下册 8.1 二重积分 第45题
📝 题目
45．证明下列各题．
（1）设 $D$ 为 $\mathbf{R}^{2}$ 上有光滑边界的闭区域，$f$ 是定义在 $D$ 上的实函数，试证明：若 $\iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $f$ 在 $D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）$f(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 上连续，$D_{r}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ ，若 $\forall\left(x_{0}, y_{0}\right), \forall r>0$ ， $\iint_{D_{r}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$ ，则 $f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）若 $f(x, y)$ 在 $D$ 中有值不为 0 的连续点，不妨设 $\exists P_{0}(a, b) \in D$ 使得 $f^{2}\left(P_{0}\right)>0$ ．由保号性定理，存在圆形邻域 $U\left(P_{0} ; \delta\right)$ ，使 $\forall(x, y) \in U\left(P_{0} ; \delta\right)$ 有 $\displaystyle f^{2}(x, y) \geqslant \frac{f^{2}\left(P_{0}\right)}{2}>0$ ．于是
$$
\iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D-U\left(P_{0, S}\right)} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{U\left(P_{0} ; \delta\right)} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant \iint_{U\left(P_{0} ; \delta\right)} \frac{f^{2}\left(P_{0}\right)}{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{f^{2}\left(P_{0}\right)}{2} \cdot \pi \delta^{2}>0
$$
这与已知条件矛盾．所以 $f(x, y)$ 在 $D$ 中的连续点的值为 0 ．
（2）若 $\forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f(x, y) \neq 0$ ，不妨设 $\exists P_{0}(a, b) \in\left\{(x, y) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}0$ 。由保号性定理，存在圆形邻域 $U\left(P_{0} ; \delta\right)$ ，使 $\forall(x, y) \in U\left(P_{0} ; \delta\right)$ 有 $\displaystyle f^{2}(x, y) \geqslant \frac{f^{2}\left(P_{0}\right)}{2}>0$ 。于是
$$
\iint_{D} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D-U\left(P_{0, \delta}\right)} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{U\left(P_{0} ; \delta\right)} f^{2}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant \iint_{U\left(P_{0} ; \delta\right)} \frac{f^{2}\left(P_{0}\right)}{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{f^{2}\left(P_{0}\right)}{2} \cdot \pi \delta^{2}>0
$$
这与已知条件矛盾．所以 $f(x, y)=0,(x, y) \in \mathbf{R}^{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反设存在非零连续点
假设存在点 $P_0(a,b) \in D$ 使得 $f(P_0) \neq 0$，则 $f^2(P_0) > 0$。由于 $f$ 在 $P_0$ 连续，由保号性，存在 $δ > 0$ 使得在圆形邻域 $U(P_0; δ) \subset D$ 内，$f^2(x,y) \geq \frac{f^2(P_0)}{2} > 0$。
公式：保号性：若 $f$ 连续且 $f(P_0) > 0$，则存在邻域使 $f > \frac{f(P_0)}{2}$。
提示：注意邻域必须包含在 $D$ 内部，因为 $D$ 有边界，但连续点可能在内部。
步骤 2/5
目标：利用积分非负性导出矛盾
计算二重积分：
$$
\iint_D f^2 \,dxdy \geq \iint_{U(P_0;\delta)} f^2 \,dxdy \geq \iint_{U(P_0;\delta)} \frac{f^2(P_0)}{2} \,dxdy = \frac{f^2(P_0)}{2} \cdot \pi \delta^2 > 0.
$$
这与已知条件 $\iint_D f^2 = 0$ 矛盾。因此假设不成立，所有连续点处 $f=0$。
公式：积分不等式：$\iint_D f^2 \geq \iint_{U} f^2$ 因为被积函数非负。
提示：注意 $f^2 \geq 0$，所以积分在子区域上更小，但这里用下界估计。
步骤 3/5
目标：第二问反设存在非零点
假设存在点 $P_0 \in \mathbb{R}^2$ 使得 $f(P_0) \neq 0$，不妨设 $f(P_0) > 0$（否则考虑 $-f$）。由连续性，存在 $δ > 0$ 使得在圆盘 $U(P_0; \delta)$ 内 $f(x,y) \geq \frac{f(P_0)}{2} > 0$。
公式：保号性：$f$ 连续，$f(P_0)>0$ 则存在邻域使 $f > \frac{f(P_0)}{2}$。
提示：注意 $f$ 可能变号，但取绝对值或平方后处理。
步骤 4/5
目标：选取包含该邻域的圆盘
取 $r$ 足够大使得圆盘 $D_r(x_0,y_0)$ 包含 $U(P_0;\delta)$，例如取 $r = |P_0 - (x_0,y_0)| + \delta$。则 $\iint_{D_r} f \,dxdy \geq \iint_{U(P_0;\delta)} f \,dxdy \geq \frac{f(P_0)}{2} \cdot \pi \delta^2 > 0$，与条件 $\iint_{D_r} f = 0$ 矛盾。
公式：积分不等式：$\iint_{D_r} f \geq \iint_{U} f$ 因为 $f \geq 0$ 在 $U$ 上。
提示：注意条件是对所有圆盘成立，所以可以选一个包含邻域的圆盘。
步骤 5/5
目标：结论
因此假设不成立，对所有 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$，$f(x,y)=0$。
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