下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第1题
📝 题目
1．计算下列曲线积分．
（1） $\int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 。
（2） $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $L$ 为 $x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant \pi)$ 。
（3） $\int_{L}\left(x^{3} \cos y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{ds}$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=1$ ．
（4） $\int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和平面 $x+z=a$ 的交线．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：如图 9.1 所示，$L$ 的参数方程为 $\displaystyle x=\frac{a}{2}+\frac{a}{2} \cos \theta, y=\frac{a}{2} \sin \theta(0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi)$ ，且
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} s=\sqrt{\left(x^{\prime}(\theta)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(\theta)\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta=\frac{a}{2} \mathrm{~d} \theta \\
& \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}(1+\cos \theta)^{2}+\frac{a^{2}}{4} \sin ^{2} \theta}=a\left|\cos \frac{\theta}{2}\right| .
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle \quad \oint_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s=\int_{0}^{2 \pi} a\left|\cos \frac{\theta}{2}\right| \cdot \frac{a}{2} \mathrm{~d} \theta=2 a^{2}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-230.jpg?height=1086&width=1134&top_left_y=3798&top_left_x=4040}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.1}
\end{figure}
方法 2：记 $L=L_{1}+L_{2}$ ，
$$
L_{1}: y=\sqrt{a x-x^{2}}, L_{2}: y=-\sqrt{a x-x^{2}}, x \in[0, a] ; \mathrm{d} s=\sqrt{1+\left(\frac{a-2 x}{2 \sqrt{a x-x^{2}}}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{a}{2 \sqrt{a x-x^{2}}} \mathrm{~d} x
$$
于是 $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s=2 \int_{0}^{a} \sqrt{a} \sqrt{x} \frac{a}{2 \sqrt{a x-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\sqrt{a} a \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a-x}} \mathrm{~d} x=2 a^{2}$ ．
（2） $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=\int_{L} a^{2} \mathrm{~d} s=a^{2} \int_{L} \mathrm{~d} s=\pi a^{3}$ ．
（3）由对称性有 $\int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s=\int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ 。因此 $\displaystyle \int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s=\frac{1}{2} \int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=\frac{1}{2} \int_{L} \mathrm{~d} s=\pi$ 。所以
$$
\int_{L}\left(x^{3} \cos y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{d} s=\int_{L} x^{3} \cos y \mathrm{~d} s+\int_{L} 7 y^{2} \mathrm{~d} s=\int_{L} x^{3} \cos y \mathrm{~d} s+7 \pi .
$$
记 $L_{1}: y=\sqrt{1-x^{2}}, L_{2}: y=-\sqrt{1-x^{2}}, x \in[-1,1]$ ，则
$$
\int_{L} x^{3} \cos y \mathrm{~d} s=\int_{L_{1}} x^{3} \cos y \mathrm{~d} s+\int_{L_{2}} x^{3} \cos y \mathrm{~d} s=2 \int_{-1}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cos \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=0 .
$$
于是 $\int_{L}\left(x^{3} \cos y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{d} s=7 \pi$ ．
（4）如图 9.2 所示，$L$ 的参数方程为 $\displaystyle x=\frac{a}{2}+\frac{a}{2} \cos \theta, y=\frac{a}{\sqrt{2}} \sin \theta, z=\frac{a}{2}-\frac{a}{2} \cos \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ，则
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} s=\sqrt{\left(-\frac{a}{2} \sin \theta\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}} \cos \theta\right)^{2}+\left(\frac{a}{2} \sin \theta\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta=\frac{a}{\sqrt{2}} \mathrm{~d} \theta . \\
& \int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s=\int_{0}^{2 \pi} \frac{a^{2}}{2} \sin ^{2} \theta \frac{a}{\sqrt{2}} \mathrm{~d} \theta=\frac{a^{3}}{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{a^{3}}{2 \sqrt{2}} \pi .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将曲线L化为参数方程
曲线L为 $x^2+y^2=ax$，即 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=(\frac{a}{2})^2$，是以 $(\frac{a}{2},0)$ 为圆心、$\frac{a}{2}$ 为半径的圆。参数方程为 $x=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos\theta,\ y=\frac{a}{2}\sin\theta,\ 0\leq\theta\leq2\pi$。
提示：注意圆心不在原点，参数方程需平移。
步骤 2/8
目标：计算弧长微分ds
计算 $x'(\theta)=-\frac{a}{2}\sin\theta,\ y'(\theta)=\frac{a}{2}\cos\theta$，则 $ds=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}d\theta=\sqrt{\frac{a^2}{4}\sin^2\theta+\frac{a^2}{4}\cos^2\theta}d\theta=\frac{a}{2}d\theta$。
公式：$ds=\sqrt{(x')^2+(y')^2}d\theta$
提示：弧长微分公式不要忘记根号。
步骤 3/8
目标：计算被积函数 $\sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos\theta)^2+(\frac{a}{2}\sin\theta)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\sqrt{\frac{a^2}{4}(2+2\cos\theta)}=\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\cos\theta}=a|\cos\frac{\theta}{2}|$。
公式：$\sqrt{1+\cos\theta}=|\cos\frac{\theta}{2}|\sqrt{2}$
提示：注意绝对值，因为 $\cos\frac{\theta}{2}$ 可能为负。
步骤 4/8
目标：计算曲线积分
$\int_L \sqrt{x^2+y^2}ds = \int_0^{2\pi} a|\cos\frac{\theta}{2}| \cdot \frac{a}{2}d\theta = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}|\cos\frac{\theta}{2}|d\theta$。令 $t=\frac{\theta}{2}$，则 $d\theta=2dt$，积分限 $0\leq t\leq\pi$，原式 $=\frac{a^2}{2}\int_0^{\pi}|\cos t|\cdot 2dt = a^2\int_0^{\pi}|\cos t|dt = a^2\left(\int_0^{\pi/2}\cos t dt + \int_{\pi/2}^{\pi}(-\cos t)dt\right)=a^2(1+1)=2a^2$。
公式：$\int_0^{\pi}|\cos t|dt=2$
提示：处理绝对值时要分段积分。
步骤 5/8
目标：计算第二题
曲线L是半径为a的圆的上半部分（$0\leq t\leq\pi$），被积函数 $x^2+y^2=a^2$，所以 $\int_L (x^2+y^2)ds = a^2\int_L ds = a^2 \cdot \pi a = \pi a^3$。
公式：$\int_L ds = \text{弧长}$
提示：注意L是上半圆，弧长为 $\pi a$。
步骤 6/8
目标：计算第三题，利用对称性化简
L为单位圆，由对称性 $\int_L x^2 ds = \int_L y^2 ds$，且 $\int_L (x^2+y^2)ds = \int_L 1 ds = 2\pi$，所以 $\int_L x^2 ds = \pi$。原积分 $\int_L (x^3\cos y + 3x^2+4y^2)ds = \int_L x^3\cos y ds + \int_L (3x^2+4y^2)ds$。由于 $\int_L x^3\cos y ds$ 中 $x^3\cos y$ 关于x是奇函数，L关于x轴对称，故该积分为0。而 $\int_L (3x^2+4y^2)ds = 3\int_L x^2 ds + 4\int_L y^2 ds = 3\pi+4\pi=7\pi$。
公式：$\int_L x^2 ds = \frac{1}{2}\int_L (x^2+y^2)ds$
提示：奇函数在对称区间积分为零，但需注意曲线对称性。
步骤 7/8
目标：计算第四题，求交线参数方程
球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+z=a$ 的交线。将 $z=a-x$ 代入球面得 $x^2+y^2+(a-x)^2=a^2$，化简得 $2x^2-2ax+y^2=0$，即 $(x-\frac{a}{2})^2+\frac{y^2}{2}=(\frac{a}{2})^2$。参数方程：$x=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos\theta,\ y=\frac{a}{\sqrt{2}}\sin\theta,\ z=a-x=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\cos\theta,\ 0\leq\theta\leq2\pi$。
提示：注意y的系数，需化为标准椭圆形式。
步骤 8/8
目标：计算第四题的弧长微分和积分
求导：$x'(\theta)=-\frac{a}{2}\sin\theta,\ y'(\theta)=\frac{a}{\sqrt{2}}\cos\theta,\ z'(\theta)=\frac{a}{2}\sin\theta$。则 $ds=\sqrt{(-\frac{a}{2}\sin\theta)^2+(\frac{a}{\sqrt{2}}\cos\theta)^2+(\frac{a}{2}\sin\theta)^2}d\theta = \sqrt{\frac{a^2}{4}\sin^2\theta+\frac{a^2}{2}\cos^2\theta+\frac{a^2}{4}\sin^2\theta}d\theta = \sqrt{\frac{a^2}{2}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}d\theta = \frac{a}{\sqrt{2}}d\theta$。被积函数 $y^2 = \frac{a^2}{2}\sin^2\theta$，所以 $\int_L y^2 ds = \int_0^{2\pi} \frac{a^2}{2}\sin^2\theta \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}d\theta = \frac{a^3}{2\sqrt{2}}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta = \frac{a^3}{2\sqrt{2}}\cdot \pi = \frac{\pi a^3}{2\sqrt{2}}$。
公式：$\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta = \pi$
提示：注意 $\sin^2\theta$ 的积分周期为 $\pi$。
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