下册 9.2 第二型曲线积分 第22题

\section*{解题过程：} 因为积分中含有未知函数，故只要求出未知函数，即可以计算积分． （1）已知曲线积分与路径无关，故 $y \varphi^{\prime}(x)=2 x y$ ，即 $\varphi^{\prime}(x)=2 x$ ，解之得 $\varphi(x)=x^{2}+C$ 。由 $\varphi(0)=0$ 可得 $C=0$ ，从而 $\varphi(x)=x^{2}$ 。于是 $$ \begin{aligned} \int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y & =\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y x^{2} \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_{(0,0)}^{(1,1)} y^{2} \mathrm{~d} x^{2}+x^{2} \mathrm{~d} y^{2} \\ & =\frac{1}{2} \int_{(0,0)}^{(1,1)} \mathrm{d}\left(x^{2} y^{2}\right)=\left.\frac{1}{2}\left(x^{2} y^{2}\right)\right|_{(0,0)} ^{(1,1)}=\frac{1}{2} . \end{aligned} $$ （2）记 $P=\left(\mathrm{e}^{x}+f(x)\right) y, Q=f(x)$ 。由 $P_{y}=Q_{x}$ 得 $\mathrm{e}^{x}+f(x)=f^{\prime}(x)$ 。此方程满足 $f(0)=0$ 的解为 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}$ ．于是 $\int_{(0,0)}^{(1,1)}\left(\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}\right) y \mathrm{~d} x+x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y=\int_{(0,0)}^{(1,0)}\left(\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}\right) y \mathrm{~d} x+x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y+\int_{(1,0)}^{(1,1)}\left(\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}\right) y \mathrm{~d} x+x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} y=0+\int_{0}^{1} 1 \cdot \mathrm{e}^{1} \mathrm{~d} y=\mathrm{e}$. （3）记 $P=y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right), Q=-g(x)$ ．由 $P_{y}=Q_{x}$ 得 $\mathrm{e}^{x}+2 g(x)=-g^{\prime}(x)$ ．此方程满足 $g(0)=1$ 的解为 $\displaystyle g(x)=-\frac{1}{3}\left(\mathrm{e}^{x}-4 \mathrm{e}^{-2 x}\right)$ ．于是 $$ \int_{(0,0)}^{(1,1)} y\left(\mathrm{e}^{x}+2 g(x)\right) \mathrm{d} x-g(x) \mathrm{d} y=-\left.y g(x)\right|_{(0,0)} ^{(1,1)}=-g(1)=-\frac{4}{3} \mathrm{e}^{-2}+\frac{1}{3} \mathrm{e} . $$ （4）记 $P=\left(f(x)-\mathrm{e}^{x}\right) \sin y, Q=-f(x) \cos y$ ．由 $P_{y}=Q_{x}$ 得 $f^{\prime}(x)+f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ．解方程得 $$ f(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) $$ （5）因曲线积分 $\oint_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y=0$ 与路径无关，故 $P_{y}=Q_{x}$ ．于是 $$ 1-5 \mathrm{e}^{-2 x} f(x)=-2 \mathrm{e}^{-2 x} f(x)+\mathrm{e}^{-2 x} f^{\prime}(x) $$ 因此有 $f^{\prime}(x)+3 f(x)=\mathrm{e}^{2 x}$ ．解之得 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{5} \mathrm{e}^{2 x}+C \mathrm{e}^{-3 x}$ ．由 $\displaystyle f(0)=\frac{6}{5}$ 得 $C=1$ ．故所求函数为 $$ f(x)=\frac{1}{5} \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{-3 x} $$ 选择折线 $(1,0) \rightarrow(2,0) \rightarrow(2,3)$ 积分 $$ \int_{L}\left(y-5 y \mathrm{e}^{-2 x} f(x)\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{-2 x} f(x) \mathrm{d} y=\int_{(2,0)}^{(2,3)} \mathrm{e}^{-2 x}\left(\frac{1}{5} \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{-3 x}\right) \mathrm{d} y=3\left(\frac{1}{5}+\mathrm{e}^{-10}\right) . $$ （6）记 $\displaystyle P=\frac{y}{2 x^{2}+f(y)}, Q=-\frac{x}{2 x^{2}+f(y)}$ ．因曲线积分 $\displaystyle \int_{N}^{M} \frac{1}{2 x^{2}+f(y)}(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)$ 与路径无关，故 $$ P_{y}=\frac{2 x^{2}+f(y)-y f^{\prime}(y)}{\left(2 x^{2}+f(y)\right)^{2}}=Q_{x}=-\frac{f(y)-2 x^{2}}{\left(2 x^{2}+f(y)\right)^{2}} \text {, 即 } 2 f(y)-y f^{\prime}(y)=0 \text {. } $$ 解之得 $f(y)=y^{2}$ 。取 $y=a \sin \theta, x=a \cos \theta, \theta: 0 \rightarrow 2 \pi$ 得 $$ \int_{L} \frac{(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)}{2 x^{2}+f(y)}=-\int_{0}^{2 \pi} \frac{a^{2}}{2 a^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta=-4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan ^{2} \theta+2} \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~d} \theta $$ $$ =-\left.\frac{4}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \tan \theta\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=-\sqrt{2} \pi . $$ 注：本题也可由 31 题直接得 $\displaystyle \int_{L} \frac{(y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y)}{2 x^{2}+y^{2}}=-\sqrt{2} \pi$ ．