下册 7.1 多元函数的极限与连续 第9题
📝 题目
9．设 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 上连续，当 $(x, y) \rightarrow+\infty$ 时，$f(x, y)$ 的极限存在．证明：$f(x, y)$ 在 $D$ 上是一致连续的．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}} f(x, y)=A$ ，所以 $\forall \varepsilon>0, \exists M>1, \forall x>M, y>M$ 有
$$
|f(x, y)-A|<\varepsilon
$$
从而 $\forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right): x_{1}>M, x_{2}>M, y_{1}>M, y_{2}>M$ ，有
$$
\left|f\left(x_{1}, y_{1}\right)-f\left(x_{2}, y_{2}\right)\right| \leqslant\left|f\left(x_{1}, y_{1}\right)-A\right|+\left|f\left(x_{2}, y_{2}\right)-A\right|<2 \varepsilon
$$
即 $f(x, y)$ 在区域 $I=\{(x, y) \mid x>M, y>M\}$ 一致连续。
又 $f(x, y)$ 在 $D_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid M+1 \geqslant x \geqslant 0, M+1 \geqslant y \geqslant 0\right\}$ 上连续，从而一致连续．对上述的 $\varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0, \forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D_{1}$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta_{1},\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta_{1}$ 时有
$$
\left|f\left(x_{1}, y_{1}\right)-f\left(x_{2}, y_{2}\right)\right|<\varepsilon
$$
取 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, 1\right\}$ ，则 $\forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in D:\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta,\left|y_{1}-y_{2}\right|<\delta$（此时，点 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 同时属于 $D_{1}$ 或同时属于 $I$ ）有
$$
\left|f\left(x_{1}, y_{1}\right)-f\left(x_{2}, y_{2}\right)\right|<2 \varepsilon
$$
所以 $f(x, y)$ 在 $D=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 上一致连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限定义得到无穷远区域的一致连续性
设 $\lim_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}} f(x,y)=A$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>1$，使得当 $x>M$，$y>M$ 时，有 $|f(x,y)-A|<\varepsilon$。于是对任意两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 满足 $x_1>M,x_2>M,y_1>M,y_2>M$，有
$$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|\leq |f(x_1,y_1)-A|+|f(x_2,y_2)-A|<2\varepsilon.$$
因此 $f$ 在区域 $I=\{(x,y)\mid x>M,\,y>M\}$ 上一致连续。
公式：|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|\leq |f(x_1,y_1)-A|+|f(x_2,y_2)-A|
提示：注意极限存在的定义中要求 $x$ 和 $y$ 同时趋于无穷，不能只考虑一个变量。
步骤 2/4
目标：在有界闭区域上应用一致连续性定理
考虑有界闭区域 $D_1=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq M+1,\,0\leq y\leq M+1\}$。由于 $f$ 在 $D$ 上连续，故在 $D_1$ 上连续，从而一致连续。对上述 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得对任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in D_1$，当 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 且 $|y_1-y_2|<\delta_1$ 时，有 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon$。
提示：有界闭区域上的连续函数一定一致连续，这是经典结论。注意 $D_1$ 的边界包含 $x=0$ 和 $y=0$，但 $f$ 在边界上连续。
步骤 3/4
目标：构造统一的 $\delta$ 并验证覆盖性
取 $\delta=\min\{\delta_1,1\}$。现在考虑 $D$ 中任意两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$，$|y_1-y_2|<\delta$。由于 $\delta\leq 1$，这两点要么同时属于 $D_1$，要么同时属于 $I$。这是因为：如果其中一点在 $D_1$ 外（即 $x>M+1$ 或 $y>M+1$），由于距离小于1，另一点必然也大于 $M$，从而两点都在 $I$ 中；如果两点都在 $D_1$ 内，则直接由 $D_1$ 上的一致连续性得到 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\varepsilon$；如果两点都在 $I$ 中，则由第一步得到 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<2\varepsilon$。
提示：注意 $\delta$ 的选取要保证两点同时落在同一区域，这里取 $\delta\leq 1$ 是关键，因为 $M+1$ 与 $M$ 相差1。
步骤 4/4
目标：综合得到整体一致连续性
对任意 $\varepsilon>0$，我们找到了 $\delta>0$，使得对 $D$ 中任意两点满足距离小于 $\delta$ 时，有 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<2\varepsilon$。由一致连续的定义，$f$ 在 $D$ 上一致连续。
提示：注意一致连续的定义中 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。这里最终得到的是 $2\varepsilon$，但 $\varepsilon$ 是任意的，所以一致连续性成立。
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