下册 8.1 二重积分 第30题
📝 题目
30．求下列极限．
（1）设 $f(x, y)$ 为连续函数，求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}0$ ，求 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{D_{r}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5）求 $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}<\rho^{2}} \mathrm{e}^{-x y} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。曲阜师大 2008）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由积分中值定理，在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2}\right\}$ 内至少存在一点 $(\xi, \eta)$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=f(\xi, \eta)$ ．由此得：
（1） $\displaystyle \lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\pi \rho^{2}} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{\substack{\xi \rightarrow 0 \\ \eta \rightarrow 0}} f(\xi, \eta)=f(0,0)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并应用积分中值定理
对于第一问，设 $f(x,y)$ 连续，区域 $D_\rho = \{(x,y) \mid x^2+y^2 < \rho^2\}$。由二重积分中值定理，存在点 $(\xi,\eta) \in D_\rho$ 使得
\[
\iint_{D_\rho} f(x,y) \,dxdy = f(\xi,\eta) \cdot \pi\rho^2.
\]
因此
\[
\frac{1}{\pi\rho^2}\iint_{D_\rho} f(x,y) \,dxdy = f(\xi,\eta).
\]
当 $\rho \to 0$ 时，$(\xi,\eta) \to (0,0)$，由连续性得极限为 $f(0,0)$。
公式：二重积分中值定理：$\iint_D f(x,y) \,dxdy = f(\xi,\eta) \cdot \text{Area}(D)$
提示：注意中值定理要求 $f$ 连续且区域连通，这里圆盘满足条件。
步骤 2/6
目标：计算第一问极限
由中值定理，
\[
\lim_{\rho \to 0} \frac{1}{\pi\rho^2} \iint_{x^2+y^2<\rho^2} f(x,y) \,dxdy = \lim_{(\xi,\eta)\to(0,0)} f(\xi,\eta) = f(0,0).
\]
提示：极限过程 $\rho\to0$ 对应 $(\xi,\eta)\to(0,0)$。
步骤 3/6
目标：计算第二问极限
令 $f(x,y)=e^{2xy}\cos(x^2-y^2)$，则 $f$ 连续。由中值定理，存在 $(\xi,\eta)$ 在圆盘内，使得
\[
\frac{1}{\pi r^2}\iint_{x^2+y^2
提示：注意 $\cos(0)=1$，$e^0=1$。
步骤 4/6
目标：计算第三问极限（注意区域半径不同）
区域为 $x^2+y^2 < 2r^2$，面积为 $\pi(\sqrt{2}r)^2 = 2\pi r^2$。由中值定理，存在 $(\xi,\eta)$ 在该区域内，使得
\[
\frac{1}{\pi r^2}\iint_{x^2+y^2<2r^2} e^{xy^2}\cos(x^2-y) \,dxdy = \frac{1}{\pi r^2} \cdot e^{\xi\eta^2}\cos(\xi^2-\eta) \cdot 2\pi r^2 = 2 e^{\xi\eta^2}\cos(\xi^2-\eta).
\]
当 $r\to0^+$ 时，$(\xi,\eta)\to(0,0)$，极限为 $2\cdot e^0\cos0=2$。
公式：区域面积 $A = 2\pi r^2$
提示：注意区域半径是 $\sqrt{2}r$，面积是 $2\pi r^2$，中值定理后要乘以面积。
步骤 5/6
目标：计算第四问极限
区域 $D_r: x^2+y^2 \le r^2$，面积为 $\pi r^2$。由中值定理，存在 $(\xi,\eta)\in D_r$ 使得
\[
\frac{1}{\pi r^2}\iint_{D_r} e^{x^2-y^2}\cos(x+y) \,dxdy = e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta).
\]
当 $r\to0^+$ 时，$(\xi,\eta)\to(0,0)$，极限为 $e^0\cos0=1$。
提示：注意 $\cos(0)=1$。
步骤 6/6
目标：计算第五问极限
区域 $x^2+y^2<\rho^2$，面积为 $\pi\rho^2$。由中值定理，存在 $(\xi,\eta)$ 使得
\[
\frac{1}{\pi\rho^2}\iint_{x^2+y^2<\rho^2} e^{-xy}\cos(x+y) \,dxdy = e^{-\xi\eta}\cos(\xi+\eta).
\]
当 $\rho\to0$ 时，$(\xi,\eta)\to(0,0)$，极限为 $e^0\cos0=1$。
提示：注意 $e^{-xy}$ 在 $(0,0)$ 处值为1。
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