
（2）与（1）相同．
（3）$F(0)=f(0)=0=F(\xi)$ ．由罗尔定理，存在 $\zeta \in(0, \xi) \subset(0,1)$ 使 $F^{\prime}(\zeta)=0$ ，即 $f^{\prime}(\zeta)=1$ 。
（4）分析：原式等价于 $\left(f^{\prime}(\eta)-1\right)-\lambda(f(\eta)-\eta)=0$ ．
令 $G(x)=\mathrm{e}^{-\lambda x}(f(x)-x)$ ，由（1）得 $G(0)=G(\xi)=0$ 。在 $[0, \xi]$ 上应用罗尔定理即可。证明如下：
令 $G(x)=\mathrm{e}^{-\lambda x}(f(x)-x)$ ，则 $G(0)=G(\xi)=0$ ，应用 Rolle 定理，存在 $\eta \in(0, \xi)$ 使得
$$
G^{\prime}(\eta)=\mathrm{e}^{-\lambda \eta}\left(f^{\prime}(\eta)-1\right)-\lambda \mathrm{e}^{-\lambda \eta}(f(\eta)-\eta)=0 .
$$
于是 $f^{\prime}(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并利用零点定理证明存在性
令 $F(x)=f(x)-x$，则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。计算 $F\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$，$F(1)=f(1)-1=0-1=-1<0$。由零点定理，存在 $\xi\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。
公式：零点定理：若 $F(a)F(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $F(c)=0$
提示：注意区间端点的函数值符号相反，且区间为开区间。
步骤 2/5
目标：再次应用零点定理得到另一个零点
由（1）已得存在 $\xi\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 使 $f(\xi)=\xi$。同时 $F(0)=f(0)-0=0$，因此 $0$ 也是一个零点。但题目要求存在一点 $\xi\in(0,1)$ 使 $f(\xi)=\xi$，实际上（1）已给出 $\xi\in(0,1)$，故（2）与（1）相同。
提示：注意（2）的结论已包含在（1）中，无需重复证明。
步骤 3/5
目标：利用罗尔定理证明导数为1
由（1）知存在 $\xi\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 使得 $f(\xi)=\xi$，即 $F(\xi)=0$。又 $F(0)=f(0)-0=0$，所以 $F(0)=F(\xi)=0$。由罗尔定理，存在 $\zeta\in(0,\xi)\subset(0,1)$ 使得 $F'(\zeta)=0$。而 $F'(x)=f'(x)-1$，故 $f'(\zeta)-1=0$，即 $f'(\zeta)=1$。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $F'(c)=0$
提示：注意 $F(0)=0$ 是由 $f(0)=0$ 得到，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：构造含参辅助函数并应用罗尔定理
令 $G(x)=e^{-\lambda x}(f(x)-x)$，则 $G(0)=e^{0}(f(0)-0)=0$，$G(\xi)=e^{-\lambda\xi}(f(\xi)-\xi)=0$。由罗尔定理，存在 $\eta\in(0,\xi)$ 使得 $G'(\eta)=0$。
提示：构造 $G(x)$ 时乘以 $e^{-\lambda x}$ 是为了在求导后出现 $f'(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)-1$ 的形式。
步骤 5/5
目标：计算导数并整理得到结论
计算 $G'(x)=e^{-\lambda x}(f'(x)-1)-\lambda e^{-\lambda x}(f(x)-x)=e^{-\lambda x}[f'(x)-1-\lambda(f(x)-x)]$。由 $G'(\eta)=0$ 且 $e^{-\lambda\eta}\neq0$，得 $f'(\eta)-1-\lambda(f(\eta)-\eta)=0$，即 $f'(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$。
公式：乘积求导法则：$(uv)'=u'v+uv'$
提示：注意 $e^{-\lambda x}$ 的导数为 $-\lambda e^{-\lambda x}$，不要忘记负号。
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