下册 9.2 第二型曲线积分 第34题
📝 题目
34．设 $L$ 为一条不通过原点的光滑曲线，取逆时针方向，证明：当 $a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{\left(a_{1} x+a_{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(b_{1} x+b_{2} y\right) \mathrm{d} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ 与路径无关 $\left(c_{1}>0, c_{2}>0\right)$ ，并求下列曲线积分．
（1） $\displaystyle \int \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y, a>0$ ，其中 $L$ 是从点 $A(-1,0)$ 经过 $x^{2}+y^{2}=1, y \geqslant 0$ 到点 $B(1,0)$的线段。
（2） $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(1,0)$ 的一条不通过原点的光滑曲线：$y=f(x), x \in[-1,1]$ ，且当 $x \in(-1,1)$ 时，$f(x)>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为从点 $A(-a, 0)$ 经上半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a \geqslant b)$ 到点 $B(a, 0)$ 的弧段．，华南师大2009）
（4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为 $y=1-2 x^{2}$ 自点 $A(-1,1)$ 至点 $B(1,-1)$ 的弧段．
💡 答案解析
解题过程：
记 $\displaystyle P=\frac{a_{1} x+a_{2} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}, Q=\frac{b_{1} x+b_{2} y}{c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}}$ ，则
$$
\begin{gathered}
P_{y}=\frac{a_{2}\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)-2 c_{2} y\left(a_{1} x+a_{2} y\right)}{\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)^{2}}=\frac{a_{2} c_{1} x^{2}-a_{2} c_{2} y^{2}-2 a_{1} c_{2} x y}{\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)^{2}} \\
Q_{x}=\frac{b_{1}\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)-2 c_{1} x\left(b_{1} x+b_{2} y\right)}{\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)^{2}}=\frac{b_{1} c_{2} y^{2}-b_{1} c_{1} x^{2}-2 b_{2} c_{1} x y}{\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)^{2}}=\frac{-b_{1} c_{1} x^{2}+b_{1} c_{2} y^{2}-2 b_{2} c_{1} x y}{\left(c_{1} x^{2}+c_{2} y^{2}\right)^{2}}
\end{gathered}
$$
当 $a_{2}=-b_{1}, a_{1} c_{2}=c_{1} b_{2}$ 时 $P_{y}=Q_{x}$ ，故曲线积分与路径无关．
（1）曲线积分与路径无关．构造曲线 $L_{1}: x^{2}+a y^{2}=1, y \geqslant 0$ ，则
$$
\int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+(x+a y) \mathrm{d} y
$$
记 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+a y}{x^{2}+a y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．补一线段 $L_{2}: y=0, x:-1 \rightarrow 1$ ．由格林公式有
$$
I=\int_{L_{2}+L_{1}}(x-y) \mathrm{d} x+(x+a y) \mathrm{d} y-\int_{L_{2}}(x-y) \mathrm{d} x+(x+a y) \mathrm{d} y=2 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{2 \pi}{\sqrt{a}}
$$
（2）曲线积分与路径无关。为了计算该积分，构造曲线 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=1, x \in[-1,1]$ ．
$$
\int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=\int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=\int_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y .
$$
令 $x=\cos \theta, y=\sin \theta, \theta: \pi \rightarrow 0$ ，则
$$
\int_{L_{1}}(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y=\int_{\pi}^{0}\left(-\sin \theta \cos \theta-\sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta-\cos ^{2} \theta\right) \mathrm{d} \theta=-\int_{\pi}^{0} \mathrm{~d} \theta=\pi
$$
于是 $\displaystyle \int_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=\pi$ ．
（3）曲线积分与路径无关．为了计算该积分，构造曲线 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=a^{2}, x \in[-a, a]$ ．
$$
\int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+(y+x) \mathrm{d} y .
$$
令 $x=a \cos \theta, y=a \sin \theta, \theta: \pi \rightarrow 0$ ，则
$$
\int_{L_{1}}(x-y) \mathrm{d} x+(y+x) \mathrm{d} y=a^{2} \int_{\pi}^{0}\left(-\sin \theta \cos \theta+\sin ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta+\cos ^{2} \theta\right) \mathrm{d} \theta=a^{2} \int_{\pi}^{0} \mathrm{~d} \theta=-a^{2} \pi
$$
于是 $\displaystyle \int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=-a^{2} \pi$ ．
（4）曲线积分与路径无关。为了计算积分，构造曲线 $L_{1}: y=-1, x:-1 \rightarrow 1$ ．于是
$$
\int_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=\int_{L} \frac{x+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=\int_{-1}^{1} \frac{x+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=\left.2 \arctan x\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{2}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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