下册 8.2 三重积分 第13题
📝 题目
13．化下列积分为累次积分．
（1）将积分 $\iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 分别用直角坐标、柱面坐标和球面坐标表示为一个逐次积分，其中 $V$ 是由 $x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=0$ 与 $z=1$ 所围成的区域．
（2）将积分 $\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V$ 化为：（1）直角坐标，（2）柱面坐标，（3）球面坐标下的三次积分，其中 $\Omega$ 是由 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)$ 所围成的立体。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图8．152所示，在直角坐标下，$V=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant z \leqslant 1,-\sqrt{R^{2}-x^{2}} \leqslant y \leqslant \sqrt{R^{2}-x^{2}}\right.$ ， $-R \leqslant x \leqslant R\}$ ．于是
$$
\iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{-R}^{R} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z .
$$
在柱面坐标下，$V=\{(r, \theta, z) \mid 0 \leqslant z \leqslant 1,0 \leqslant r \leqslant R, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\}$ ．于是
$$
\iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{R} \mathrm{~d} r \int_{0}^{1} r f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \mathrm{d} z .
$$
在球面坐标下，
$$
\begin{aligned}
V= & \left\{(r, \theta, \varphi) \left\lvert\, 0 \leqslant r \leqslant \frac{R}{\cos \varphi}\right., 0 \leqslant \varphi \leqslant \operatorname{arccot} R, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right\} \cup \\
& \left\{(r, \theta, \varphi) \left\lvert\, 0 \leqslant r \leqslant \frac{1}{\sin \varphi}\right., \operatorname{arccot} R \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right\} .
\end{aligned}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iiint_{V} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z= & \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\operatorname{arccot} R} \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{\frac{R}{\cos \varphi}} r^{2} \sin \varphi f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) \mathrm{d} r+ \\
& \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{\operatorname{arccot} R}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{\frac{1}{\sin \varphi}} r^{2} \sin \varphi f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) \mathrm{d} r
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-208.jpg?height=1355&width=1044&top_left_y=828&top_left_x=1008}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．152}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-208.jpg?height=1265&width=1141&top_left_y=918&top_left_x=3439}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图8．153}
\end{figure}
（2）如图8．153所示，在直角坐标下，
$$
\Omega=\left\{(x, y, z) \mid a-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} \leqslant z \leqslant a+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},-\sqrt{a^{2}-x^{2}} \leqslant y \leqslant \sqrt{a^{2}-x^{2}},-a \leqslant x \leqslant a\right\} .
$$
于是
$$
\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V=\int_{-a}^{a} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{a-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{a+\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} z
$$
在柱面坐标下，$\Omega=\left\{(z, r, \theta) \mid a-\sqrt{a^{2}-r^{2}} \leqslant z \leqslant a+\sqrt{a^{2}-r^{2}}, 0 \leqslant r \leqslant a, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right\}$ ．于是
$$
\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{a} \mathrm{~d} r \int_{a-\sqrt{a^{2}-r^{2}}}^{a+\sqrt{a^{2}-r^{2}}} r f\left(r^{2}, z\right) \mathrm{d} z
$$
在球面坐标下，$\displaystyle \Omega=\left\{(r, \varphi, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant 2 a \cos \varphi, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right\}$ ．于是
$$
\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}, z\right) \mathrm{d} V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \varphi \int_{0}^{2 a \cos \varphi} r^{2} \sin \varphi f\left(r^{2} \sin ^{2} \varphi, r \cos \varphi\right) \mathrm{d} r
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析区域V的几何形状
区域V由圆柱面$x^2+y^2=R^2$和平面$z=0$、$z=1$围成，是一个底面半径为$R$、高为1的直圆柱体。
提示：注意圆柱体的轴线为z轴，底面在z=0，顶面在z=1。
步骤 2/8
目标：直角坐标下表示积分
在直角坐标下，先对z积分（从0到1），再对y积分（从$-\sqrt{R^2-x^2}$到$\sqrt{R^2-x^2}$），最后对x积分（从$-R$到$R$）：
$$\iiint_V f(x,y,z)\,dV = \int_{-R}^{R} dx \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} dy \int_0^1 f(x,y,z)\,dz.$$
公式：直角坐标三重积分：$\iiint f\,dV = \iiint f\,dxdydz$
提示：注意y的上下限依赖于x，x的上下限是常数。
步骤 3/8
目标：柱面坐标下表示积分
柱面坐标变换：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$，雅可比行列式为$r$。区域变为$0\le r\le R$, $0\le\theta\le2\pi$, $0\le z\le1$。积分化为：
$$\iiint_V f\,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R dr \int_0^1 r\,f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\,dz.$$
公式：柱面坐标变换：$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
提示：不要忘记雅可比因子$r$。
步骤 4/8
目标：球面坐标下表示积分（分两部分）
球面坐标变换：$x=r\sin\varphi\cos\theta$, $y=r\sin\varphi\sin\theta$, $z=r\cos\varphi$，雅可比行列式为$r^2\sin\varphi$。区域V由圆柱面和平面$z=1$围成，需分两部分：
- 当$0\le\varphi\le\operatorname{arccot}R$时，$r$从0到$R/\cos\varphi$（由圆柱面限制）；
- 当$\operatorname{arccot}R\le\varphi\le\pi/2$时，$r$从0到$1/\sin\varphi$（由平面$z=1$限制）。
积分化为：
$$\iiint_V f\,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\operatorname{arccot}R} d\varphi \int_0^{R/\cos\varphi} r^2\sin\varphi\,f(\cdots)\,dr + \int_0^{2\pi} d\theta \int_{\operatorname{arccot}R}^{\pi/2} d\varphi \int_0^{1/\sin\varphi} r^2\sin\varphi\,f(\cdots)\,dr.$$
公式：球面坐标变换：$dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$
提示：注意$\varphi$从z轴正方向开始测量，$\operatorname{arccot}R = \arctan(1/R)$。
步骤 5/8
目标：分析区域Ω的几何形状
区域Ω由球面$x^2+y^2+z^2=2az$围成，即$x^2+y^2+(z-a)^2=a^2$，是一个球心在$(0,0,a)$、半径为$a$的球体。
提示：球面方程可配方为$x^2+y^2+(z-a)^2=a^2$。
步骤 6/8
目标：直角坐标下表示积分
在直角坐标下，先对z积分（从$a-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$到$a+\sqrt{a^2-x^2-y^2}$），再对y积分（从$-\sqrt{a^2-x^2}$到$\sqrt{a^2-x^2}$），最后对x积分（从$-a$到$a$）：
$$\iiint_\Omega f(x^2+y^2,z)\,dV = \int_{-a}^a dx \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} dy \int_{a-\sqrt{a^2-x^2-y^2}}^{a+\sqrt{a^2-x^2-y^2}} f(x^2+y^2,z)\,dz.$$
提示：注意z的上下限是球面的上下两部分。
步骤 7/8
目标：柱面坐标下表示积分
柱面坐标变换：$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$，雅可比为$r$。区域变为$0\le r\le a$, $0\le\theta\le2\pi$, $z$从$a-\sqrt{a^2-r^2}$到$a+\sqrt{a^2-r^2}$。积分化为：
$$\iiint_\Omega f\,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a dr \int_{a-\sqrt{a^2-r^2}}^{a+\sqrt{a^2-r^2}} r\,f(r^2,z)\,dz.$$
公式：柱面坐标：$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
提示：注意$f$中$x^2+y^2$变为$r^2$。
步骤 8/8
目标：球面坐标下表示积分
球面坐标变换：$x=r\sin\varphi\cos\theta$, $y=r\sin\varphi\sin\theta$, $z=r\cos\varphi$，雅可比为$r^2\sin\varphi$。球面方程$x^2+y^2+z^2=2az$化为$r^2=2a r\cos\varphi$，即$r=2a\cos\varphi$。由于球体在$z\ge0$部分，$\varphi$从0到$\pi/2$，$r$从0到$2a\cos\varphi$。积分化为：
$$\iiint_\Omega f\,dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} d\varphi \int_0^{2a\cos\varphi} r^2\sin\varphi\,f(r^2\sin^2\varphi, r\cos\varphi)\,dr.$$
公式：球面坐标：$dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$
提示：注意$f$中$x^2+y^2$变为$r^2\sin^2\varphi$，$z$变为$r\cos\varphi$。
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