上册 3.2 微分中值问题 第45题
📝 题目
45．设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶连续可导且 $f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\exists \xi \in(0,2)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=f(2)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由泰勒公式
$$
f(x)=f(1)+f^{\prime}(1)(x-1)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-1)^{2}=f^{\prime}(1)(x-1)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-1)^{2}
$$
令 $x=0,1$ 得
$$
0=f(0)=-f^{\prime}(1)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) \text {, 其中 } 0<\xi_{1}<1 ; f(2)=f^{\prime}(1)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right) \text {, 其中 } 1<\xi_{2}<2 \text {. }
$$
于是 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．由导数的介值定理，$\exists \xi \in(0,2)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=f(2)$ ．
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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