下册 8.1 二重积分 第40题
📝 题目
40．设圆盘 $(x-a)^{2}+(y+b)^{2} \leqslant R^{2}$ 上各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量。华东师大2009）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由题意，此圆盘的质量 $M=\iint_{D} \sqrt{(x-a)^{2}+(y+b)^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ 。令 $x=a+r \cos t, y=-b+r \sin t$ ，则 $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant R$ ．于是圆盘的质量为
$$
M=\iint_{D} \sqrt{(x-a)^{2}+(y+b)^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} t \int_{0}^{R} r^{2} \mathrm{~d} r=\frac{2}{3} \pi R^{3}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立质量积分表达式
由题意，圆盘上各点的密度等于该点到圆心的距离。圆心坐标为 $(a, -b)$，因此点 $(x, y)$ 处的密度为 $\sqrt{(x-a)^2 + (y+b)^2}$。圆盘区域 $D: (x-a)^2 + (y+b)^2 \leq R^2$。质量 $M$ 为密度在区域 $D$ 上的二重积分：
$$ M = \iint_D \sqrt{(x-a)^2 + (y+b)^2} \, d\sigma. $$
公式：M = ∬_D ρ(x,y) dσ
提示：注意密度函数是点到圆心的距离，圆心坐标为 (a, -b)，不是 (a, b)。
步骤 2/6
目标：极坐标变换
为简化积分，作平移和极坐标变换。令 $x = a + r\cos t$，$y = -b + r\sin t$，其中 $r \geq 0$，$0 \leq t \leq 2\pi$。则区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq R$，$0 \leq t \leq 2\pi$。雅可比行列式为 $r$，面积元 $d\sigma = r\, dr\, dt$。
公式：x = a + r cos t, y = -b + r sin t, dσ = r dr dt
提示：注意平移后圆心变为原点，极坐标的变量替换要正确。
步骤 3/6
目标：被积函数变换
被积函数 $\sqrt{(x-a)^2 + (y+b)^2}$ 在极坐标下变为 $\sqrt{(r\cos t)^2 + (r\sin t)^2} = r$。因此积分变为：
$$ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \cdot r \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r^2 \, dr \, dt. $$
公式：√((x-a)^2+(y+b)^2) = r
提示：注意被积函数与面积元中的 r 相乘得到 r^2。
步骤 4/6
目标：计算内层积分
先对 $r$ 积分：
$$ \int_{0}^{R} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{R} = \frac{R^3}{3}. $$
公式：∫ r^2 dr = r^3/3
提示：幂函数积分公式，注意上下限。
步骤 5/6
目标：计算外层积分
再对 $t$ 积分：
$$ \int_{0}^{2\pi} \frac{R^3}{3} \, dt = \frac{R^3}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi R^3}{3}. $$
公式：∫ dt = 2π
提示：常数积分，注意积分区间长度。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，圆盘的质量为：
$$ M = \frac{2}{3} \pi R^3. $$
提示：结果与 a, b 无关，因为密度只依赖于到圆心的距离。
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