下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第11题
📝 题目
11．计算下列曲面积分．
（1） $\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为立体 $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1$ 的边界曲面。
（2） $\iint_{S}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $S$ 为立体 $\sqrt{z^{2}+y^{2}} \leqslant x \leqslant 2$ 的边界曲面．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.19 所示，曲面 $S$ 由两部分 $S_{1}, S_{2}$ 组成，其中 $S_{1}: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, S_{2}: z=1$ 。它们在 $x O y$面上的投影区域都是 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ．
当 $z=1$ 时，$\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=1$ ，当 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 时，$\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\sqrt{2}$ ．由极坐标变换得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S & =\iint_{S_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S+\iint_{S_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S \\
& =\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D} \sqrt{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =(1+\sqrt{2}) \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{2}(1+\sqrt{2}) .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-240.jpg?height=1154&width=1085&top_left_y=5249&top_left_x=4296}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.19}
\end{figure}
（2）曲面 $S$ 由两部分 $S_{1}, S_{2}$ 组成，其中 $S_{1}: x=\sqrt{z^{2}+y^{2}}, S_{2}: x=2$ 。它们在 $y O z$ 面上的投影区域都是 $D: z^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 。
当 $x=2$ 时，$\sqrt{1+x_{z}^{2}+x_{y}^{2}}=1$ ，当 $x=\sqrt{z^{2}+y^{2}}$ 时，$\sqrt{1+x_{z}^{2}+x_{y}^{2}}=\sqrt{2}$ 。由极坐标变换得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S & =\iint_{S_{1}}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S+\iint_{S_{2}}(z+y)^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{D}(z+y)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y+\iint_{D} \sqrt{2}(z+y)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \\
& =(1+\sqrt{2}) \int_{0}^{2 \pi}(\sin \theta+\cos \theta)^{2} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} r^{3} \mathrm{~d} r=8 \pi(1+\sqrt{2})
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析曲面组成与投影区域
对于第一问，曲面 $S$ 由两部分组成：$S_1: z = \sqrt{x^2 + y^2}$（锥面）和 $S_2: z = 1$（平面）。它们在 $xOy$ 面上的投影区域均为 $D: x^2 + y^2 \leq 1$。
提示：注意边界曲面包括上下两部分，不要遗漏。投影区域由 $z$ 的范围决定。
步骤 2/8
目标：计算曲面面积元
对于 $S_2$（$z=1$），$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=1$。对于 $S_1$（$z=\sqrt{x^2+y^2}$），计算偏导数：$z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，则 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} = \sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}} = \sqrt{2}$。
公式：$\mathrm{d}S = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
提示：计算偏导数时注意分母不为零，但积分区域包含原点，需用极坐标处理。
步骤 3/8
目标：将曲面积分化为二重积分
原积分 $\iint_S (x^2+y^2)\,\mathrm{d}S = \iint_{S_1} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}S + \iint_{S_2} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}S = \iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint_D \sqrt{2}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = (1+\sqrt{2})\iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
提示：注意 $S_1$ 的曲面面积元有 $\sqrt{2}$ 因子，$S_2$ 的因子为1。
步骤 4/8
目标：用极坐标计算二重积分
令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，积分区域 $D: 0\leq r\leq 1,\,0\leq\theta\leq 2\pi$。于是 $\iint_D (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^2\cdot r\,\mathrm{d}r = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\mathrm{d}r$
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式 $r$。
步骤 5/8
目标：得出第一问结果
因此 $\iint_S (x^2+y^2)\,\mathrm{d}S = (1+\sqrt{2})\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}(1+\sqrt{2})$。
提示：结果化简为最简形式。
步骤 6/8
目标：分析第二问曲面组成与投影区域
对于第二问，曲面 $S$ 由两部分组成：$S_1: x = \sqrt{z^2+y^2}$（锥面）和 $S_2: x = 2$（平面）。它们在 $yOz$ 面上的投影区域均为 $D: z^2+y^2 \leq 4$。
提示：注意变量角色互换，投影面为 $yOz$ 平面。
步骤 7/8
目标：计算第二问的曲面面积元
对于 $S_2$（$x=2$），$\sqrt{1+x_z^2+x_y^2}=1$。对于 $S_1$（$x=\sqrt{z^2+y^2}$），计算偏导数：$x_z = \frac{z}{\sqrt{z^2+y^2}}$，$x_y = \frac{y}{\sqrt{z^2+y^2}}$，则 $\sqrt{1+x_z^2+x_y^2} = \sqrt{1+\frac{z^2}{z^2+y^2}+\frac{y^2}{z^2+y^2}} = \sqrt{2}$。
公式：$\mathrm{d}S = \sqrt{1+x_z^2+x_y^2}\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y$
提示：与第一问类似，注意曲面面积元公式中变量对应。
步骤 8/8
目标：将第二问曲面积分化为二重积分并计算
原积分 $\iint_S (z+y)^2\,\mathrm{d}S = \iint_{S_1} (z+y)^2\,\mathrm{d}S + \iint_{S_2} (z+y)^2\,\mathrm{d}S = \iint_D (z+y)^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y + \iint_D \sqrt{2}(z+y)^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y = (1+\sqrt{2})\iint_D (z+y)^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y$。用极坐标：令 $y = r\cos\theta$，$z = r\sin\theta$（注意顺序），则 $z+y = r(\sin\theta+\cos\theta)$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，积分区域 $D: 0\leq r\leq 2,\,0\leq\theta\leq 2\pi$。于是 $\iint_D (z+y)^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}(\sin\theta+\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta\int_0^2 r^3\,\mathrm{d}r$。计算 $\int_0^{2\pi}(\sin\theta+\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi}(1+\sin2\theta)\,\mathrm{d}\theta = 2\pi$，$\int_0^2 r^3\,\mathrm{d}r = 4$，所以 $\iint_D (z+y)^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y = 2\pi\cdot4 = 8\pi$。因此原积分 $= (1+\sqrt{2})\cdot8\pi = 8\pi(1+\sqrt{2})$。
公式：$\iint_D (z+y)^2\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^2 (r\sin\theta+r\cos\theta)^2\,r\mathrm{d}r$
提示：极坐标变换时注意 $y$ 和 $z$ 的对应关系，以及 $\sin\theta+\cos\theta$ 的平方积分。
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