上册 3.3 导数的估值 第25题
📝 题目
25．设定义在 $\mathbf{R}$ 上的非负连续函数 $f(x)$ ，满足 $f(x) \leqslant \int_{0}^{x}(f(t))^{a} \mathrm{~d} t$ ，（ $a$ 为常数）．证明：（1）当 $a \geqslant 1$ 时，$f(x) \equiv 0$ ；（2）举例说明，当 $0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x \leqslant 0$ 时， $0 \leqslant f(x) \leqslant \int_{0}^{x}(f(t))^{a} \mathrm{~d} t \leqslant 0$ ．于是 $f(x)=0$ ．
当 $x>0$ 时，令 $F(x)=\int_{0}^{x}(f(t))^{a} \mathrm{~d} t$ ，则 $F(0)=0,0 \leqslant f(x) \leqslant F(x)$ ，且 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续可微，
$$
0 \leqslant F^{\prime}(x)=(f(x))^{a} \leqslant(F(x))^{a}
$$
由此也得 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。
下面用反证法证明：当 $x>0$ 时 $F(x)=0$ ．
若存在 $x_{0}>0$ 时使 $F\left(x_{0}\right)>0$ 。记 $x_{1}=\inf \left\{x \mid x0\right)$ ，则 $F\left(x_{1}\right)=0$ ，在（ $x_{1}, x_{0}$ ）内 $F(x)>0$ ．
令 $g(x)=(F(x))^{1-a}, x \in\left(x_{1}, x_{0}\right)$ ，则 $\displaystyle g^{\prime}(x)=(1-a) F^{\prime}(x)(F(x))^{-a}=(1-a) \frac{F^{\prime}(x)}{(F(x))^{a}} \leqslant(1-a)$ ．故 $g(x)$在有限区间 $\left(x_{1}, x_{0}\right)$ 内有界，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{i}^{x}} g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{i}^{x}} \frac{1}{(F(x))^{a-1}}=+\infty$ ，矛盾．故当 $a \geqslant 1$ 时，$f(x) \equiv 0$ ．
（2）当 $00 .}\end{array}\right.$ 下面验证函数 $f(x)$ 满足题意。
显然函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上非负连续，不恒为 0 ．
当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x)=\int_{0}^{x}(f(t))^{a} \mathrm{~d} t$ 成立．
当 $x>0$ 时， $\displaystyle \int_{0}^{x}[f(t)]^{a} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x}[(1-a) t]^{\frac{a}{1-a}} \mathrm{~d} t=(1-a)^{\frac{1}{1-a}} x^{\frac{1}{1-a}}=[(1-a) x]^{\frac{1}{1-a}}=f(x)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：处理 x≤0 的情况
当 $x \leq 0$ 时，积分区间 $[0, x]$ 是退化的或反向的，但由非负性，$\int_0^x (f(t))^a dt \leq 0$。结合 $f(x) \geq 0$ 及条件 $f(x) \leq \int_0^x (f(t))^a dt$，得 $0 \leq f(x) \leq 0$，故 $f(x)=0$。
提示：注意积分上下限：当 $x<0$ 时，积分值为负，但非负函数积分非负，故只能为零。
步骤 2/6
目标：定义辅助函数 F(x) 并分析性质
当 $x>0$ 时，令 $F(x)=\int_0^x (f(t))^a dt$，则 $F(0)=0$，$F(x)$ 连续可微，且 $0 \leq f(x) \leq F(x)$。求导得 $F'(x)=(f(x))^a \leq (F(x))^a$，且 $F(x)$ 单调递增。
公式：$F'(x) = (f(x))^a \leq (F(x))^a$
提示：注意 $f(x)$ 非负，$F(x)$ 单调递增。
步骤 3/6
目标：反证法假设存在正点
假设存在 $x_0>0$ 使得 $F(x_0)>0$。定义 $x_1 = \inf\{x \mid x < x_0, F(x)>0\}$，则 $F(x_1)=0$，且在 $(x_1, x_0)$ 内 $F(x)>0$。
提示：注意 $x_1$ 是使得 $F$ 从零变为正的分界点。
步骤 4/6
目标：构造函数 g(x) 并导出矛盾
令 $g(x) = (F(x))^{1-a}$，$x \in (x_1, x_0)$。求导得 $g'(x) = (1-a) F'(x) (F(x))^{-a} = (1-a) \frac{F'(x)}{(F(x))^a} \leq 1-a$（因为 $F'(x) \leq (F(x))^a$）。故 $g(x)$ 在有限区间 $(x_1, x_0)$ 上有界。但 $\lim_{x \to x_1^+} g(x) = \lim_{x \to x_1^+} \frac{1}{(F(x))^{a-1}} = +\infty$（因为 $a \geq 1$，$a-1 \geq 0$，且 $F(x) \to 0^+$），矛盾。因此 $F(x) \equiv 0$，从而 $f(x) \equiv 0$。
公式：$g'(x) = (1-a) \frac{F'(x)}{(F(x))^a} \leq 1-a$
提示：注意 $a \geq 1$ 时 $1-a \leq 0$，但不等式方向仍成立；极限无穷大是因为分母趋于0。
步骤 5/6
目标：构造反例说明 0
考虑函数 $f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ [(1-a)x]^{\frac{1}{1-a}}, & x > 0 \end{cases}$。易见 $f(x)$ 非负连续，且不恒为零。
提示：注意 $00$，指数为正。
步骤 6/6
目标：验证反例满足条件
当 $x \leq 0$ 时，$f(x)=0$，且 $\int_0^x (f(t))^a dt = 0$，等式成立。当 $x>0$ 时，计算积分：$\int_0^x [f(t)]^a dt = \int_0^x [(1-a)t]^{\frac{a}{1-a}} dt = (1-a)^{\frac{a}{1-a}} \int_0^x t^{\frac{a}{1-a}} dt = (1-a)^{\frac{a}{1-a}} \cdot \frac{1-a}{1} x^{\frac{1}{1-a}} = [(1-a)x]^{\frac{1}{1-a}} = f(x)$。因此 $f(x) = \int_0^x (f(t))^a dt$，满足条件。
公式：$\int_0^x [(1-a)t]^{\frac{a}{1-a}} dt = [(1-a)x]^{\frac{1}{1-a}}$
提示：注意积分计算中幂函数的积分公式。
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