下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第13题
📝 题目
13．求第一型曲面积分 $\iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为 $x^{2}+z^{2}=4(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 9.22 所示，曲面 $S$ 由两部分 $S_{1}, S_{2}$ 组成：$z= \pm \sqrt{4-x^{2}}$ 。它们在 $O x y$ 面上的投影区域都是 $D:-2 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1$ ．
$$
z_{x}^{\prime}=\mp \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}, z_{y}^{\prime}=0, \sqrt{1+z_{x}^{\prime 2}+z_{y}^{\prime 2}}=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} S & =2 \iint_{D}\left(4-x^{2}+x\right) \frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =4 \int_{-2}^{2}\left(\sqrt{4-x^{2}}+\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x \\
& =4 \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x=4 \cdot \frac{1}{2} \pi \cdot 2^{2}=8 \pi
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-241.jpg?height=837&width=1065&top_left_y=6492&top_left_x=4385}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.22}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲面结构，将其分解为两个对称部分
曲面 $S$ 由 $x^2+z^2=4$ 且 $0\leq y\leq 1$ 给出，这是一个圆柱面，母线平行于 $y$ 轴。由于 $z$ 可正可负，曲面分为上下两部分：$S_1: z=\sqrt{4-x^2}$ 和 $S_2: z=-\sqrt{4-x^2}$。两部分关于 $xOy$ 平面对称，且被积函数 $z^2+x$ 中 $z^2$ 是偶函数，$x$ 是奇函数？注意：$x$ 在 $S_1$ 和 $S_2$ 上相同，但 $z^2$ 相同，因此积分可化为 $S_1$ 上的两倍。
提示：注意曲面是柱面，不是旋转面；分解时考虑对称性简化计算。
步骤 2/7
目标：将曲面积分投影到 $xOy$ 平面，计算面积元
对于 $S_1$（$z=\sqrt{4-x^2}$），计算偏导数：$z_x' = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$，$z_y'=0$。面积元 $\mathrm{d}S = \sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。投影区域 $D$：$-2\leq x\leq 2$，$0\leq y\leq 1$。
公式：$\mathrm{d}S = \sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
提示：注意 $\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}$ 的化简，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：写出曲面积分表达式，利用对称性合并
由于 $S_1$ 和 $S_2$ 上 $z^2$ 相同（均为 $4-x^2$），且 $x$ 相同，而 $\mathrm{d}S$ 相同，因此 $\iint_S (z^2+x)\mathrm{d}S = 2\iint_{S_1} (z^2+x)\mathrm{d}S = 2\iint_D (4-x^2+x)\cdot \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
提示：注意 $z^2 = 4-x^2$，不要写成 $z^2=4-x^2-y^2$。
步骤 4/7
目标：化简被积函数，分离变量
被积函数化为 $2\cdot\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}(4-x^2+x) = \frac{4}{\sqrt{4-x^2}}(4-x^2+x)$。进一步拆分为 $4\left(\sqrt{4-x^2} + \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)$。积分区域 $D$ 是矩形，先对 $y$ 积分：$\int_0^1 \mathrm{d}y = 1$，因此 $\iint_S = 4\int_{-2}^2 \left(\sqrt{4-x^2} + \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right) \mathrm{d}x$。
提示：注意 $\frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$，化简要仔细。
步骤 5/7
目标：计算奇函数部分的积分
考虑 $\int_{-2}^2 \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,\mathrm{d}x$。被积函数 $\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$ 是奇函数，积分区间对称，因此该积分为 $0$。
公式：奇函数在对称区间上的积分为零
提示：注意判断奇偶性：$x$ 是奇函数，$\sqrt{4-x^2}$ 是偶函数，商为奇函数。
步骤 6/7
目标：计算偶函数部分的积分
剩余部分 $4\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$。被积函数 $\sqrt{4-x^2}$ 是偶函数，因此 $\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x = 2\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$。该积分表示半径为 $2$ 的半圆面积，即 $\frac{1}{2}\pi\cdot 2^2 = 2\pi$。所以原积分 $=4\cdot 2\pi = 8\pi$。
公式：$\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi a^2}{2}$
提示：注意几何意义：$\sqrt{4-x^2}$ 是上半圆，积分得半圆面积。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，第一型曲面积分 $\iint_S (z^2+x)\mathrm{d}S = 8\pi$。
提示：检查单位：结果应为数值，$\pi$ 保留。
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