下册 9.2 第二型曲线积分 第15题
📝 题目
15．计算下列第二型曲线积分．
（1） $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}$ ，其中 $L$ 为下半圆周 $x^{2}+y^{2}=a x(a>0)$ 沿 $x$ 轴增加的方向。西安电子科大2008）
（2） $\int_{A B}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $A B$ 由点 $A(0,0)$ 到点 $B(1,1)$ 的曲线 $y^{3}=x^{2}$ 。
（3） $\int_{L}\left(\mathrm{e}^{y}+x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为过点 $O(0,0), A(0,1), B(1,2)$ 的圆周从点 $O$ 到点 $B$ 的弧段 $\widehat{O A B}$ ．
（4） $\int_{L}\left(x \sin x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x+y \mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 沿 $y=x^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ．
（5） $\int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 $2 x=\pi y^{2}$ 从 $O(0,0)$ 到 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段曲线．
（6） $\int_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $A(0,1)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$ 到点 $B(\pi, 0)$ 的弧段．
分析：曲线积分与路径无关，积分表达式为某函数的微分
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 9.71 所示， $\displaystyle \int_{L} \frac{\mathrm{~d} y-\mathrm{d} x}{x-y+1}=\int_{L} \frac{\mathrm{~d}(y-x+1)}{x-y+1}=\left.[-\ln (x-y+1)]\right|_{(0,0)} ^{(a, 0)}=-\ln (a+1)$ ．
\begin{figure}
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\caption{图 9.71}
\end{figure}
\begin{figure}
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\caption{图 9.72}
\end{figure}
（2）如图 9.72 所示， $\displaystyle \int_{A B}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y=\left.\left(\frac{1}{3} x^{3}+x y-\frac{1}{3} y^{3}\right)\right|_{(0,0)} ^{(1,1)}=1$ ．
（3）如图9．73所示， $\displaystyle \int_{L}\left(\mathrm{e}^{y}+x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y=\left.\left(x \mathrm{e}^{y}+\frac{1}{2} x^{2}-y^{2}\right)\right|_{(0,0)} ^{(1,2)}=\mathrm{e}^{2}-\frac{7}{2}$ ．
\begin{figure}
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\caption{图 9.73}
\end{figure}
\begin{figure}
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\caption{图 9.74}
\end{figure}
（4）如图 9.74 所示，
$$
\int_{L}\left(x \sin x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(2 x+y \mathrm{e}^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y=\left.\left(-\frac{1}{2} \cos x^{2}+2 x y+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{y^{2}}\right)\right|_{(0,0)} ^{(1,1)}=-\frac{1}{2} \cos 1+2+\frac{\mathrm{e}}{2} .
$$
（5）如图 9.75 所示，
$$
\int_{L}\left(2 x y^{3}-y^{2} \cos x\right) \mathrm{d} x+\left(1-2 y \sin x+3 x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y=\left.\left(x^{2} y^{3}-y^{2} \sin x+y\right)\right|_{(0,0)} ^{\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-1+1=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} .
$$
\begin{figure}
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\caption{图 9.75}
\end{figure}
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.76}
\end{figure}
（6）如图 9.76 所示， $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y=\left.\left(\frac{1}{3} x^{3}-x y^{2}\right)\right|_{(0,1)} ^{(\pi, 0)}=\frac{1}{3} \pi^{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析积分与路径无关性
对于每个小题，首先检查被积表达式是否满足恰当微分条件，即是否存在函数 $F(x,y)$ 使得 $dF = P dx + Q dy$。若满足，则积分与路径无关，可选取简单路径或直接利用原函数计算。
公式：$ rac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：注意检查定义域是否单连通，若被积函数有奇点需考虑路径是否绕过奇点。
步骤 2/7
目标：第(1)小题：化为全微分
被积表达式为 $\frac{dy - dx}{x - y + 1} = \frac{d(y - x + 1)}{x - y + 1}$，因此原函数为 $-\ln|x - y + 1|$。积分路径 $L$ 为下半圆周 $x^2 + y^2 = ax$ 沿 $x$ 轴增加方向，起点为 $(0,0)$，终点为 $(a,0)$。代入得 $\int_L = -\ln(a+1) + \ln 1 = -\ln(a+1)$。
公式：$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$
提示：注意 $x-y+1$ 在路径上是否变号，此处 $x-y+1>0$，故绝对值可去掉。
步骤 3/7
目标：第(2)小题：验证全微分并求原函数
令 $P = x^2 + y$, $Q = x - y^2$，则 $\frac{\partial P}{\partial y} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1$，满足条件。求原函数 $F(x,y) = \int P dx = \frac{1}{3}x^3 + xy + \phi(y)$，由 $\frac{\partial F}{\partial y} = x + \phi'(y) = Q = x - y^2$，得 $\phi'(y) = -y^2$，故 $\phi(y) = -\frac{1}{3}y^3$。所以 $F = \frac{1}{3}x^3 + xy - \frac{1}{3}y^3$。积分值 $= F(1,1) - F(0,0) = 1$。
公式：$\int P dx + Q dy = F(B) - F(A)$
提示：注意常数项可忽略，因为相减会消去。
步骤 4/7
目标：第(3)小题：验证全微分并求原函数
$P = e^y + x$, $Q = x e^y - 2y$，$\frac{\partial P}{\partial y} = e^y$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = e^y$，相等。求原函数：$F = \int P dx = x e^y + \frac{1}{2}x^2 + \phi(y)$，由 $\frac{\partial F}{\partial y} = x e^y + \phi'(y) = Q = x e^y - 2y$，得 $\phi'(y) = -2y$，$\phi(y) = -y^2$。故 $F = x e^y + \frac{1}{2}x^2 - y^2$。积分值 $= F(1,2) - F(0,0) = e^2 + \frac{1}{2} - 4 = e^2 - \frac{7}{2}$。
公式：全微分条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
提示：注意 $F(0,0)=0$，但需仔细计算 $F(1,2)$。
步骤 5/7
目标：第(4)小题：验证全微分并求原函数
$P = x \sin x^2 + 2y$, $Q = 2x + y e^{y^2}$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 2$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2$，相等。求原函数：$F = \int P dx = -\frac{1}{2}\cos x^2 + 2xy + \phi(y)$，由 $\frac{\partial F}{\partial y} = 2x + \phi'(y) = Q = 2x + y e^{y^2}$，得 $\phi'(y) = y e^{y^2}$，$\phi(y) = \frac{1}{2}e^{y^2}$。故 $F = -\frac{1}{2}\cos x^2 + 2xy + \frac{1}{2}e^{y^2}$。积分值 $= F(1,1) - F(0,0) = -\frac{1}{2}\cos 1 + 2 + \frac{1}{2}e$。
公式：$\int y e^{y^2} dy = \frac{1}{2}e^{y^2} + C$
提示：注意 $\cos 1$ 不能化简，保留即可。
步骤 6/7
目标：第(5)小题：验证全微分并求原函数
$P = 2xy^3 - y^2 \cos x$, $Q = 1 - 2y \sin x + 3x^2 y^2$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 6xy^2 - 2y \cos x$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = -2y \cos x + 6xy^2$，相等。求原函数：$F = \int P dx = x^2 y^3 - y^2 \sin x + \phi(y)$，由 $\frac{\partial F}{\partial y} = 3x^2 y^2 - 2y \sin x + \phi'(y) = Q = 1 - 2y \sin x + 3x^2 y^2$，得 $\phi'(y) = 1$，$\phi(y) = y$。故 $F = x^2 y^3 - y^2 \sin x + y$。积分值 $= F(\pi/2, 1) - F(0,0) = (\pi/2)^2 \cdot 1 - 1^2 \cdot \sin(\pi/2) + 1 = \pi^2/4 - 1 + 1 = \pi^2/4$。
公式：全微分求原函数方法
提示：注意 $\sin(\pi/2)=1$，计算要准确。
步骤 7/7
目标：第(6)小题：验证全微分并求原函数
$P = x^2 - y^2$, $Q = -2xy$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -2y$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = -2y$，相等。求原函数：$F = \int P dx = \frac{1}{3}x^3 - xy^2 + \phi(y)$，由 $\frac{\partial F}{\partial y} = -2xy + \phi'(y) = Q = -2xy$，得 $\phi'(y) = 0$，$\phi(y) = C$。故 $F = \frac{1}{3}x^3 - xy^2$。积分值 $= F(\pi, 0) - F(0,1) = \frac{1}{3}\pi^3 - 0 - (0 - 0) = \frac{1}{3}\pi^3$。
公式：全微分条件
提示：注意起点 $A(0,1)$ 代入时 $x=0$，$y=1$，得 $F(0,1)=0$。
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