下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第9题
📝 题目
9．设 $S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，计算下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}\right) \mathrm{d} S$ ．
（2） $\iint_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$.
（3） $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S(a=1$ ：吉林大学 2006）
（4） $\iint_{S}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S$ ．
（5） $\iint_{S}(x+y+z)^{3} \mathrm{~d} S .(a=1$ ：吉林大学 2007）
（6） $\iint_{S}\left(x^{2}+x^{7} y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：中科大 2008）
（7） $\iint_{S}\left(6 x^{2}+4 y x^{2}+z\right) \mathrm{d} S .(a=1$ ：湖南大学 2011）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图9．15所示，由对称性有
$\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{S} y^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{S} z^{2} \mathrm{~d} S=\frac{1}{3} \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=\frac{1}{3} \iint_{S} a^{2} \mathrm{~d} S=\frac{4 \pi a^{4}}{3}$.
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}\right) \mathrm{d} S=\frac{13}{12} \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S=\frac{13}{9} \pi a^{4}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=\frac{2}{3} \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=\frac{2}{3} \iint_{S} a^{2} \mathrm{~d} S=\frac{2}{3} \cdot 4 \pi a^{4}=\frac{8}{3} \pi a^{4}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-238.jpg?height=1182&width=1224&top_left_y=2762&top_left_x=4309}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.15}
\end{figure}
（3）当 $a=1$ 时， $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S=\frac{1}{3} \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=\frac{1}{3} \iint_{S} a^{2} \mathrm{~d} S=\frac{4}{3} \pi a^{4}=\frac{4}{3} \pi$ ．
（4）由于曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 关于三个坐标面都对称，而函数 $2 x y, 2 y z, 2 x z$ 分别关于变量 $x, y, z$ 是奇函数，所以由对称性可得
于是
$$
\iint_{S}(2 x y+2 y z+2 z x) \mathrm{d} S=\iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} S+\iint_{S} 2 y z \mathrm{~d} S+\iint_{S} 2 z x \mathrm{~d} S=0 .
$$
$$
\begin{align*}
& \left.\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s=\iint_{S} a^{2} \mathrm{~d} s=4 \pi a^{4} . \text { (因为在 } S \text { 上 } x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\right) \\
& (x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+z^{3}+3\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right) z+3(x+y) z^{2} . \tag{5}
\end{align*}
$$
由于曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 关于三个坐标面都对称，而上面和式中的每个函数分别关于变量 $x, y, z$ 是奇函数，所以由对称性得 $\iint_{S}(x+y+z)^{3} \mathrm{~d} S=0$ ．
（6）因为曲面关于平面 $y O z$ 对称，$x^{7} y^{2}$ 是 $x$ 的奇函数，所以 $\iint_{S} x^{7} y^{2} \mathrm{~d} S=0$ ．
又曲面关于 $x O y$ 平面对称，$z^{3}$ 是 $z$ 的奇函数，所以 $\iint_{S} z^{3} \mathrm{~d} S=0$ ．
注意到曲面关于 $x, y, z$ 是轮换对称的，所以 $\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{S} y^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{S} z^{2} \mathrm{~d} S$ ．于是
$$
\iint_{S}\left(x^{2}+x^{7} y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} S=\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S=\frac{1}{3} \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=\frac{1}{3} \iint_{S} \mathrm{~d} S=\frac{1}{3} \cdot 4 \pi=\frac{4}{3} \pi .
$$
（7）由对称性有 $\iint_{S}\left(6 x^{2}+4 y x^{2}+z\right) \mathrm{d} S=6 \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} S=2 \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=2 \iint_{S} \mathrm{~d} S=8 \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：利用对称性计算基本积分
由于球面 $S: x^2+y^2+z^2=a^2$ 关于坐标面对称，且 $x^2, y^2, z^2$ 在球面上轮换对称，故
\[
\iint_S x^2 \, dS = \iint_S y^2 \, dS = \iint_S z^2 \, dS.
\]
因此
\[
\iint_S x^2 \, dS = \frac{1}{3} \iint_S (x^2+y^2+z^2) \, dS = \frac{1}{3} \iint_S a^2 \, dS = \frac{a^2}{3} \cdot 4\pi a^2 = \frac{4\pi a^4}{3}.
\]
公式：\iint_S x^2 \, dS = \frac{1}{3} \iint_S (x^2+y^2+z^2) \, dS
提示：注意球面面积 $4\pi a^2$，且 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 在球面上成立。
步骤 2/8
目标：计算第(1)题
将积分拆分为线性组合：
\[
\iint_S \left(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}\right) dS = \frac{1}{2}\iint_S x^2 dS + \frac{1}{3}\iint_S y^2 dS + \frac{1}{4}\iint_S z^2 dS.
\]
由对称性，每个 $\iint_S x^2 dS = \frac{4\pi a^4}{3}$，故
\[
= \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{4\pi a^4}{3} = \frac{13}{12} \cdot \frac{4\pi a^4}{3} = \frac{13\pi a^4}{9}.
\]
提示：注意系数相加时通分正确。
步骤 3/8
目标：计算第(2)题
利用对称性：
\[
\iint_S (y^2+z^2) dS = \iint_S (x^2+y^2+z^2 - x^2) dS = \iint_S a^2 dS - \iint_S x^2 dS.
\]
代入 $\iint_S a^2 dS = 4\pi a^4$，$\iint_S x^2 dS = \frac{4\pi a^4}{3}$，得
\[
= 4\pi a^4 - \frac{4\pi a^4}{3} = \frac{8\pi a^4}{3}.
\]
也可直接由对称性：$\iint_S y^2 dS = \iint_S z^2 dS = \frac{4\pi a^4}{3}$，故和为 $\frac{8\pi a^4}{3}$。
提示：注意 $y^2+z^2 = (x^2+y^2+z^2)-x^2$。
步骤 4/8
目标：计算第(3)题
当 $a=1$ 时，由第一步结果：
\[
\iint_S x^2 dS = \frac{4\pi a^4}{3} = \frac{4\pi \cdot 1^4}{3} = \frac{4\pi}{3}.
\]
提示：直接代入 $a=1$。
步骤 5/8
目标：计算第(4)题
展开 $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$。由于球面关于坐标面对称，$2xy, 2yz, 2zx$ 分别为 $x,y,z$ 的奇函数，故其积分为零。因此
\[
\iint_S (x+y+z)^2 dS = \iint_S (x^2+y^2+z^2) dS = \iint_S a^2 dS = 4\pi a^4.
\]
公式：奇函数在对称区域积分为零
提示：注意 $xy$ 关于 $x$ 是奇函数，但需考虑对称性：球面关于 $x=0$ 对称，$xy$ 在对称点处符号相反。
步骤 6/8
目标：计算第(5)题
展开 $(x+y+z)^3$，每一项均为 $x^p y^q z^r$ 形式，其中 $p+q+r=3$。若 $p,q,r$ 中至少有一个为奇数，则该项关于对应变量为奇函数，在对称球面上积分为零。所有项中，只有 $x^3, y^3, z^3$ 的指数为奇数，但 $x^3$ 关于 $x$ 是奇函数，故积分为零。因此整个积分为零。
\[
\iint_S (x+y+z)^3 dS = 0.
\]
提示：注意 $x^3$ 是奇函数，$x^2y$ 关于 $y$ 是奇函数，等等。
步骤 7/8
目标：计算第(6)题
当 $a=1$ 时，球面 $x^2+y^2+z^2=1$。由于 $x^7 y^2$ 关于 $x$ 是奇函数，球面关于 $x=0$ 对称，故 $\iint_S x^7 y^2 dS=0$。$z^3$ 关于 $z$ 是奇函数，球面关于 $z=0$ 对称，故 $\iint_S z^3 dS=0$。剩下 $\iint_S x^2 dS = \frac{4\pi}{3}$（由第(3)题）。因此
\[
\iint_S (x^2+x^7 y^2+z^3) dS = \frac{4\pi}{3}.
\]
提示：注意 $x^7 y^2$ 中 $x$ 的指数为奇数，$y$ 的指数为偶数，不影响奇偶性。
步骤 8/8
目标：计算第(7)题
当 $a=1$ 时，球面 $x^2+y^2+z^2=1$。由对称性，$\iint_S y x^2 dS = 0$（因为 $y$ 是奇函数），$\iint_S z dS = 0$（$z$ 是奇函数）。故
\[
\iint_S (6x^2+4yx^2+z) dS = 6\iint_S x^2 dS = 6 \cdot \frac{4\pi}{3} = 8\pi.
\]
提示：注意 $4yx^2$ 中 $y$ 是奇函数，积分为零。
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