上册 3.3 导数的估值 第27题
📝 题目
27．证明下列命题。
（1）设函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x)-f(x)=0$ ，其中 $g(x)$ 为任一函数。证明：若 $f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)=0\left(x_{0}0$ 使得在 $(-\delta, \delta)$ 内 $f(x) \equiv 0$ ．
（3）已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有二阶导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．试证：$\exists \delta>0$ 使得在 $(-\delta, \delta)$ 内，$f(x) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $f(x)$ 是 $\left[x_{0}, x_{1}\right]$ ：的连续函数，因此 $f(x)$ 在 $\xi, \eta \in\left[x_{0}, x_{1}\right]$ 处分别取到最大值和最小值。易知 $f(\xi) \geqslant 0$ 。现证 $f(\xi)=0$ 。
用反证法。若 $f(\xi)>0$ ，因为 $f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{1}\right)=0$ ，所以 $x_{0}<\xi0$ 。故 $\xi$ 为严格极小值点。这与 $\xi$ 是最大值点相矛盾。于是 $f(\xi)=0$ 。
同理可证 $f(\eta)=0$ ．
由此推知 $f(x) \equiv 0, x \in\left[x_{0}, x_{1}\right]$ ．
（2）对任意 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明(1)：反证法假设最大值点为正
设 $f(x)$ 在 $[x_0,x_1]$ 上的最大值为 $f(\xi)$，最小值为 $f(\eta)$。由于 $f(x_0)=f(x_1)=0$，故 $f(\xi)\ge 0$。假设 $f(\xi)>0$，则 $\xi\in(x_0,x_1)$。由费马定理，$f'(\xi)=0$。代入方程 $f''(x)+f'(x)g(x)-f(x)=0$ 得 $f''(\xi)=f(\xi)>0$，故 $\xi$ 是严格极小值点，与最大值矛盾。因此 $f(\xi)=0$。同理 $f(\eta)=0$，从而 $f(x)\equiv 0$。
公式：f''(x)+f'(x)g(x)-f(x)=0
提示：注意费马定理要求内点极值，且导数存在。
步骤 2/5
目标：证明(2)：利用中值定理和条件不等式
对任意 $0
公式：|f''(x)|^2 \le |f(x)f'(x)|
提示：注意中值定理中 $\xi$ 依赖于 $x$，但不等式放缩时需取最大值。
步骤 3/5
目标：证明(2)：进一步得到 $f(x)\equiv0$
由 $|f(x)|=|f(x)-f(0)|=|f'(\xi_1)x|\le |f'(\xi_1)|a\le a\max|f'|\le a\max|f|$，取 $\max$ 得 $\max|f|\le a\max|f|$。由于 $0
提示：注意 $a$ 的任意性，需说明 $\max|f|$ 有限。
步骤 4/5
目标：证明(3)：Taylor展开
将 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处Taylor展开：$f(x)=\frac12 f''(\xi)x^2$，$f'(x)=f''(\eta)x$，其中 $\xi,\eta$ 介于0与 $x$ 之间。
公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac12 f''(\xi)x^2
提示：注意 $f(0)=f'(0)=0$。
步骤 5/5
目标：证明(3)：估计最大值并导出矛盾
令 $M=\max_{x\in[-1/4,1/4]}(|f(x)|+|f'(x)|)$，取到最大值点 $x_0$。则 $M=|f(x_0)|+|f'(x_0)|\le \frac14(|f''(\xi_0)|+|f''(\eta_0)|)$。由条件 $|f''|\le |f|+|f'|$，得 $M\le \frac14(|f(\xi_0)|+|f'(\xi_0)|+|f(\eta_0)|+|f'(\eta_0)|)\le \frac14(M+M)=\frac12 M$。故 $M=0$，从而 $f(x)\equiv0$ 在 $[-1/4,1/4]$ 上。
公式：|f''(x)|\le |f(x)|+|f'(x)|
提示：注意 $\xi_0,\eta_0$ 也在 $[-1/4,1/4]$ 内，才能用 $M$ 控制。
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