下册 9.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第20题
📝 题目
20．计算下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\sum$ 是 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R \neq h, h>0)$ ．
（2）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}$ ，其中 $S$ 是以原点为中心，$a(a>0)$ 为半径的上半球面．
（3）$\displaystyle I=\iint_{S} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}}}$ ，其中 $S$ 是以原点为中心， 2 为半径的上半球面被 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截下的部分．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $\sum_{1}: y=\sqrt{R^{2}-x^{2}-z^{2}} ; \sum_{2}: y=-\sqrt{R^{2}-x^{2}-z^{2}}$ ．
$$
\begin{aligned}
\iint_{\Sigma_{1}} \frac{\mathrm{~d} S}{\sqrt{x^{2}+(y-h)^{2}+z^{2}}} & =\iint_{x^{2}+z^{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将积分曲面分为上下两半
由于被积函数中含有$y$，将球面$Σ: x^2+y^2+z^2=R^2$分为上半球面$Σ_1: y=\sqrt{R^2-x^2-z^2}$和下半球面$Σ_2: y=-\sqrt{R^2-x^2-z^2}$分别积分。
提示：注意$y$的符号，下半球面$y$为负值。
步骤 2/7
目标：计算上半球面的积分
对于$Σ_1$，面积元$\mathrm{d}S=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-z^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$，被积函数分母为$\sqrt{x^2+(y-h)^2+z^2}=\sqrt{R^2+h^2-2hy}$。代入$y=\sqrt{R^2-x^2-z^2}$，得$$\iint_{\Sigma_1}\frac{\mathrm{d}S}{\sqrt{x^2+(y-h)^2+z^2}}=\iint_{x^2+z^2
公式：面积元公式：$\mathrm{d}S=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-z^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$
提示：注意$y$的表达式代入后，根号内为$R^2+h^2-2h\sqrt{R^2-x^2-z^2}$。
步骤 3/7
目标：化为极坐标积分
令$x=r\cos\theta, z=r\sin\theta$，则$\sqrt{R^2-x^2-z^2}=\sqrt{R^2-r^2}$，积分区域为$0\le r\le R, 0\le\theta\le2\pi$。于是$$\iint_{\Sigma_1}\cdots =\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2-2h\sqrt{R^2-r^2}}}\frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}r\mathrm{d}r.$$
公式：极坐标变换：$\mathrm{d}x\mathrm{d}z=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意$r$从0到$R$。
步骤 4/7
目标：计算上半球面积分结果
对$\theta$积分得$2\pi$，对$r$积分：令$t=\sqrt{R^2-r^2}$，则$\mathrm{d}t=-\frac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}\mathrm{d}r$，$r\mathrm{d}r=-t\mathrm{d}t$，积分限$r=0$时$t=R$，$r=R$时$t=0$。于是$$\int_0^R\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2-2ht}}\cdot\frac{r}{\sqrt{R^2-r^2}}\mathrm{d}r =\int_R^0\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2-2ht}}\cdot(-1)\mathrm{d}t =R\int_0^R\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{R^2+h^2-2ht}}.$$计算得$$R\left[-\frac{1}{h}\sqrt{R^2+h^2-2ht}\right]_0^R =\frac{R}{h}\left(\sqrt{R^2+h^2}-|R-h|\right).$$乘以$2\pi$得$$\iint_{\Sigma_1}\cdots =\frac{2\pi R}{h}\left(\sqrt{R^2+h^2}-|R-h|\right).$$
公式：换元积分法
提示：注意$|R-h|$的处理，因为$R$与$h$大小关系未知。
步骤 5/7
目标：计算下半球面的积分
对于$Σ_2$，$y=-\sqrt{R^2-x^2-z^2}$，分母为$\sqrt{R^2+h^2+2h\sqrt{R^2-x^2-z^2}}$。类似地，$$\iint_{\Sigma_2}\cdots =\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2+2h\sqrt{R^2-r^2}}}\frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}r\mathrm{d}r.$$令$t=\sqrt{R^2-r^2}$，得$$2\pi R\int_0^R\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{R^2+h^2+2ht}} =2\pi R\left[\frac{1}{h}\sqrt{R^2+h^2+2ht}\right]_0^R =\frac{2\pi R}{h}\left(R+h-\sqrt{R^2+h^2}\right).$$
公式：换元积分法
提示：注意符号变化：分母中$+2h\sqrt{R^2-r^2}$。
步骤 6/7
目标：合并上下半球面积分
将两部分相加：$$\iint_{\Sigma}\frac{\mathrm{d}S}{\sqrt{x^2+(y-h)^2+z^2}} =\frac{2\pi R}{h}\left(\sqrt{R^2+h^2}-|R-h|\right)+\frac{2\pi R}{h}\left(R+h-\sqrt{R^2+h^2}\right) =\frac{2\pi R}{h}\left(R+h-|R-h|\right).$$
提示：合并时注意$\sqrt{R^2+h^2}$项抵消。
步骤 7/7
目标：讨论$R$与$h$的大小关系
若$R>h$，则$|R-h|=R-h$，原式$=\frac{2\pi R}{h}(R+h-(R-h))=\frac{4\pi R}{h}\cdot h=4\pi R$；若$R
提示：注意$R\neq h$，但结果连续。
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