下册 7.2 多元函数的可微性 第31题
📝 题目
31．已知 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, g(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续。证明 $f(x, y) g(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, \dot{y}_{0}\right)$ 处可微，且 $d(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) d f\left(x_{0}, y_{0}\right)$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $F(x, y)=f(x, y) g(x, y)$ ，则由 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，$g(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续得
$$
\begin{aligned}
& \Delta f=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y+o(\rho) \text {, 其中 } \rho=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} \text {. } \\
& g(x, y)=g\left(x_{0}, y_{0}\right)+o(\rho) \text {. }
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
\Delta F & =F(x, y)-F\left(x_{0}, y_{0}\right)=f(x, y) g(x, y) \\
& =\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y+o(\rho)\right) \cdot\left(g\left(x_{0}, y_{0}\right)+o(\rho)\right) \\
& =\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y\right) \cdot g\left(x_{0}, y_{0}\right)+o(\rho) .
\end{aligned}
$$
即 $F(x, y)=f(x, y) g(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且
$$
d(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y\right) \cdot g\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) d f\left(x_{0}, y_{0}\right) .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义新函数并写出已知条件
令 $F(x,y)=f(x,y)g(x,y)$。由 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，$g$ 在该点连续，且 $f(x_0,y_0)=0$，可得：
$$\Delta f = f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho)$$，其中 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$。
由连续性：$g(x,y)=g(x_0,y_0)+o(\rho)$。
公式：可微定义：$\Delta f = f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho)$
提示：注意 $f(x_0,y_0)=0$，所以 $\Delta f = f(x,y)$。
步骤 2/5
目标：计算 $\Delta F$ 的表达式
计算 $\Delta F = F(x,y)-F(x_0,y_0)=f(x,y)g(x,y)-0 = f(x,y)g(x,y)$。
代入 $f(x,y)=\Delta f$ 和 $g(x,y)$ 的表达式：
$$\Delta F = \left(f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho)\right)\left(g(x_0,y_0)+o(\rho)\right)$$
提示：注意 $F(x_0,y_0)=0$，因为 $f(x_0,y_0)=0$。
步骤 3/5
目标：展开乘积并整理
展开乘积：
$$\Delta F = \left(f_x\Delta x+f_y\Delta y\right)g(x_0,y_0) + \left(f_x\Delta x+f_y\Delta y\right)o(\rho) + o(\rho)g(x_0,y_0) + o(\rho)o(\rho)$$。
由于 $\left(f_x\Delta x+f_y\Delta y\right)o(\rho)=o(\rho)$（因为 $f_x\Delta x+f_y\Delta y=O(\rho)$），$o(\rho)g(x_0,y_0)=o(\rho)$，$o(\rho)o(\rho)=o(\rho)$，所以：
$$\Delta F = \left(f_x\Delta x+f_y\Delta y\right)g(x_0,y_0)+o(\rho)$$
公式：小o记号性质：$O(\rho)\cdot o(\rho)=o(\rho)$，$o(\rho)\cdot o(\rho)=o(\rho)$
提示：注意 $f_x\Delta x+f_y\Delta y$ 是 $O(\rho)$，与 $o(\rho)$ 相乘仍是 $o(\rho)$。
步骤 4/5
目标：得出可微性结论
由 $\Delta F = \left(f_x\Delta x+f_y\Delta y\right)g(x_0,y_0)+o(\rho)$ 可知，$F$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，且全微分为：
$$dF(x_0,y_0)=\left(f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y\right)g(x_0,y_0)$$
公式：可微定义：若 $\Delta F = A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，则 $dF=A\Delta x+B\Delta y$
提示：注意 $A$ 和 $B$ 应为常数，这里 $A=f_x g$，$B=f_y g$。
步骤 5/5
目标：证明微分公式
由于 $df(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y$，所以：
$$d(fg)(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)\left(f_x\Delta x+f_y\Delta y\right)=g(x_0,y_0)df(x_0,y_0)$$
提示：注意 $g(x_0,y_0)$ 是常数，可以提出来。
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