上册 3.3 导数的估值 第1题
📝 题目
1．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上具有二阶导数，且对一切 $x \in[0, a]$ ，均有 $|f(x)|<1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|<1$ ．证明：对一切 $x \in[0, a]$ ，成立 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，$|f(x)| \leqslant 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ 。求证：在 $[0,2]$ 上 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2$ ．
（3）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二次可微，且 $|f(x)| \leqslant M,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant K$ ，其中 $M, K$ 为正常数，$\xi$ 是 $(0,1)$内任一点．证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant 2 M+\frac{K}{2}$ ．
（4）设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 二次可微，且 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$ ，其中 $a, b$ 为正常数，$c$ 是 $(-1,1)$ 内任一点。证明：$\left|f^{\prime}(\xi)\right| \leqslant a+b$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）将 $f(a)$ 与 $f(0)$ 在 $x$ 点 $(0
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用泰勒公式展开f(a)和f(0)
对于任意 $x \in (0,a)$，将 $f(a)$ 和 $f(0)$ 在点 $x$ 处泰勒展开到二阶：
$$
f(a)=f(x)+f'(x)(a-x)+\frac{1}{2}f''(\eta)(a-x)^2,\quad x<\eta
公式：泰勒公式：$f(b)=f(x)+f'(x)(b-x)+\frac{1}{2}f''(\theta)(b-x)^2$
提示：注意展开点的选择，确保中间变量介于0与a之间。
步骤 2/8
目标：两式相减得到f'(x)的表达式
将两式相减，消去 $f(x)$：
$$
f(a)-f(0)=a f'(x)+\frac{1}{2}f''(\eta)(a-x)^2-\frac{1}{2}f''(\xi)x^2.
$$
整理得：
$$
a f'(x)=f(a)-f(0)-\frac{1}{2}f''(\eta)(a-x)^2+\frac{1}{2}f''(\xi)x^2.
$$
提示：注意符号，相减时第二项是减去负的。
步骤 3/8
目标：利用已知条件放缩
由已知 $|f(x)|<1$ 得 $|f(a)-f(0)|\leq |f(a)|+|f(0)|<2$；由 $|f''(x)|<1$ 得 $|f''(\eta)|<1$，$|f''(\xi)|<1$。因此：
$$
|a f'(x)|\leq |f(a)-f(0)|+\frac{1}{2}|f''(\eta)|(a-x)^2+\frac{1}{2}|f''(\xi)|x^2 < 2+\frac{1}{2}(a-x)^2+\frac{1}{2}x^2.
$$
公式：绝对值不等式：$|u+v|\leq |u|+|v|$
提示：注意严格不等式与等号的区别，但结论中可用≤。
步骤 4/8
目标：求二次函数的最大值
令 $g(x)=2+\frac{1}{2}(a-x)^2+\frac{1}{2}x^2 = 2+\frac{1}{2}(a^2-2ax+2x^2)$。这是关于 $x$ 的二次函数，开口向上，对称轴为 $x=\frac{a}{2}$。在 $[0,a]$ 上最大值在端点或对称轴处取得。计算：
- $g(0)=2+\frac{1}{2}a^2$，
- $g(a)=2+\frac{1}{2}a^2$，
- $g(\frac{a}{2})=2+\frac{1}{2}(\frac{a^2}{2})=\frac{a^2}{4}+2$。
由于 $\frac{a^2}{4}+2 \leq 2+\frac{1}{2}a^2$，故最大值为 $2+\frac{1}{2}a^2$。
公式：二次函数最值公式
提示：注意区间端点与对称轴的关系。
步骤 5/8
目标：得到最终不等式
由 $|a f'(x)| < 2+\frac{1}{2}a^2$，两边除以 $a>0$ 得：
$$
|f'(x)| < \frac{2}{a}+\frac{a}{2}.
$$
由于不等式是严格的，但结论中允许等号，故 $|f'(x)|\leq \frac{a}{2}+\frac{2}{a}$。
提示：注意除以正数不等号方向不变。
步骤 6/8
目标：（2）直接应用（1）的结论
取 $a=2$，由（1）得 $|f'(x)|\leq \frac{2}{2}+\frac{2}{2}=2$。
提示：注意区间长度为2。
步骤 7/8
目标：（3）类似方法证明
对任意 $x\in(0,1)$，将 $f(0)$ 和 $f(1)$ 在 $x$ 处泰勒展开：
$$
f(0)=f(x)-f'(x)x+\frac{1}{2}f''(c_1)x^2,\quad 0
提示：注意 $(1-x)^2+x^2$ 在 $[0,1]$ 的最大值为1，但题目中直接写 $\frac{K}{2}$ 是因为 $\frac{K}{2}\cdot 1 = \frac{K}{2}$。
步骤 8/8
目标：（4）类似方法证明
对任意 $x\in(-1,1)$，将 $f(-1)$ 和 $f(1)$ 在 $x$ 处泰勒展开：
$$
f(-1)=f(x)+f'(x)(-1-x)+\frac{1}{2}f''(c_1)(-1-x)^2,\quad -1
提示：注意 $(1-x)^2+(-1-x)^2$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为4（当 $x=0$ 时取到）。
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