下册 8.1 二重积分 第38题
📝 题目
38．计算下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$
（3）求 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y$ 。
（4）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=S$ ，求 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=-\int_{0}^{1} \mathrm{~d} t \int_{0}^{t} x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t \sin t \mathrm{~d} t$
$$
=\left.\frac{1}{2}(t \cos t-\sin t)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}(\cos 1-\sin 1) .
$$
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} t \int_{1}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin t \mathrm{~d} t=2$ ．
（3）$D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1, y^{2} \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y & =\iint_{D} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{1} \mathrm{~d} x=\left.\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}}(x)\right|_{y^{2}} ^{1} \mathrm{~d} y \\
& =\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}}\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y-\int_{0}^{1} y^{2} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y+\int_{0}^{1} y \mathrm{de} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \\
& =\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y+\left(\left.y \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{y^{2}}{2}} \mathrm{~d} y\right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
（4）记 $F(t)=\int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x) f(y) \mathrm{d} y & =\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{x} f(y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{1} f(x) F(x) \mathrm{d} x \\
& =\int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} F(x)=\left.\frac{1}{2} F^{2}(x)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2} F^{2}(1)=\frac{1}{2} S^{2} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：第(1)题：交换积分次序
原积分 $\int_0^1 x f(x) dx$，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\sin t}{t} dt$。交换积分次序：积分区域为 $0\le x\le 1$, $1\le t\le x$，但注意 $t$ 的下限大于上限，因此改写为 $\int_0^1 x dx \int_1^x \frac{\sin t}{t} dt = -\int_0^1 dx \int_x^1 x \frac{\sin t}{t} dt$。交换次序得 $-\int_0^1 dt \int_0^t x \frac{\sin t}{t} dx = -\int_0^1 \frac{\sin t}{t} \left( \int_0^t x dx \right) dt = -\int_0^1 \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{t^2}{2} dt = -\frac{1}{2} \int_0^1 t \sin t dt$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dydx$
提示：注意积分限的方向，$t$ 从 $1$ 到 $x$，当 $x<1$ 时需调整符号。
步骤 2/8
目标：第(1)题：计算定积分
计算 $\int_0^1 t \sin t dt$。使用分部积分：$\int t \sin t dt = -t \cos t + \sin t + C$。代入上下限得 $[-t\cos t + \sin t]_0^1 = -\cos 1 + \sin 1 - (0+0) = \sin 1 - \cos 1$。因此原积分 $= -\frac{1}{2}(\sin 1 - \cos 1) = \frac{1}{2}(\cos 1 - \sin 1)$。
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时注意符号。
步骤 3/8
目标：第(2)题：交换积分次序
原积分 $\int_0^\pi f(x) dx$，其中 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} dt$。交换次序：积分区域 $0\le x\le \pi$, $0\le t\le x$，即 $0\le t\le \pi$, $t\le x\le \pi$。于是 $\int_0^\pi dx \int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} dt = \int_0^\pi dt \int_t^\pi \frac{\sin t}{\pi-t} dx = \int_0^\pi \frac{\sin t}{\pi-t} (\pi - t) dt = \int_0^\pi \sin t dt$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dydx$
提示：交换次序后内层积分变量为 $x$，被积函数与 $x$ 无关，直接乘长度。
步骤 4/8
目标：第(2)题：计算定积分
计算 $\int_0^\pi \sin t dt = [-\cos t]_0^\pi = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1+1=2$。
公式：$\int \sin t dt = -\cos t + C$
提示：注意 $\cos \pi = -1$。
步骤 5/8
目标：第(3)题：交换积分次序
原积分 $\int_0^1 f(x) dx$，其中 $f(x)=\int_0^{\sqrt{x}} e^{-y^2/2} dy$。积分区域 $0\le x\le 1$, $0\le y\le \sqrt{x}$，等价于 $0\le y\le 1$, $y^2\le x\le 1$。交换次序得 $\int_0^1 dy \int_{y^2}^1 e^{-y^2/2} dx = \int_0^1 e^{-y^2/2} (1-y^2) dy$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dydx$
提示：注意 $y$ 的范围由 $\sqrt{x}$ 决定，$x$ 从 $y^2$ 到 $1$。
步骤 6/8
目标：第(3)题：计算定积分
计算 $\int_0^1 e^{-y^2/2} (1-y^2) dy = \int_0^1 e^{-y^2/2} dy - \int_0^1 y^2 e^{-y^2/2} dy$。对第二项分部积分：令 $u=y$, $dv=y e^{-y^2/2} dy$，则 $du=dy$, $v=-e^{-y^2/2}$。于是 $\int_0^1 y^2 e^{-y^2/2} dy = [-y e^{-y^2/2}]_0^1 + \int_0^1 e^{-y^2/2} dy = -e^{-1/2} + \int_0^1 e^{-y^2/2} dy$。代入得原积分 $= \int_0^1 e^{-y^2/2} dy - (-e^{-1/2} + \int_0^1 e^{-y^2/2} dy) = e^{-1/2}$。
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时注意 $v$ 的符号。
步骤 7/8
目标：第(4)题：引入原函数并分部积分
令 $F(t)=\int_0^t f(x) dx$，则 $F'(t)=f(t)$，且 $F(0)=0$。原积分 $\int_0^1 dx \int_0^x f(x) f(y) dy = \int_0^1 f(x) \left( \int_0^x f(y) dy \right) dx = \int_0^1 f(x) F(x) dx = \int_0^1 F(x) dF(x)$。
公式：$F'(x)=f(x)$
提示：注意 $\int_0^x f(y) dy = F(x)$。
步骤 8/8
目标：第(4)题：计算定积分
计算 $\int_0^1 F(x) dF(x) = \left[ \frac{1}{2} F^2(x) \right]_0^1 = \frac{1}{2} F^2(1) - \frac{1}{2} F^2(0) = \frac{1}{2} S^2$，因为 $F(1)=\int_0^1 f(x) dx = S$，$F(0)=0$。
公式：$\int u du = \frac{1}{2} u^2 + C$
提示：注意 $F(0)=0$。
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