下册 7.3 微分方程的验证及变量替换 第10题
📝 题目
10．证明下列结论．
（1）设 $x=f(u, v), y=g(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，并满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$ ，设 $\omega=\omega(x, y)$ ，证明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} u}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} v}=\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} w}{\partial^{2} y}\right)\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right]$ ．
（2）设 $z=z(x, y)$ 满足 $\displaystyle \Delta z \equiv \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 。作满足 $\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial s}=\frac{\partial \psi}{\partial t}, \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{\partial \psi}{\partial s}$ 的变换 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(s, t) \text { ，证 } \\ y=\psi(s, t),\end{array}\right.$明 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0$ ．
（3）给定积分 $\displaystyle I=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，作正则变换 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，区域 $D$ 变成 $\Omega$ 。如果变换满足 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}$ ．试证 $\displaystyle I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{align*}
& w_{u}=w_{x} \cdot f_{u}+w_{y} \cdot g_{u}=w_{x} \cdot f_{u}-w_{y} \cdot f_{v}, w_{v}=w_{x} \cdot f_{v}+w_{y} \cdot g_{v}=w_{x} \cdot f_{v}+w_{y} \cdot f_{u} \cdot \tag{1}\\
& w_{u u}=w_{x} \cdot f_{u u}+f_{u}\left(w_{x x} \cdot f_{u}+w_{x y} \cdot g_{u}\right)-w_{y} \cdot f_{u v}-f_{v}\left(w_{y x} \cdot f_{u}+w_{y y} \cdot g_{u}\right) \\
& w_{v v}=w_{x} \cdot f_{v v}+f_{v}\left(w_{x x} \cdot f_{v}+w_{x y} \cdot g_{v}\right)+w_{y} \cdot f_{u v}+f_{u}\left(w_{y x} \cdot f_{v}+w_{y y} \cdot g_{v}\right)
\end{align*}
$$
注意到 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$ ，所以 $\displaystyle f_{u u}+f_{v v}=\frac{\partial^{2} g}{\partial v \partial u}-\frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v}=0$ ．因此
$$
\begin{aligned}
w_{u u}+w_{v v} & =w_{x} \cdot\left(f_{u u}+f_{v v}\right)+w_{x x} \cdot\left(f_{u}\right)^{2}+w_{x x} \cdot\left(f_{v}\right)^{2}-w_{y y} \cdot f_{v} \cdot g_{u}+w_{y y} \cdot f_{u} \cdot g_{v} \\
& =w_{x} \cdot\left(f_{u u}+f_{v v}\right)+w_{x x} \cdot\left[\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}\right]+w_{y y} \cdot\left[\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}\right]=\left(w_{x x}+w_{y y}\right) \cdot\left[\left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2}\right] .
\end{aligned}
$$
（2）由（1）得 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}\right)\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial s}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)^{2}\right]$ ．又 $\displaystyle \Delta z \equiv \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ，所以
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial s^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0
$$
（3）由积分变换公式知 $\displaystyle I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right] \cdot\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ 。而
$$
\begin{aligned}
& \left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|=x_{u} \cdot y_{v}-x_{v} \cdot y_{u}=\left(x_{u}\right)^{2}+\left(x_{v}\right)^{2} \\
& f_{u}=f_{x} \cdot x_{u}+f_{y} \cdot y_{u}, f_{v}=f_{x} \cdot x_{v}+f_{y} \cdot y_{v} \\
& \left(f_{u}\right)^{2}+\left(f_{v}\right)^{2} \\
& =\left(f_{x}\right)^{2} \cdot\left(x_{u}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2} \cdot\left(y_{u}\right)^{2}+2 f_{x} \cdot f_{y} \cdot x_{u} \cdot y_{u}+\left(f_{x}\right)^{2} \cdot\left(x_{v}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2} \cdot\left(y_{v}\right)^{2}+2 f_{x} \cdot f_{y} \cdot x_{v} \cdot y_{v} \\
& =\left[\left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}\right]\left[\left(x_{u}\right)^{2}+\left(x_{v}\right)^{2}\right]=\left[\left(f_{x}\right)^{2}+\left(f_{y}\right)^{2}\right] \cdot\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|
\end{aligned}
$$
所以
$$
I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算一阶偏导数
由链式法则，$w_u = w_x f_u + w_y g_u$，$w_v = w_x f_v + w_y g_v$。利用条件 $g_u = -f_v$，$g_v = f_u$，得 $w_u = w_x f_u - w_y f_v$，$w_v = w_x f_v + w_y f_u$。
公式：链式法则
提示：注意 $g_u$ 和 $g_v$ 与 $f$ 的关系，符号不要弄错。
步骤 2/7
目标：计算二阶偏导数
对 $w_u$ 再求 $u$ 的偏导：$w_{uu} = w_x f_{uu} + f_u (w_{xx} f_u + w_{xy} g_u) - w_y f_{uv} - f_v (w_{yx} f_u + w_{yy} g_u)$。对 $w_v$ 再求 $v$ 的偏导：$w_{vv} = w_x f_{vv} + f_v (w_{xx} f_v + w_{xy} g_v) + w_y f_{uv} + f_u (w_{yx} f_v + w_{yy} g_v)$。
公式：乘积法则和链式法则
提示：注意 $w_{xy}=w_{yx}$，且 $g_u$、$g_v$ 需用 $f$ 表示。
步骤 3/7
目标：相加并化简
将 $w_{uu}$ 和 $w_{vv}$ 相加，利用 $f_{uu}+f_{vv}=0$（由条件可得），并代入 $g_u=-f_v$，$g_v=f_u$，得 $w_{uu}+w_{vv} = w_{xx}(f_u^2+f_v^2) + w_{yy}(f_u^2+f_v^2) = (w_{xx}+w_{yy})(f_u^2+f_v^2)$。
公式：拉普拉斯算子的变换公式
提示：交叉项会相消，注意检查。
步骤 4/7
目标：证明（2）
由（1）的结论，将 $u,v$ 换为 $s,t$，$x,y$ 换为 $x,y$，$f,g$ 换为 $\varphi,\psi$，得 $z_{ss}+z_{tt} = (z_{xx}+z_{yy})[(\varphi_s)^2+(\varphi_t)^2]$。已知 $\Delta z=0$，故 $z_{ss}+z_{tt}=0$。
公式：（1）的结论
提示：注意变量对应关系。
步骤 5/7
目标：证明（3）第一步：雅可比行列式
由变换 $x=x(u,v), y=y(u,v)$，雅可比行列式 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = x_u y_v - x_v y_u$。利用条件 $x_u=y_v, x_v=-y_u$，得 $J = x_u^2 + x_v^2$。
公式：雅可比行列式
提示：注意条件的使用。
步骤 6/7
目标：证明（3）第二步：计算梯度模平方
计算 $f_u = f_x x_u + f_y y_u$，$f_v = f_x x_v + f_y y_v$。则 $f_u^2+f_v^2 = (f_x^2+f_y^2)(x_u^2+x_v^2) = (f_x^2+f_y^2) J$。
公式：链式法则和平方和展开
提示：展开时注意交叉项会相消，利用 $x_u y_u + x_v y_v = 0$（由条件可证）。
步骤 7/7
目标：证明（3）第三步：积分变换
原积分 $I = \iint_D (f_x^2+f_y^2) dxdy$。作变量替换，$dxdy = |J| du dv$，且 $J>0$，故 $I = \iint_\Omega (f_x^2+f_y^2) J du dv = \iint_\Omega (f_u^2+f_v^2) du dv$。
公式：二重积分变量替换公式
提示：注意雅可比行列式取绝对值，但此处 $J$ 为正。
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