上册 3.4 与导数有关的极限 第4题
📝 题目
4．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可微，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可微， $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=l$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=l$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可微，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{1+x^{2}}=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0, \forall \varepsilon>0, \exists A>0$ ，当 $x>A$ 时有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
由拉格朗日中值定理，$\forall x>A$ 有 $f(x)=f(A)+f^{\prime}(\xi)(x-A), \xi \in(A, x)$ ．由此得
$$
\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leqslant\left|\frac{f(A)}{x}\right|+\left|f^{\prime}(\xi)\right| \frac{x-A}{A} \leqslant\left|\frac{f(A)}{x}\right|+\frac{\varepsilon}{2}
$$
又 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|f(A)|}{x}=0$ ，于是对上述的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $M_{2}>0$ 使得当 $x>M_{2}$ 时有 $\displaystyle \frac{|f(A)|}{x}<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
取 $M=\max \left\{A, M_{2}\right\}$ ，则当 $x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{x}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ ．故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
（2）记 $g(x)=f(x)-l x$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} g^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(f^{\prime}(x)-l\right)=0$ ．由（1）知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{g(x)}{x}=0$ ．从 而 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=l$.
（3）由（1）得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{1+x^{2}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x} \frac{x}{1+x^{2}}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用导数极限条件，控制导数大小
由 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$，当 $x>A$ 时，有 $|f'(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，以及 $A$ 的存在性依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/8
目标：应用拉格朗日中值定理，表示 $f(x)$
对任意 $x>A$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(A,x)$，使得 $f(x)=f(A)+f'(\xi)(x-A)$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(x)-f(A)=f'(\xi)(x-A)$
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，且 $\xi>A$。
步骤 3/8
目标：估计 $\frac{f(x)}{x}$ 的上界
由 $f(x)=f(A)+f'(\xi)(x-A)$，得 $\left|\frac{f(x)}{x}\right|\le \left|\frac{f(A)}{x}\right| + |f'(\xi)|\frac{x-A}{x} \le \left|\frac{f(A)}{x}\right| + |f'(\xi)|$。由于 $x>A$，$\frac{x-A}{x}<1$。又 $\xi>A$，故 $|f'(\xi)|<\frac{\varepsilon}{2}$，所以 $\left|\frac{f(x)}{x}\right|\le \left|\frac{f(A)}{x}\right| + \frac{\varepsilon}{2}$。
提示：注意 $\frac{x-A}{x}\le 1$ 的放缩，以及 $\xi$ 的导数条件。
步骤 4/8
目标：处理 $\frac{f(A)}{x}$ 项
由于 $\lim_{x\to+\infty} \frac{|f(A)|}{x}=0$，对上述 $\varepsilon>0$，存在 $M_2>0$，当 $x>M_2$ 时，$\frac{|f(A)|}{x}<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{c}{x}=0$
提示：注意 $f(A)$ 是常数，极限为0。
步骤 5/8
目标：综合得到极限为0
取 $M=\max\{A, M_2\}$，则当 $x>M$ 时，$\left|\frac{f(x)}{x}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$。由极限定义，$\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$。
公式：极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义
提示：注意 $M$ 的取法要同时满足两个条件。
步骤 6/8
目标：证明(2)：构造辅助函数
令 $g(x)=f(x)-lx$，则 $g'(x)=f'(x)-l$，由条件 $\lim_{x\to\infty} f'(x)=l$ 得 $\lim_{x\to\infty} g'(x)=0$。由(1)知 $\lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{x}=0$。
公式：$g(x)=f(x)-lx$
提示：注意 $g(x)$ 满足(1)的条件。
步骤 7/8
目标：证明(2)：得到结论
由 $\frac{f(x)}{x}= \frac{g(x)}{x}+l$，取极限得 $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}=0+l=l$。
公式：$\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}=l$
提示：注意极限的线性性质。
步骤 8/8
目标：证明(3)：利用(1)的结论
由(1)知 $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$，而 $\frac{f(x)}{1+x^2}=\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{x}{1+x^2}$。由于 $\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{1+x^2}=0$，故 $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{1+x^2}=0\cdot0=0$。
公式：$\frac{f(x)}{1+x^2}=\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{x}{1+x^2}$
提示：注意两个极限均为0，乘积的极限为0。
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