下册 7.5 多元函数微分的应用 第38题
📝 题目
38．已知 $f(x, y)$ 在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微，且在 $P_{0}$ 给定了 $n$ 个向量 $l_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，相邻两个向量之间的夹角为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{n}$ ，证明：$\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(P_{0}\right)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$f(x, y)$ 在 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿向量 $l_{i}, i=1,2, \cdots, n$ 的方向导数分别为
$$
\begin{aligned}
& f_{l_{1}}\left(P_{0}\right)=f_{x}\left(P_{0}\right) \cos \frac{2 \pi}{n}+f_{y}\left(P_{0}\right) \sin \frac{2 \pi}{n} \\
& f_{l_{2}}\left(P_{0}\right)=f_{x}\left(P_{0}\right) \cos \frac{2 \cdot 2 \pi}{n}+f_{y}\left(P_{0}\right) \sin \frac{2 \cdot 2 \pi}{n} \\
& \cdots \cdots \\
& f_{l_{1}}\left(P_{0}\right)=f_{x}\left(P_{0}\right) \cos \frac{2 \pi \cdot i}{n}+f_{y}\left(P_{0}\right) \sin \frac{2 \pi \cdot i}{n}
\end{aligned}
$$
相加得
$$
\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(P_{0}\right)=f_{x}\left(P_{0}\right) \sum_{i=1}^{n} \cos \frac{2 \pi \cdot i}{n}+f_{y}\left(P_{0}\right) \sum_{i=1}^{n} \sin \frac{2 \pi \cdot i}{n} .
$$
而
$$
\sum_{i=1}^{n} \cos \frac{2 \pi \cdot i}{n}=\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{2 \pi}{n}}{2 \sin \frac{\pi}{n}}-\frac{1}{2}=0, \sum_{i=1}^{n} \sin \frac{2 \pi \cdot i}{n}=\frac{1}{2}-\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{2 \pi}{n}}{2 \sin \frac{\pi}{n}}=0
$$
故 $\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(P_{0}\right)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出方向导数公式
由于 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，沿方向 $l_i$ 的方向导数可表示为 $f_{l_i}(P_0) = f_x(P_0) \cos \theta_i + f_y(P_0) \sin \theta_i$，其中 $\theta_i$ 是 $l_i$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。
公式：f_{l}(P_0) = f_x(P_0) \cos \theta + f_y(P_0) \sin \theta
提示：注意方向导数公式中，方向向量需为单位向量。
步骤 2/7
目标：确定各方向夹角
已知相邻两个向量之间的夹角为 $\frac{2\pi}{n}$，不妨设第一个向量 $l_1$ 与 $x$ 轴正方向夹角为 $\frac{2\pi}{n}$（或任意起始角，不影响求和结果），则第 $i$ 个向量 $l_i$ 的夹角为 $\theta_i = \frac{2\pi i}{n}$，$i=1,2,\dots,n$。
公式：\theta_i = \frac{2\pi i}{n}
提示：起始角可任意设定，因为求和时所有方向均匀分布，最终结果为零。
步骤 3/7
目标：写出每个方向导数的表达式
于是，$f_{l_i}(P_0) = f_x(P_0) \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) + f_y(P_0) \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$，$i=1,2,\dots,n$。
公式：f_{l_i}(P_0) = f_x(P_0) \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) + f_y(P_0) \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right)
提示：注意 $i$ 从1开始，但若从0开始，结果相同。
步骤 4/7
目标：求和所有方向导数
将所有方向导数相加：$\sum_{i=1}^n f_{l_i}(P_0) = f_x(P_0) \sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) + f_y(P_0) \sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right)$。
公式：\sum_{i=1}^n f_{l_i}(P_0) = f_x(P_0) \sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) + f_y(P_0) \sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right)
提示：注意 $f_x(P_0)$ 和 $f_y(P_0)$ 是常数，可提到求和号外。
步骤 5/7
目标：计算余弦和
利用三角恒等式：$\sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{n}\right)}{2\sin\frac{\pi}{n}} - \frac{1}{2}$。由于 $\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{n}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{n}\right) = -\sin\frac{\pi}{n}$，代入得 $\frac{-\sin\frac{\pi}{n}}{2\sin\frac{\pi}{n}} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$？注意：标准公式为 $\sum_{k=1}^n \cos(k\theta) = \frac{\sin\frac{n\theta}{2} \cos\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$，当 $\theta = \frac{2\pi}{n}$ 时，$\frac{n\theta}{2} = \pi$，$\sin\pi = 0$，故和为0。更简单：考虑复数 $e^{i\frac{2\pi}{n}}$ 的单位根，其和为0，实部也为0。因此 $\sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) = 0$。
公式：\sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{2\pi i}{n}\right) = 0
提示：使用单位根性质更简洁，避免公式记忆错误。
步骤 6/7
目标：计算正弦和
类似地，$\sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right) = 0$，因为单位根虚部之和为零。
公式：\sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{2\pi i}{n}\right) = 0
提示：注意 $\sin$ 求和也可用公式，但单位根方法更统一。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，$\sum_{i=1}^n f_{l_i}(P_0) = f_x(P_0) \cdot 0 + f_y(P_0) \cdot 0 = 0$，命题得证。
提示：该结论与 $f_x(P_0), f_y(P_0)$ 的具体值无关，只要方向均匀分布即可。
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