下册 7.2 多元函数的可微性 第7题
📝 题目
7．讨论下列函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处的连续性、偏导数的存在性以及可微性．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}(\right.$ 山东科技 2010／2011，上海理工 2005，温州大学 2012）
（2）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0), \\ 0,(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为
$$
0 \leqslant|f(x, y)|=\left|\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant|x|+|y| \rightarrow 0,(x, y) \rightarrow(0,0),
$$
所以 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)$ 。故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
$$
\begin{gathered}
f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{3}}{(\Delta x)^{3}}=1 \\
f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=-\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{(\Delta y)^{3}}{(\Delta y)^{3}}=-1
\end{gathered}
$$
令 $\Delta x=r \cos \theta, \Delta y=r \sin \theta$ ，则
$$
\begin{aligned}
& \frac{f(\Delta x, \Delta y)-f(0,0)-f_{x}(0,0) \Delta x-f_{y}(0,0) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}} \\
& =\frac{\Delta x^{3}-\Delta y^{3}-\Delta x\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right)+\Delta y\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right)}{\sqrt{\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right)^{3}}} \\
& =\cos ^{2} \theta \sin \theta-\cos \theta \sin ^{2} \theta \mapsto 0\left(r \rightarrow 0^{+}\right)
\end{aligned}
$$
所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．
（2）与（1）类似．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断连续性
考虑 $|f(x,y)| = \left|\frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}\right| \leq \frac{|x|^3 + |y|^3}{x^2 + y^2} \leq |x| + |y|$，因为 $\frac{|x|^3}{x^2+y^2} \leq |x|$，$\frac{|y|^3}{x^2+y^2} \leq |y|$。当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$|x|+|y| \to 0$，所以 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。
公式：|f(x,y)| \leq |x|+|y|
提示：注意绝对值不等式放缩时，要确保分母不为零，且放缩方向正确。
步骤 2/8
目标：计算偏导数
由定义：$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^3/(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$。$f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{-(\Delta y)^3/(\Delta y)^2}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{-\Delta y}{\Delta y} = -1$。
公式：f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}
提示：偏导数定义中，分母是单个变量的改变量，注意分子中另一个变量固定为0。
步骤 3/8
目标：检验可微性：计算增量表达式
令 $\Delta x = r\cos\theta$，$\Delta y = r\sin\theta$，则 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=r$。考虑极限：$\lim_{r\to 0} \frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}$。分子：$f(\Delta x,\Delta y) = \frac{\Delta x^3-\Delta y^3}{\Delta x^2+\Delta y^2}$，减去 $1\cdot\Delta x + (-1)\cdot\Delta y = \Delta x - \Delta y$，得 $\frac{\Delta x^3-\Delta y^3 - (\Delta x-\Delta y)(\Delta x^2+\Delta y^2)}{\Delta x^2+\Delta y^2}$。
提示：注意可微定义中线性部分为 $f_x(0,0)\Delta x + f_y(0,0)\Delta y$，符号不要弄错。
步骤 4/8
目标：化简分子
展开分子：$\Delta x^3-\Delta y^3 - (\Delta x-\Delta y)(\Delta x^2+\Delta y^2) = \Delta x^3-\Delta y^3 - [\Delta x^3+\Delta x\Delta y^2 - \Delta x^2\Delta y - \Delta y^3] = \Delta x^3-\Delta y^3 - \Delta x^3 - \Delta x\Delta y^2 + \Delta x^2\Delta y + \Delta y^3 = -\Delta x\Delta y^2 + \Delta x^2\Delta y = \Delta x\Delta y(\Delta x - \Delta y)$。
公式：分子 = \Delta x\Delta y(\Delta x - \Delta y)
提示：展开时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/8
目标：代入极坐标并求极限
代入 $\Delta x = r\cos\theta$，$\Delta y = r\sin\theta$，则分子变为 $r\cos\theta \cdot r\sin\theta \cdot (r\cos\theta - r\sin\theta) = r^3 \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta)$。分母为 $\Delta x^2+\Delta y^2 = r^2$，所以整个表达式为 $\frac{r^3 \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta)}{r^2 \cdot r} = \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta)$。该极限依赖于 $\theta$，当 $r\to 0$ 时极限不存在（例如取 $\theta=\pi/4$ 得0，取 $\theta=0$ 得0，但取 $\theta=\pi/2$ 得0？实际上 $\cos\theta\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)$ 不是常数，但需注意：当 $\theta$ 固定时，极限为0？不对，因为表达式与 $r$ 无关，所以极限就是该值，但该值随 $\theta$ 变化，因此极限不存在（除非恒为0，但例如 $\theta=\pi/6$ 时不为0）。实际上，当 $\theta$ 固定时，极限是常数，但不同方向极限不同，所以二重极限不存在。因此 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微。
公式：\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r} = \cos\theta\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)
提示：注意极限与路径有关，说明不可微。常见错误：认为极限为0，实际上当 $\theta$ 使得 $\cos\theta\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta) \neq 0$ 时，极限非零。
步骤 6/8
目标：总结（1）的结论
函数 $f(x,y)$ 在原点连续，偏导数存在，但不可微。
步骤 7/8
目标：处理（2）类似问题
对于 $f(x,y)=\frac{x^2 y - y^3}{x^2+y^2}$，类似地：连续性：$|f| \leq \frac{|x|^2|y|+|y|^3}{x^2+y^2} \leq |y| + |y| = 2|y| \to 0$，故连续。偏导数：$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{0-0}{\Delta x}=0$，$f_y(0,0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{-\Delta y^3/\Delta y^2}{\Delta y}=-1$。可微性：考虑增量表达式，分子为 $\frac{\Delta x^2\Delta y - \Delta y^3}{\Delta x^2+\Delta y^2} - (0\cdot\Delta x + (-1)\Delta y) = \frac{\Delta x^2\Delta y - \Delta y^3 + \Delta y(\Delta x^2+\Delta y^2)}{\Delta x^2+\Delta y^2} = \frac{2\Delta x^2\Delta y}{\Delta x^2+\Delta y^2}$，除以 $r$ 得 $\frac{2r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2\cdot r}=2\cos^2\theta\sin\theta$，依赖于 $\theta$，故不可微。
公式：\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r} = 2\cos^2\theta\sin\theta
提示：注意偏导数 $f_x(0,0)$ 为0，不要算错。
步骤 8/8
目标：总结（2）的结论
函数 $f(x,y)$ 在原点连续，偏导数存在，但不可微。
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