上册 3.4 与导数有关的极限 第12题
📝 题目
12．设函数 $y=f(x)$ 的二阶连续可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{k} f(u)}{f(x) \sin ^{k} u}$ ，其中 $u$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距．$(k=2$ ：北京科技 2013，中南大学 $2013 ; k=1$ ：南航 2000）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\displaystyle u=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}$ ．所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} u=\lim _{x \rightarrow 0}\left(x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\right)=-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x)}=0
$$
由 Taylor 公式，$\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{(n)}(\xi)}{2!} x^{2}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2} x^{2}$ 。于是
$$
f(u)=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!} u^{2}, \frac{x^{k} f(u)}{f(x) \sin ^{k} u}=\frac{x^{k} f(u)}{f(x) u^{k}}=\frac{1}{2!} \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{f(x)} x^{k} u^{2-k}
$$
当 $k=2$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{k} f(u)}{f(x) \sin ^{k} u}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{f(x)} x^{2}=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{f^{\prime}(x)}=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{f^{\prime \prime}(x)}=1$ ．
当 $k=1$ 时，
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{k} f(u)}{f(x) \sin ^{k} u} & =\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{f(x)} x u=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{f(x)} x\left(x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}\right)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x^{2}}{f(x)}-\frac{x}{f^{\prime}(x)}\right) \\
& =\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2 x}{f^{\prime}(x)}-\frac{x}{f^{\prime}(x)}\right)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{f^{\prime \prime}(x)}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求切线截距u的表达式
曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x, f(x))$ 处的切线方程为 $Y - f(x) = f'(x)(X - x)$。令 $Y=0$，解得 $X = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$，即截距 $u = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$。
公式：切线方程：$Y - f(x) = f'(x)(X - x)$
提示：注意截距是切线在x轴上的交点横坐标，不是距离。
步骤 2/7
目标：分析u的极限行为
当 $x \to 0$ 时，由 $f(0)=0, f'(0)=0$，利用洛必达法则：
$$\lim_{x\to 0} u = \lim_{x\to 0} \left(x - \frac{f(x)}{f'(x)}\right) = -\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{f'(x)} = -\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{f''(x)} = -\frac{f'(0)}{f''(0)} = 0.$$
公式：洛必达法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$
提示：注意 $f''(x)>0$ 保证分母不为零，且 $f'(0)=0$。
步骤 3/7
目标：利用泰勒展开近似f(x)和f(u)
由 $f(0)=0, f'(0)=0$，泰勒展开：$f(x) = \frac{f''(\xi)}{2} x^2$，其中 $\xi$ 介于0与x之间。同理，$f(u) = \frac{f''(\eta)}{2} u^2$，其中 $\eta$ 介于0与u之间。当 $x\to 0$ 时，$\xi, \eta \to 0$，且 $f''(\xi) \to f''(0)$，$f''(\eta) \to f''(0)$。
公式：泰勒公式：$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(\xi)}{2}x^2$
提示：注意余项是二阶导数在中间点的形式，且 $f''(x)>0$ 保证连续性。
步骤 4/7
目标：化简极限表达式
将 $f(x)$ 和 $f(u)$ 的近似代入极限，并利用 $\sin u \sim u$（$u\to 0$）：
$$\lim_{x\to 0} \frac{x^k f(u)}{f(x) \sin^k u} = \lim_{x\to 0} \frac{x^k \cdot \frac{f''(\eta)}{2} u^2}{\frac{f''(\xi)}{2} x^2 \cdot u^k} = \lim_{x\to 0} \frac{f''(\eta)}{f''(\xi)} \cdot \frac{x^k u^{2-k}}{x^2}.$$
公式：等价无穷小：$\sin u \sim u$
提示：注意 $u$ 也是无穷小，且 $f''(\eta)/f''(\xi) \to 1$。
步骤 5/7
目标：分情况讨论k=2
当 $k=2$ 时，极限化为 $\lim_{x\to 0} \frac{f''(\eta)}{f''(\xi)} \cdot \frac{x^2 u^{0}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{f''(\eta)}{f''(\xi)} = 1$。
提示：注意 $u^0=1$，且 $f''(\eta)/f''(\xi) \to 1$。
步骤 6/7
目标：分情况讨论k=1
当 $k=1$ 时，极限化为 $\lim_{x\to 0} \frac{f''(\eta)}{f''(\xi)} \cdot \frac{x u}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{u}{x}$。由 $u = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$，得 $\frac{u}{x} = 1 - \frac{f(x)}{x f'(x)}$。利用 $f(x) \sim \frac{f''(0)}{2}x^2$，$f'(x) \sim f''(0)x$，则 $\frac{f(x)}{x f'(x)} \sim \frac{1}{2}$，故 $\frac{u}{x} \sim 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。因此极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：等价无穷小：$f(x) \sim \frac{f''(0)}{2}x^2$，$f'(x) \sim f''(0)x$
提示：注意 $f''(0)>0$，且 $\frac{f(x)}{x f'(x)}$ 的极限需用洛必达或泰勒。
步骤 7/7
目标：总结结果
综上，当 $k=2$ 时，极限为 $1$；当 $k=1$ 时，极限为 $\frac{1}{2}$。
提示：注意题目中k的取值不同，结果不同。
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