下册 8.1 二重积分 第28题
📝 题目
28．设 $f(u)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有连续导函数，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right\}, F(t)=\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}+t^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $t \in(-\infty,+\infty)$ ．（1）证明：$F(t)$ 可导，并求 $F^{\prime}(t)$ ；（2）若 $f(u)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，则 $F(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
💡 答案解析
解题过程：
（1）由于
$$
F(t)=\iint_{D} f\left(x^{2}+y^{2}+t^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{R} f\left(r^{2}+t\right) r \mathrm{~d} r=\pi \int_{0}^{R} f\left(r^{2}+t\right) \mathrm{d}\left(r^{2}+t\right)=\pi \int_{t}^{R^{2}+t} f(u) \mathrm{d} u
$$
所以 $F^{\prime}(t)=\pi f\left(R^{2}+t\right)-\pi f(t)$ ．
（2）若 $f(u)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，则 $F^{\prime}(t)=\pi f\left(R^{2}+t\right)-\pi f(t)>0$ ．所以 $F(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二重积分化为极坐标形式
由于积分区域 $D$ 是圆盘 $x^2+y^2\leq R^2$，被积函数只依赖于 $x^2+y^2$，因此采用极坐标变换：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。积分区域变为 $0\leq\theta\leq2\pi$, $0\leq r\leq R$。于是
$$F(t)=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R f(r^2+t^2) r\mathrm{d}r=2\pi\int_0^R f(r^2+t^2) r\mathrm{d}r.$$
公式：极坐标变换：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意极坐标下面积元多一个因子 $r$，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：换元简化积分
令 $u=r^2+t^2$，则 $\mathrm{d}u=2r\mathrm{d}r$，即 $r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$。当 $r=0$ 时 $u=t^2$；当 $r=R$ 时 $u=R^2+t^2$。代入得
$$F(t)=2\pi\int_{t^2}^{R^2+t^2} f(u)\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}u=\pi\int_{t^2}^{R^2+t^2} f(u)\mathrm{d}u.$$
公式：换元积分：$\int f(r^2+t^2) r\mathrm{d}r=\frac12\int f(u)\mathrm{d}u$
提示：注意换元后积分限的变化，以及 $r\mathrm{d}r$ 与 $\mathrm{d}u$ 的关系。
步骤 3/5
目标：对 $F(t)$ 求导
由 $F(t)=\pi\int_{t^2}^{R^2+t^2} f(u)\mathrm{d}u$，利用含参变量积分求导公式（莱布尼茨法则）：
$$F'(t)=\pi\left[f(R^2+t^2)\cdot 2t - f(t^2)\cdot 2t\right]=2\pi t\left[f(R^2+t^2)-f(t^2)\right].$$
公式：莱布尼茨法则：$\frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)} f(u)du = f(b(t))b'(t)-f(a(t))a'(t)$
提示：注意上下限都是 $t$ 的函数，求导时不要忘记乘以导数。
步骤 4/5
目标：讨论单调性条件
若 $f(u)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，则对于任意 $t\geq0$，有 $R^2+t^2 \geq t^2$，从而 $f(R^2+t^2) \geq f(t^2)$。因此 $F'(t)=2\pi t\left[f(R^2+t^2)-f(t^2)\right] \geq 0$。当 $t>0$ 时，$F'(t)>0$；当 $t=0$ 时，$F'(0)=0$。但 $F(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上仍单调递增（非严格）。
公式：单调递增定义：若 $u_1
提示：注意 $t=0$ 时导数为零，但函数仍可能单调递增，需要结合导数非负判断。
步骤 5/5
目标：结论
（1）$F(t)$ 可导，且 $F'(t)=2\pi t\left[f(R^2+t^2)-f(t^2)\right]$。
（2）若 $f(u)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，则 $F'(t)\geq0$，故 $F(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。
提示：最终答案要明确写出导数和单调性结论。
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