多项式-多项式运算

1、求次数最小的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $$ (x+1)^{3}\left|(f(x)-1),(x-1)^{2}\right|(f(x)+1) . $$

8．三阶复矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\_\_\_\_$ ．

六．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．七．设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $F$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $F$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

七．（18 分）设 $m$ 为正整数，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 为数域 $P$ 上的非零多项式，证明：$\displaystyle g^{m}(x) \mid f^{m}(x)$ 的充分必要条件是 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ 。

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学 （从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ． （2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

四、（15 分）证明：设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},\left(a_{n} \neq 0\right)$是整系数多项式，若有素数 $p$ ，使得：（a）$\displaystyle p \mid a_{i},(i=0,1,2, \cdots, n-1)$ ； （b）$\displaystyle p \dagger a_{n}$ ；（c）$\displaystyle p^{2} \dagger a_{0}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约。

九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

2、 $N\left(A^{T}\right)=(R(A))^{\perp},(R(A))^{\perp}$ 表示 $R(A)$ 的正交补空间．

7．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\left(x-a_{3}\right)\left(x-a_{4}\right)-1$ ，其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 4 个互不相同的整数．问：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是否可约？

八．证明题（15分） 设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 是 $n$ 个多项式，若 $$ \left(x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1\right) \mid\left(f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right) . $$ 证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的一个 $m$ 次多项式，$n$ 是大于 $m$ 的正整数，证明：$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为 $$ f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $$ 其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换． （2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．

7．（15 分）设 $V$ 是有限维向量空间，$\Phi$ 和 $\Psi$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\Phi \Psi=\Psi \Phi$ ． （1）（5 分）若 $M$ 是 $\Phi$ 的不变子空间，则 $\Psi(M)$ 也是 $\Phi$ 的不变子空间． （2）（10 分）若 $\Phi$ 和 $\Psi$ 都可对角化，证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\Phi$ 和 $\Psi$ 在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式． （1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．

1．求多项式 $f(x)=4 x^{4}-2 x^{3}-16 x^{2}+5 x+9$ 与 $g(x)=2 x^{3}-x^{2}-5 x+4$ 的公共根．

13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．

一，（15 分）设非零的复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式，证明： $\displaystyle \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x)\right)=1$.

七，（20 分）设三级方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0\end{array}\right)$ 试求（1）A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ ； （2）试问 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 是否是实数域上不可约多项式？为什么？

一，（20 分）设 $k$ 和 $n$ 都是正整数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{n}-1, d(x)=x^{k}-1$ ，证明： $\displaystyle d(x)$ 整除 $\displaystyle f(x)$ 当且仅当 $k$ 整除 $n$ ．

七，（20 分）设 3 级复方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ ， （1）$A$ 的不变因子，初等因子． （2）$A$ 的最小多项式． （3）$A$ 的若尔当标准型．

一，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次多项式，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$整除 $\displaystyle f(x)$ ，则存在 $\displaystyle a, b \in P$ ，使得 $\displaystyle f(x)=a(x-b)^{n}$ ．

八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．

一，（15 分）设 $\displaystyle u(x), v(x), f(x), g(x)$ 都是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle \left(x^{4}+1\right) f(x)+(x+1) u(x)+(x-2) v(x)=0,\left(x^{4}+1\right) f(x)+(x-1) u(x)+(x+2) v(x)=0$ 试问：$\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ 是否都能被 $\displaystyle x^{4}+1$ 整除，为什么？

二，（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 都是正整数且 $n$ 大于 $\displaystyle m, f(x)$ 是有理数域上一个 $m$ 次多项式， 试问： $\displaystyle 2^{\frac{1}{n}}$ 是不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根？为什么？

一，（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为互不相同的四个整数，若 $\displaystyle f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=f\left(a_{3}\right)=f\left(a_{4}\right)=1$ ，证明：对于任意整数 $\displaystyle n, f(n)-1$ 一定不为素数．

三，（15 分）设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+2 E=0$ ．证明（1）对于任意实数 $a$ ，方阵 $\displaystyle A+a E$ 都是可逆矩阵。 （2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．

二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为 $n$ 个互不相同的实数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 为 $n$ 个次数不超过 $\displaystyle n-2$ 的式系数多项式，计算 $n$ 阶行列式 $$ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} f_{1}\left(a_{1}\right) & f_{1}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{1}\left(a_{n}\right) \\ f_{2}\left(a_{1}\right) & f_{2}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{2}\left(a_{n}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{n}\left(a_{1}\right) & f_{n}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{n}\left(a_{n}\right) \end{array}\right| $$

一，（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), g_{1}(x), g_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，$\displaystyle a \in P$ 满足 $\displaystyle f_{1}(a)=0, g_{2}(a) \neq 0$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x) g_{1}(x)+f_{2}(x) g_{2}(x)=x-a$ 。证明：$\displaystyle \left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)=x-a$ ．

二，（15 分）设 $m$ 是正整数，$\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1 . a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为互不相同的整数，$\displaystyle s>2 m$ ，且 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)=1$ 或 $\displaystyle -1, i=1,2, \cdots, s$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $Q$ 上不可约．

1、 $A$ 的行列式因子、不变因子及初等因子；

1、 $A$ 的特征值的实部一定是零；

1、 $\gamma_{0}, \beta_{1}=\gamma_{0}-\eta_{1}, \beta_{2}=\gamma_{0}-\eta_{2}, \cdots, \beta_{t}=\gamma_{0}-\eta_{t}$ 是线性方程组 $A X=\beta$ 的一组线性无关的解．

八、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的多项式，$k$ 是正整数。 （1）证明：若 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ 的 $k$ 重因式，则 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k+1$ 重因式； （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{5}-x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-8 x-12$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 在有理数范围内因式分解．

七，（20 分）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的行列式因子，不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形。

二，（15 分）已知 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是不为零的多项式，$\displaystyle h(x)$ 的首项系数为 1 ，则 $\displaystyle (f(x), g(x))=d(x)$ 的充要条件是 $\displaystyle (f(x) h(x), g(x) h(x))=d(x) h(x)$ ．

六．（20 分）设四阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求：（1）$A$ 的行列式因子，不变因子，及初等因子；（2）$A$ 的最小多项式及若尔当（Jordan）标准形．

一、（15 分）已知 $\displaystyle f(x)=x^{4}-4$ ，证明：任何一个有理系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle f(x) \mid g(x)$ 或 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．

七、 $\displaystyle \left(8+7+5=20\right.$ 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & -1 & a+1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式因子、不变因子、最小多项式． （2）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的初等因子，若尔当标准型． （3）当 $a$ 取何值时，$A$ 与对角形相似．

1．（10 分）证明：对任意相异整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，多项式 $$ f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)-1 $$ 在有理数域上不可约．

七、（20 分）假设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式，且 $$ x^{4}+x^{2}+1 \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right) $$ （1）证明：$\displaystyle x-1 \mid f_{1}(x)$ 且 $\displaystyle x-1 \mid f_{2}(x)$ ； （2）求 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 的最大公因式．

一、（15 分）写出一元多项式 $\displaystyle f=x^{n}-1$ 在有理数域上的标准分解式．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

1．已知复系数非零多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式．证明 $$ \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x) f^{\prime}(x)\right)=1 $$

4．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left|\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1}\end{array}\right|, \sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}, \sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}, \sigma_{3}=x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 。 （1）将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 表成 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ 的多项式； （2）当 $\displaystyle a, b, c$ 是方程 $\displaystyle x^{3}+p x+q=0$ 的三个根时，求 $\displaystyle f(a, b, c)$ 。

6．证明：对会定的自然数 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 然系数多项式的体合 $$ V=\{f(x) \in R[x] \mid f(1)=0, \partial f(x)<n\} $$ 关于多项式的加法和数与多项式相乘构成实数域 $R$ 上的线性空间，并冰出 $V$ 的一组基。

4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。 （1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ； （2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle n(n>2)$ 次有理系数多项式，$p$ 是大于 $n$ 的素数，$\displaystyle g(x)=x^{p}+p x+1$ 。 （1）证明 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域不可约； （2）求 $\displaystyle (f(x)+g(x), g(x))$ 。

2．设 $\displaystyle f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ 是一个整系数多项式，若有理数 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一个根，其中整数 $\displaystyle p, q$ 互素，证明：存在整系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)=(q x-p) g(x)$ 。

1．设多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明对于任意正整数 $\displaystyle m, n$ ，都有 $$ \left(f^{m}(x) g^{n}(x), f^{m}(x)+g^{n}(x)\right)=1 $$

2．设 $p$ 是奇素数，问有理多项式 $\displaystyle x^{p}+p x+1$ 在有理数域上是否可约。为什么？

5．设 $\displaystyle g_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), h_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),(i=1,2, \cdots, p, j=1,2, \cdots, q)$ 都是 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的一次齐次多项式。二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+\cdots+g_{p}^{2}-h_{1}^{2}-h_{2}^{2}-\cdots-h_{q}^{2}$ 。证明： $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ 。

3．$\displaystyle A, B$ 矩阵为复数域上的二阶矩阵，它们的特征多项式都是 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，问 $A$ 与 $B$是否相似？

九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明： 若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。

十．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x], \partial(f(x))>0, \partial(g(x))>0$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=1$且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial(g(x)), \quad \partial(v(x))<\partial(f(x))$ 。

2．设 $f(x)$ 为多项式，$k$ 为 $1,2,3,4, \cdots, f(k)=\sum_{m=1}^{k} m^{5}$ ，求 $f(-3)$ ． 3 ．求 $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\cdots+x_{98} x_{99}$ 的正惯性指数．

2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ． （1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ； （2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．

7．已知多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 次数大于零，设 $\displaystyle f(x)=(f(x), g(x)) f_{1}(x), g(x)=(f(x), g(x)) g_{1}(x)$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f_{1}(x)+v(x) g_{1}(x)=1$ ，且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial\left(g_{1}(x)\right), \partial(v(x))<\partial\left(f_{1}(x)\right)$ ．

8．多项式 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 除以 $\displaystyle x-1$ 得商式 $\displaystyle g(x)=b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}$和余式 $r$ ． （1）求矩阵 $M$ ，使得 $\displaystyle \left(b_{n-1}, b_{n-2}, \cdots, b_{0}, r\right)=\left(a_{n}, a_{n-1}, \cdots, a_{0}\right) M$ ； （2）求多项式 $\displaystyle x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1$ 除以 $\displaystyle x-1$ 所得的商式和余式．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

1．解答如下问题： （1）证明：每个次数 $\displaystyle \geq 3$ 的实系数多项式在实数域上一定可约． （2）证明：三次实系数多项式在实数域上一定有根。 （3）四次实系数多项式在实数域上一定有根吗？说明理由．

9．设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{B A}, f(t)$ 是一个复系数多项式。 （1） $\displaystyle \mathcal{B}$ 的特征子空间与核空间的和是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的不变子空间； （2）$\displaystyle f(\mathcal{A})$ 和 $\displaystyle f(\mathcal{B})$ 有共同的特征向量．

3．设 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $F$ 上次数大于等于 1 的多项式，证明下列说法等价 （1）$\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式． （2）对任意的 $\displaystyle f(x), g(x) \in F[x]$ ，如果 $\displaystyle p(x) \mid f(x) g(x)$ ，则有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x) \mid g(x)$ ． （3）对任意的 $\displaystyle f(x) \in F[x]$ ，都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle (p(x), f(x))=1$ ．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+32$ ，求 $A$ 的若尔当标准形．

一．求 7 次多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)+1$ 能被 $\displaystyle (x-1)^{4}$ 整除，$\displaystyle f(x)-1$ 能被 $\displaystyle (x+1)^{4}$ 整除．

6．设已知 3 个 3 维向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其中，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，而矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的秩为 2 ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 $A^{*} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$。

2． $\mathcal{A}_{\eta}$ 的行列式为 -1 ；

6．设 $A, B$ 为 $m \times n$ 矩阵，则两个齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解的充分必要条件为 $$ r(A)=r(B)= $$

3．若 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，则 $n$ 一定是 $\_\_\_\_$。

七、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$ 作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

五、设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素的多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\sigma)=\operatorname{Ker} f_{1}(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\sigma)$ ．

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

1．令 $F$ 为 $\varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}$ 的一切有理多项式的集合所构成的数域，则 $F$ 中元素的简约式为

5．在空间直角坐标系中，向量 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}\right), \alpha_{3}=\left(a_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}\right)$ 共面的充要条件是 $\_\_\_\_$。

二、实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的次数不超过 2 的多项式集合 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 为实数域上的线性空间，取 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 的 一个基 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 中的线性变 换，且 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．

2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．

2．若实多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle \geq 1$ ，则三次多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$整除 $\displaystyle f\left(x^{3}\right)-f(1)$ ．

8．若 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 秩为 1 ，则 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．若不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f^{(k)}(x)$ 的 $s$ 重因子，且 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ，那么 $\displaystyle p(x)$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle s+k$ 重因子．

5．多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 上定义内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 的一组标准正交基为 $\displaystyle f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

1．当 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+4 a x=b$ 有重根．

2．若 $\displaystyle f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

七、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为数域 上 维线性空间 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} f_{1}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\mathcal{A})$ ．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 均为奇数，求证 $\displaystyle f(x)$ 不能有整数根．

2．设一元多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小公倍式为 $\left(x^{3}+1\right)(x-2)$ ，且 $f(x) g(x)=(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式为 $\_\_\_\_$。

四、（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求满足 $\displaystyle A P=B$ 的全部矩阵 $P$ ．五、（15 分）在多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{5}$ 中，求向量组 $\displaystyle f_{1}(x)=1+x+x^{2}, f_{2}(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=1+x^{2}+2 x^{3}+x^{4}, f_{4}(x)=2+2 x+2 x^{2}+4 x^{3}+2 x^{4}$, $\displaystyle f_{5}(x)=1+x+2 x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}$ 的秩和极大线性无关组，并把区域向量用极大线性无关组线性表示。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

10．$A, B$ 为实对称矩阵，证明 $A B=B A$ 的充分必要条件为 $A, B$ 有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量．

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

1．已知 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 中多项式 $$ f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2 . $$ 则 $\displaystyle (f(x), g(x))=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．令 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上由矩阵 $A$ 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & \omega & \\ & & \omega^{2} \end{array}\right), w=\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}, \text { 且 } \mathrm{i}^{2}=-1 . $$ 则 $V$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．已知矩阵 $A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2},(\lambda+1)^{3}, \lambda-1, \lambda-1$ ，则矩阵 $A$ 的最小多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $p$ 奇素数，判别多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是否可约．

五．（15 分）设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -15 & 6 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{C}) . $$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle g(\lambda)$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，任意给定非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}$ ，求证：存在次数小 $n$ 的多项式 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle h(A) \alpha$ 为 $A$ 的特征向量．

三．设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1\left(m \in \mathbb{N}^{+}\right)$，证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得每个 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)$ 取值为 1 或 -1 ，那么 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

六．独立重复进行伯努利实验，假设每次实验结果为 $A$ 和 $\displaystyle \bar{A}$ ，且满足 $\displaystyle P(A)=p \in(0,1)$ ，设 $\displaystyle x_{k}$ 表示实验结果 $A$ 第 $k$ 次出现所需的试验次数，$\displaystyle k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle m, n$ 为正整数． （1）求概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=n, x_{3}=m+n+1\right)$ ． （2）求条件概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=m \mid x_{2}=m+n\right)$ ． （3）求数学期望 $\displaystyle E\left[x_{k}\right]$ 和方差 $\displaystyle D\left[x_{k}\right], k=1,2, \cdots$ ．

1．设 $p, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}$ 是互不相同的素数，则多项式 $f(x)=x^{p}-p_{1} p_{2} \cdots p_{s}$ 在有理数域上 $\_\_\_\_$ （可约／不可约）．

13．（15 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶非零矩阵，且 $A^{2}=A, B^{2}+B=O$ ． （1）证明：$\mu=1$ 和 $\lambda=-1$ 分别是 $A, B$ 的特征值． （2）若 $A B=B A=O, \alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的特征向量，$\beta$ 是 $B$ 的属于特征值 -1 的特征向量，证明：$\alpha, \beta$ 线性无关．

1．$\displaystyle f(x)=x^{3}+p x+q$ 是 3 阶复系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 无重根的充要条件 $\displaystyle 4 p^{3}+27 q^{2} \neq 0$

1．已知整系数多项式 $x^{3}+x^{2}-8 x-b$ 有重根，且 $b>0$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

三．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （1）求 $B$ 的 Jordan 标准型，并证明 $B$ 的最小多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}$ ． （2）证明：不存在矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{2}=B$ ．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，$\displaystyle f(-1), f(0), f(1)$ 不能被 3 整除，证明：$\displaystyle f(x)$ 无有理根．

5．（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是复数域上所有次数小于 $\displaystyle n^{2}$ 的多项式以及零多项式构成的集合，对于通常的多项式加法和数乘，判断 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 能否构成实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间并简要证明你的结论。如果 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求出它的维数和一组基。

8．（20 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是数域 $P$ 上的 $m$ 个不同的数，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $P$ 上的任意 $m$ 个数，对于任一多项式 $\displaystyle p(x)$ ，我们记 $\displaystyle \partial(p(x))$ 为其次数．证明：存在唯一的多项式 $\displaystyle g(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \partial(g(x))<m$ ，且对任意的 $\displaystyle 1 \leq i \leq m$ ，我们有 $\displaystyle g(x)=q_{i}(x)\left(x-a_{i}\right)+b_{i}$ ，其中 $\displaystyle q_{i}(x) \in P[x]$ ．

1．设 $f(x)=x^{3}+(t+1) x^{2}+2 x-4$ 与 $g(x)=x^{3}+t x^{2}-2$ 的最大公因式为一个二次多项式，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，满足等式 $A^{2}=2025 A+2026 I$ ，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵．则有秩 $(A-2026 I)+$秩 $(A+I)=$ $\_\_\_\_$。

7．设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，则 $V$ 能表示成它的 2 个真子空间的并．

5．设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，且 $\sigma$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}$ 下的表示矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\sigma$ 的核空间 $\operatorname{Ker} \sigma=$ $\_\_\_\_$。

2．证明：次数大于 0 且首项系数为 1 的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是不可约多项式的充分必要条件是对任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

3．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）判断 $A$ 的特征多项式是否有有理根，并说明在有理数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 是对角矩阵。 （2）判断 $A$ 的特征多项式在复数域上有无重根，并说明在复数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$是对角矩阵。

一、（本题 10 分）将 $\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots+x^{15}$ 展开成不可约有理多项式的乘积． fl ：多项式

4．（可能有误）矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$ ，其最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)(\lambda-2)^{3}, A-I$ 不可逆，则复空间 $\displaystyle V=\{B \in \left.\mathbb{C}^{5 \times 5} \mid A B=B A\right\}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

3．记 $\displaystyle F[x]_{4}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 3 的多项式关于多项式的加法与 $F$ 数乘构成的线性空间．线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: F[x]_{4} \rightarrow F[x]_{4}, f(x) \mapsto f(2-x)$ ．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式和最小多项式．

3．设数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A=O$ ，且秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=n-1$ 。设非零向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 分别是 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{T} X=0$ 的非零解。 （1）证明：存在数 $\displaystyle k \in F$ ，使得 $\displaystyle B=k \alpha \beta^{T}$ ； （2）证明：存在多项式 $\displaystyle q(x) \in F[x]$ ，使得 $\displaystyle B=q(A)$ ．

6．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 4\end{array}\right), f(x)$ 是使得 $\displaystyle f(A)=O$ 且 $\displaystyle f(B)=O$ 的次数最小的首项系数为 1 的多项式，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为正交矩阵，则矩阵 $\displaystyle A=2 \alpha_{2} \alpha_{2}^{T}+\alpha_{3} \alpha_{3}^{T}+\alpha_{4} \alpha_{4}^{T}$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式。 （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 可对角化的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 可分解为互素一次因式的乘积． （2）若 $\displaystyle A^{5}=I, A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，当 $\displaystyle F=\mathbb{Q}$ 或 $\displaystyle F=\mathbb{C}$ 时，$A$ 是否可以对角化？请说明理由．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，且多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重根，则 $\displaystyle \operatorname{Im} f(\mathscr{A})+ \operatorname{Im} f^{\prime}(\mathscr{A})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

12．证明多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1$ 在有理数域上不可约．

4．多项式 $\displaystyle x^{2025}+1$ 除以 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 的余式 $\displaystyle r(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设复方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{2},(\lambda-1)^{2}, \lambda+2,(\lambda+2)^{2}$ ，则 $A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-a x+3$ 的 3 个复根，$a$ 为整数． （1）求行列式 $$ \left|\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \end{array}\right| $$ （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域可约，求 $a$ ． （3）若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $a$ ．

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

9、令 $\mathscr{A}$ 是 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha, \mathscr{A} \alpha, \mathscr{A}^{2} \alpha$ 线性表出，且 $2 \alpha-5 \mathscr{N} \alpha+4 \mathscr{N}^{2} \alpha-\mathscr{N}^{3} \alpha=0$ ． （1）求 $\mathscr{A}$ 的全部特征值与特征向量． （2）是否存在 $V$ 中的一组基， $\mathscr{A}$ 在此基下为对角阵，若存在，求出此基，若不存在，请说明理由．

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量． （2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型． （3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

2．平面曲 线 $4 x^{2}-4 x y+y^{2}+6 x-8 y+3=0$ 平行于直线 $x+2 y+1=0$ 的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

1．（7 分）设 $f(x)$ 是实系数多项式，且 $a+b \mathrm{i}$ 是 $f(x)$ 的一个虚根，其中 $a, b$ 是实数，证明 $a-b \mathrm{i}$ 也是 $f(x)$ 的一个虚根．

六．（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，若多项式 $$ f_{1}\left(x^{2025}\right)+x f_{2}\left(x^{2025}\right)+x^{2} f_{3}\left(x^{2025}\right)+x^{3} f_{4}\left(x^{2025}\right) $$ 可以被 $\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ 整除，证明：$\displaystyle f_{i}(1)=0(i=1,2,3,4)$ ．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle f(x), P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle P(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，设 $\displaystyle P(x)$ 有一个复数根 $\displaystyle \alpha$ ，如果 $\displaystyle \alpha$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的复根，证明：在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中，$\displaystyle P(x) \mid f(x)$ ．

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

4．已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & b\end{array}\right)$ 相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．已知 $|A-E|=|A-2 E|=|A+E|=2$ ，求 $|A+3 E|$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

4、在 $R[x]_{3}$ 上的欧式空间，$(f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，求 $x^{2}-1$ 的长量．

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

5、（15 分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为具有相同特征多项式的三阶复方阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 中必有两个矩阵相似．

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

1．设 $\displaystyle f(x) 、 g(x)$ 为两个多项式，已知 $\displaystyle x^{2}+x+1 \mid f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ，求 $\displaystyle f(1)$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $A$ 的不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ ，则 $A$ 的 ．Jordan 标准形，特征多项式和极小多项式分别为 $\_\_\_\_$。

八．设 $\displaystyle \varphi$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，设 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in V$ ，记 $$ F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\} $$ 设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为 $$ m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda) $$ 其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得 （1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ； （2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．

八．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \exists f \in \mathbb{C}[\mathbf{x}]$ s．t．$\displaystyle \varphi f(\varphi)=\sigma$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式。

四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明： $\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.

三．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，证明：若 $\displaystyle a c+b c$ 为奇数，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

7．设 3 阶方阵 $A$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+A^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

9．设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则其 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

五．（15 分）（可能有误）设 $\displaystyle f(x)$ 是实数域上的 $n$ 次多项式 $\displaystyle (n \geq 3)$ ，若 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=f^{\prime \prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f(2025)=0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足 $$ \varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n} $$ 证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形． （2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

10、已知 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle=\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right), f(x) \in R_{n+1}[x]$ ． （1）试证明 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle$ 构成欧氏空间的内积． （2）试求与 $x$ 正交的所有一次多项式，在上述内积下．

9、（1）$\displaystyle A, B$ 是 3 阶复矩阵，$\displaystyle A, B$ 的特征多项式相同，最小多项式相同，试证 A与 B 相似。 （2）试举例（1）对 4 阶复矩阵不成立。

十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹． （1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型． （2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．

四．（12 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次首一多项式，$\displaystyle n \geq 1$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 有 $n$个根 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，重根按重数计算，$\displaystyle c \in P$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根．证明： $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-c}=-\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)} $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}$ ．

7．（25 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc} -2 & 1 & & & & \\ 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & 1 & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 其特征多项式记为 $\displaystyle f_{n}(\lambda)$ 。 （1）．证明：$\displaystyle f_{n}(\lambda)=(\lambda+2) f_{n-1}(\lambda)-f_{n-2}(\lambda)$ ． （2）．求 $\displaystyle f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda), f_{3}(\lambda)$ ，并求相应的特征值及特征向量． （3）．试写出 $\displaystyle A_{3}$ 的若尔当典范型．

4．（20分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是数域， （1）证明：一元多项式 $\displaystyle x^{2}+x^{3}$ 不能写成另一多项式的平方； （2）证明：二元多项式 $\displaystyle y^{2}-x^{2}-x^{3}$ 是二元多项式环 $\displaystyle K[x, y]$ 中的不可约多项式，也就是说它不能写成两个非常数多项式的乘积。

7．（20 分）（1）求证： 3 阶复矩阵 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是它们有相同的特征多项式和极小多项式； （2）举例说明 4 阶复矩阵即使有相同的特征多项式和极小多项式也不一定相似。

9．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的非零多项式，$A$ 是 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶方阵。 （1）证明：若 $\displaystyle g(A)$ 可逆，则 $$ f(A) g(A)^{*}=g(A)^{*} f(A) $$ 其中 $\displaystyle g(A)^{*}$ 为 $\displaystyle g(A)$ 的伴随矩阵。 （2）$\displaystyle g(A)$ 不可逆时，结论是否成立？

2．（10 分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f_{A}(\lambda)$ 与极小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ 分别为 $$ f_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{2}, \quad m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2) . $$ 求 $A$ 的 Jordan 典范型。

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & a \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right)$ 的特征多项式有二重根，求 $a$ 的值，并讨论可否对角化．

5．（20 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 是有限维复线性空间 $V$ 上的线性变换。设 $\displaystyle v \in V$ ，存在 $\displaystyle f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$使得 $\displaystyle f(\mathscr{A})(v)=0$ ，则称 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的零化多项式。 （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的非零零化多项式存在。 （2）． $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为极小多项式，记为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 。证明：零化多项式均能被 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 整除。 （3）．记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的极小多项式为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ ，证明：存在 $\displaystyle v \in V$ 使得 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)=m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 。

7．（20 分）记 $\displaystyle V_{n}(n \geqslant 0)$ 为次数不大于 $n$ 的关于 $\displaystyle x, y$ 的实系数二元多项式生成的空间．求 $\displaystyle V_{2}$ 上线性变换 $$ \mathscr{A}=2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} $$ 的 Jordan 标准型，并推广到一般情形。

5．（15 分）设 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 是多项式 $\displaystyle f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+6 x-1$ 的三个复根。求 $$ \left(c_{1} c_{2}+c_{3}^{2}\right)\left(c_{2} c_{3}+c_{1}^{2}\right)\left(c_{1} c_{3}+c_{2}^{2}\right) $$

8．（15 分）证明：若 6 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 是幂零矩阵，且有相同的秩和最小多项式，则 $\displaystyle A, B$ 相似。

3．（20 分）考虑未定元为 $x$ 和 $y$ 的次数至多为 2 的复系数二元多项式空间。求线性变换 $$ \mathscr{A}: f(x, y) \rightarrow f(2 x+1,2 y+1) $$ 的 Jordan 标准型。

5．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是次数大于 0 的整系数多项式，若 $\displaystyle 2-\sqrt{3}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明： $\displaystyle 2+\sqrt{3}$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的根．

3．已知 $\displaystyle D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ 是实系数多项式空间上的映射，满足 （i）$\displaystyle D(f g)=D(f) g+f D(g), \forall f, g \in \mathbb{R}[x]$ ； （ii）$\displaystyle D(x)=1$ ． （1）证明：$\displaystyle D(f)=f^{\prime}$ 是 $f$ 的形式导数； （2）求 $D$ 限制在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{n}$ 上的所有不变子空间，其中 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{n}$ 是次数不超过 $n$ 的实多项式空间．

6．实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x+2$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+3 x^{2}-4$ 的最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$

7．设 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 及 $\displaystyle g(x)=x^{3}+x+1$ ，满足同余方程 $\displaystyle u(x) f(x) \equiv 1(\bmod g(x))$ 且次数最小的多项式 $\displaystyle u(x)$ 为 $\displaystyle \_\_\_\_$

8．已知方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda+1,(\lambda+1)^{2},(\lambda-1)^{2}$ ，则 $A$ 的极小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$

1、满足以下同余方程组 $\left\{\begin{array}{l}f(x) \equiv 6, \bmod (x+1) \\ f(x) \equiv 3 x, \bmod \left(x^{2}+x+1\right) \\ f(x) \equiv(x-1)^{2}, \bmod \left(2 x^{3}+1\right)\end{array}\right.$ 且次数达到最小的多项式 $f(x)$ 为 $\_\_\_\_$ ．

3、使实二次型 $q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t(x z-z y-y x)$ 正定的实数 $t$的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

8、考虑置换 $\sigma(1276)(354), \tau=(1637)(24)(5)$ ，则 $\sigma^{-1} \tau^{-1} \sigma \tau=$ $\_\_\_\_$。 （写成不相交轮换积）

10、设 $A=J_{2025}(0)$ ，复线性空间 $V=\left\{X \in M_{2025}(\mathbb{C}) \mid A X=X A^{2}\right\}$ ．则 $\operatorname{dim}(V)=$ $\_\_\_\_$。

1．如果实系数多项式 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+9$ 有重根，那么这个重根是 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $n \geq 3, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是不定元，$s_{k}$ 是这 $n$ 个不定元的 $k$ 次方的和，$k=1,2, \cdots$ ，用 $s_{k}$ 表示下述多项式 $\sum_{1 \leq i<j \leq n} x_{i} x_{j}\left(x_{i}+x_{j}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

15．设 $A, B$ 均是 $n$ 阶实对称矩阵，满足 $A B+A^{3}=B A+B^{3}$ ，证明：$A=B$ ．

1．（10 分）求一个 3 次多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)+1$ 能被 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 整除，而 $\displaystyle f(x)-1$ 能被 $\displaystyle (x+1)^{2}$ 整除．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的 $m$ 次多项式 $\displaystyle (m \geq 0), n$ 是大于 $m$ 的正整数．证明： （1）（3 分）$\displaystyle x^{n}-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中不可约． （2）（ 7 分）$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

7．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是复数域上线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的一个非零向量，$\displaystyle W \subseteq V$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，若存在多项式 $\displaystyle p(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle p(\mathscr{A}) \alpha \in W$ ，则称 $\displaystyle p(x)$ 为 $\displaystyle \alpha$ 到 $W$ 的导向多项式，所有导向多项式中次数最低且首项系数为 1 的多项式称为极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式，记为 $\displaystyle m(x)$ 。 （1）证明：对任意的导向多项式 $\displaystyle p(x)$ ，均有 $\displaystyle m(x) \mid p(x)$ ； （2）证明：极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式存在且唯一； （3）（可能有误）若 $W$ 为 $V$ 的真子空间，则存在 $\displaystyle \alpha \notin W$ 及多项式 $\displaystyle q(x) \in \mathbb{C}[x]$ 使得 $\displaystyle q(\mathscr{A}) \alpha-c \alpha \in W$ ，其中 $\displaystyle c \in \mathbb{C}$ 为常数．

10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

8．（10 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $$ r\binom{f(A)}{g(A)}=r(f(A), g(A)) $$

2．多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的微商，$A$ 是 3 阶方阵，求 $$ r\binom{f(A)}{f^{\prime}(A)} $$

七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数 $$ \varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V $$ （1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。 （2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．

二．（10 分）设实数域上的多项式为 $\displaystyle f(x)=x^{3}+6 x^{2}+3 p x+8$ ，求当 $p$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 有重因式？

八．设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，它在 9 个整数点处取值均为 8 ，证明：$\displaystyle f(x)$ 无整数根．

1．多项式 $x^{n}+2026=a_{0}+a_{1}(x+1)+\cdots+a_{n}(x+1)^{n}$ ，则 $a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

八．$A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\displaystyle 1,-1$ 不是 $A$ 的特征值． （1）求证：$\displaystyle A^{2}-E$ 是可逆矩阵． （2）证明：存在次数小于等于 $\displaystyle n-1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(A)=\left(A^{2}-E\right)^{-1}$ ．

1．已知多项式 $\displaystyle f(x) \in P[x], P$ 为数域．（15 分） （1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 具有 $k$ 重因式，判断 $\displaystyle f(x)$ 是否一定有 $\displaystyle k+1$ 重因式？并写出理由．（7分） （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ ，当 $t$ 为何值时．$\displaystyle f(x)$ 有重根？在有重根时．写出重根及其重数．

6、设 $A$ 为数域 $k$ 中的矩阵，其中以 $A$ 为根的多项式，次数最小，首项系数为 1的多项式为最小多项式，设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{n}$ 为 $k$ 中的矩阵，它们的最小多项式两两 互素，有 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)$ 为多项式，证明：存在一个多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使 $$ f\left(A_{i}\right)=f_{i}\left(A_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n . $$

1．（5 分）设 2 是多项式 $\displaystyle x^{4}-2 x^{3}+a x^{2}+b x-8$ 的二重根，求 $\displaystyle a b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

10．（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \sigma, M_{n}(\mathbb{F})$ 表示次数不大于 $n$ 的多项式。 $\displaystyle \forall f(x) \in M_{n}(\mathbb{F}), \sigma(f(x))=f(x+1)-f(x)$ ． （1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标． （2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．

4．（5 分）设 2 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式是 $\displaystyle f(x)=x^{2}-10 x-24$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

1．设 $f(x)$ 是一个实系数三次多项式，满足 $(x+1)^{2}$ 整除 $f(x)+1,(x-1)^{2}$ 整除 $f(x)-1$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

九．（15分）求矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 9 & -4 \\ -9 & 18 & -8 \\ -15 & 29 & -13 \end{array}\right) $$ 的不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形与有理标准形．

二．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $\displaystyle a, b$ ，其中 $\displaystyle a \neq 0$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=f(a x+b)$ 在有理数域上不可约．

7．设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1} x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+t x_{2} x_{3}$ ，问： （1）当 $t$ 为何值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 正定； （2）当 $\displaystyle t=1$ 时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 对应矩阵 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ ．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda-2)^{2}(\lambda+3)$ ，最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)= (\lambda+1)^{2}(\lambda-2)(\lambda+3)$ ，求：（1）$A$ 的所有不变因子；（2）$A$ 的若尔当标准型．

9、（15 分）已知 $\displaystyle J=J_{n}\left(\lambda_{0}\right)$ 是特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的 $n$ 阶若尔当块，证明：和 $J$ 可乘法交换的 $n$ 阶矩阵必定可以表示为 $J$ 的次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式。

1．求 $a, b$ 的值，使得 $(x-1)^{2} \mid f(x)$ ；

1．证明方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 2 ；

一．已知三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & a \\ -1 & -1 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle f(x)=|x E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 是 $A$ 的最小多项式． （1）求 $a$ 及 $\displaystyle f(x)$ ； （2）求 $A$ 的初等因子； （3）$A$ 是否与对角矩阵相似？请说明理由．

六．解答如下问题： （1）判别多项式 $\displaystyle x^{6}-5 x+6$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上有无重因式； （2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $A$ 一定可对角化； （3）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且满足 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 在数域 $P$ 上可对角化．证明：在数域 $P$ 上，$\displaystyle A, B$ 均可对角化．

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．

1．给定矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的特征值和最小多项式． （2）求 $A$ 的初等因子和 Jordan 标准形．

8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．

4．设矩阵 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), A=3 E+2 J+2 J^{2}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式． （2）求与 $A$ 可交换的矩阵空间的基与维数．

6．解答如下问题： （1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ． （2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

一、判断题目：（20分） （2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关； （3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间； （4）矩阵相似具有相同特征多项式； （5）合同矩阵具有相同的负惯性指数

二、（15分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 都是多项式，并且 $$ x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1 \mid f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right) $$ 证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．

八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．

二、（15 分）设 $\displaystyle n \in N, f\left(x^{n}\right)$ 为实系数多项式，$\displaystyle \xi$ 为 $n$ 次本原单位根，且 $\displaystyle (x-\xi) \mid f\left(x^{n}\right)$ ，求证： $\displaystyle \left(x^{n}-1\right) \mid f\left(x^{n}\right)$.

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

一、（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2$ 都是有理数域 $Q$ 上的多项式，求 $\displaystyle u(x), v(x) \in Q[x]$ 使得 $$ f(x) u(x)+g(x) v(x)=(f(x), g(x)) . $$

六、（20 分）证明：$\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 是 $\displaystyle F_{3}[x]$（数域 $F$ 上一切次数 $\displaystyle \leq 3$ 的多项式及零）的一个基．求多项式 $\displaystyle x^{2}+2 x+3$ 关于这个基 $\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 的坐标．

一、（15 分） 已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1, g(x)=x^{3}+2 x^{2}+2 x+1$ ，求它们的最大公因式 （ $\displaystyle f(x), g(x)$ ），并求它们的公共根。

一、（15 分） 已知多项式 $\displaystyle f_{1}(x)=2 f(x)+g(x), g_{1}(x)=5 f(x)+3 g(x)$ ，证明： $$ (f(x), \quad g(x))=\left(f_{1}(x), \quad g_{1}(x)\right) . $$

八、（15 分） 证明：次数大于零的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是某一个不可约多项式方幂的充分必要条件是对任意的多项式 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或存在某一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

一、（15 分） 判断多项式 $\displaystyle x^{4}-8 x^{3}+12 x^{2}+2$ 在有理数域上是否可约．

2．设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$p^{2} \mid(a+1)$ ，证明：多项式 $f(x)=a x^{p}+p x+1$ 没有有理根．

4．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\operatorname{Im} \mathscr{A}=\{\mathscr{A} \xi \mid \xi \in V\}, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\{\xi \mid \mathscr{A} \xi=0, \xi \in V\}$ 。证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

5．已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$ ．证明：存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．

8．设 $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 分别是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换， $\mathscr{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值。证明： $\mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}$的充要条件是存在多项式 $f(x)$ ，使得 $\mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足 $$ A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0 $$ 证明： （1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关． （2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量． （3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？

2．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} k x_{1}+x_{2}+x_{3}=k \\ x_{1}+k x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+k x_{3}=k \end{array}\right. $$ 何时有唯一解，有无穷多解，无解？并在有无穷多解时求通解．

7．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也正定．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\operatorname{Hom}(V)$ 表示 $V$ 上所有线性变换构成的线性空间．任取 $\mathscr{A} \in \operatorname{Hom}(V)$ ． （1）令 $C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in \operatorname{Hom}(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$C(\mathscr{A})$ 是 $\operatorname{Hom}(V)$ 的子空间． （2）设 $\mathscr{A}$ 在 $P$ 中有 $n$ 个不同的特征值，求 $C(\mathscr{A})$ 的维数和一组基． （3）写出 $\operatorname{Hom}(V)$ 上的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\operatorname{Ker} \sigma=C(\mathscr{A})$ ．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

3．求 $A$ 的极小多项式． 十。（20分）设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其特征多项式为 $f(\lambda)$ 。证明以下 3 个结论等价： （1）$V$ 只有平凡的 $\varphi$－不变子空间。 （2）对任意非零向量 $\alpha \in V$ ，都有 $V=L\left(\alpha, \varphi(\alpha), \varphi^{2}(\alpha), \cdots\right)$ ． （3）$f(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式。

七．（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 都满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$ ，且 $\displaystyle |A|<0$ ．

四．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $\displaystyle A B$ 满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{2025}+x+1$ ，求证：$\displaystyle I+A B$可逆．

10．在欧氏空间中，向量 $d_{1}=(1,1,1,-1), d_{2}=(2,0,-2,0)$ 张成的子空间为 $V$ ，求向量 $\beta=(1,-1,1,0)$在 $V$ 上的投影向量 $\_\_\_\_$ ．

1．称 $\displaystyle f \in \mathbb{R}\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]$ 为反对称多项式，如果对 $\displaystyle [1,2, \cdots, n]$ 的任意置换 $\displaystyle \sigma$ ，均有 $$ f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)=\varepsilon_{\sigma} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $$ 其中 $\displaystyle \varepsilon_{\sigma}$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的符号。令 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为反对称多项式．证明： （1）对任意的 $\displaystyle i \neq j$ ，有 $\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right) \mid f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ． （2）$\displaystyle \Delta=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$ 为反对称多项式． （3）存在对称多项式 $g$ ，使得 $\displaystyle f=g \Delta$ ．

8．设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，其中 $\displaystyle n>1$ ． （1）设 $B$ 为一个 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式．证明：存在两个复方阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ 且 $\displaystyle B=Q P$ ． （2）$C$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $\displaystyle A C=C A, C^{n}=O$ ，求矩阵 $C$ ．

8．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle f_{\varphi}(x)=(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式，$\displaystyle m_{\varphi}(x)=(x+1)^{2}(x-2)(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 的不变因子； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的 Jordan 标准型．

一．设 $\displaystyle f(x)$ 是复数域上的一个多项式， $\displaystyle \operatorname{deg} f(x)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(x^{2}\right) \mid f\left(x^{4}\right)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意非零根都落在复平面的单位圆上．

四．设 $n$ 阶上三角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ & & 1 & \cdots & n-2 \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形． （2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．

1．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是一个整系数多项式，而 $\displaystyle \frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $\displaystyle r, s$ 互素，证明：$\displaystyle s\left|a_{n}, r\right| a_{0}$ ．

1．（15 分）设 $\displaystyle f_{k}(x)(k=1,2, \cdots, n)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明： $$ \left(x^{n}+\cdots+x+1\right) \mid\left[x^{n-1} f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x^{n-2} f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x f_{n-1}\left(x^{n+1}\right)+f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right] $$ 的充要条件是 $\displaystyle (x-1) \mid f_{k}(x), k=1,2, \cdots, n$ ．

二．（15 分）证明复数域上的多项式 $$ f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+(n(n-1)) x^{n-2}+\cdots+(n(n-1)(n-2) \cdots 4 \cdot 3) x^{2}+(n!) x+n! $$ 没有重根．

一．（15 分）证明：对于任意的非负整数 $n$ ，复数域上的多项式 $\displaystyle x^{2}+x+1, x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}$ 都有 $$ x^{2}+x+1 \mid x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1} $$

一．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是多项式 $$ f(x)=x^{3}+a x+1 $$ 的全部根，求一个三次多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(x)$ 以 $\displaystyle x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}$ 为根．

5．求以 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为根的有理数域上的不可约多项式．

2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ， $Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($ （A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

2．求一个正交线性替换 $X=T Y$ ，将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并求此标准形．

七、设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为数域 $P$ 上的四个 3 阶矩阵，它们具有相同的特征多项式，证明 $\displaystyle A, B, C, D$ 中至少有两个矩阵相似。

二、（10 分）设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，且 $\displaystyle (\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{c}$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$在有理数域上不可约。

一、（ 15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，若 $\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 都是奇数，求证：$\displaystyle f(x)$ 无整数根。

1、（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的两个一元多项式，且 $$ (f(x)-g(x), f(x)+g(x))=1 $$ 证明：$\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

8．设 $$ F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\} $$ 求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．

17．设 $\varphi, \psi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\varphi^{2}=\varphi$ ．证明： （1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ． （2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。

3．（5 分）设 $\alpha=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{4}$ ，子空间 $$ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\mathrm{T}} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} . $$ 则 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．

10．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1} A P$ ，试问：是否存在 $n$ 阶实可逆矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ ？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

16．（ 12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，若 $\operatorname{det}(x A-B)=0$ 的根全是 1 ，证明：$A=B$ ．

1．求参数 $a, b$ 的值；

1．$\sigma$ 的核 $\operatorname{ker}(\sigma)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；

1、（6 分）求 $f(x)$ 全部有理根．

2、（4分）将 $f(x)$ 分解为实数域上不可约多项式乘积．

8．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 2026 阶反对称矩阵，证明： （1）$\displaystyle r(A)$ 为偶数． （2）$\displaystyle A B$ 的特征多项式至少有一个二重根．

1．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：$\displaystyle f(x) \mid g(x) \Leftrightarrow \forall h(x) \in P[x]$ ，有 $\displaystyle (f(x)$ ， $\displaystyle h(x)) \mid(g(x), h(x))$ 。

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

2．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f(t), g(t)$ 是两个多项式，$\displaystyle h(t)=f(t) g(t)$ ，问什么情况下，有 $\displaystyle f(\mathscr{A}) V \cap g(\mathscr{A}) V=h(\mathscr{A}) V$ ．

5．两个矩阵的特征多项式和最小多项式均相等，是否能得到它们相似？

6．将多项式 $\displaystyle f(x)=x^{8}-x^{7}+7 x^{2}-6 x-1$ 在有理数域上分解成不可约因式的乘积．

2．若多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，那么 $f\left(x^{2}\right)$ 与 $g\left(x^{2}\right)$ 是否互素？为什么？

6．计算如下 $n$ 阶行列式的值 $$ D_{n}=\left|\left(\begin{array}{ccccccc} 3 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3 \end{array}\right)\right| $$

9．设 $n$ 为正整数，且有理数域上二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 n x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3} $$ 有三个不小于 -4 的整数特征值，确定 $n$ 的取值并计算此二次型在有理数域上的标准形．

六．$\displaystyle f(x) \in \mathbb{P}[x], x_{1}, x_{2} \in \mathbb{P}$ 是二次多项式 $\displaystyle f(x)$ 的两个不同根，对数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $V$ 上的非数乘线性变换 $A$ 有 $\displaystyle f(A)=0$ 。 （1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明： $\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．另外，若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

1、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是非零整系数多项式，证明： （1）对任意整数 $a$ ，存在整系数多项式 $\displaystyle q(x)$ 和整数 $r$ ，使得 $$ f(x)=(x-a) q(x)+r $$ （2）如果有两两不同的整数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得 $\displaystyle |f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 没有整数根．

6．（15 分）设 4 阶方阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & a & b & 1\end{array}\right)$ ．若 4 阶方阵 $A$ 在复数域上可对角化。 （1）求 4 阶方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式。 （2）确定 $a$ 和 $b$ 的值． （3）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角方阵．

1．多项式 $x^{3}+4 x^{2}+7 x+12$ 的有理根为 $\_\_\_\_$

二、（10分） 设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{s}(x), g_{1}(x), g_{2}(x), \cdots, g_{t}(x)$ 均为多项式，证明：$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{s}(x)$ 与 $\displaystyle g_{1}(x) g_{2}(x) \cdots g_{t}(x)$ 互素的充要条件是对任意 $\displaystyle 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $\displaystyle f_{i}(x)$ 与 $\displaystyle g_{j}(x)$ 互素．

6．已知实二次型 $f=a x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 的符号差为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \end{array}\right] $$ 求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标． （2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。

3．是否存在特征多项式为 $x^{6}-4 x^{5}+6 x^{4}-8 x^{3}+9 x^{2}-4 x+4$ 的实对称矩阵？说明理由．

3．设 $A$ 是 6 阶实对称矩阵，$f(x)=\left|x E_{6}-A\right|$ ，其中 $E_{6}$ 是 6 阶单位阵。设 $(x-a)^{4} \mid f(x)$ ，且 $(x-a)^{5} \nmid f(x)$ ，求齐次线性方程组 $\left(A-a E_{6}\right) X=0$ 的基础解系所包含解向量的个数．

1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．

1．设 $V_{1}, V_{2}$ 是某个线性空间的子空间，满足 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+1<\infty$ ．证明：$V_{1} \cup V_{2}$ 是子空间．

2．设 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 不相似于 $(1,1)$ —元为 0 的方阵，$n>1$ ，证明：存在 $0 \neq a \in \mathbb{F}$ ，使得 $A=a E_{n}$ ，其中 $E_{n}$ 是 $n$ 阶单位阵。

9．正交变换的特征值为 $\_\_\_\_$ ．

1．在有理数域上分解多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-3 x^{3}+6 x-4$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

六．设 $\displaystyle f(x)=\left(x-k_{1}\right)\left(x-k_{2}\right) \cdots\left(x-k_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}(n>2)$ 是互异的整数．证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上可约的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方．

3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式． （2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．

(1):\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为 $$ \eta_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) $$ 求方程组（1）与（2）的公共解．

六．设 $M$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，$\displaystyle A=f(M), B=g(M), W, W_{1}, W_{2}$ 分别为方程组 $\displaystyle A B X=0, A X=0, B X=0$ 的解空间．若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 互素，求证：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

1、计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3} \\ a_{1} & b_{1} & 1 & 1 & 1 & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & c_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3}^{2}\end{array}\right|$ ．

2、讨论 $k$ 为何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}+k x_{2}+x_{3}=-2 \text { 无解，有唯一解，并在无穷多解时 } \\ k x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-2\end{array}\right.$求出，其全部解．

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

2．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 t x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}$ ，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 是正定的，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 的负惯性指数是 1 ．

5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解 $$ X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} . $$ 那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．

1．设 $f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x]$ 是实数域中互素的多项式，证明：$[f(x)]^{2}+[g(x)]^{2}$ 的重根为 $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例． （1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ． （2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约． （3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．

1．设非零多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in K[x], k$ 为正整数，满足 $$ (k+1) \operatorname{deg}(g(x))>\operatorname{deg}(f(x)) \geq k \operatorname{deg}(g(x)) $$ 证明：存在 $\displaystyle p_{0}(x), p_{1}(x), \cdots, p_{k}(x) \in K[x]$ ，满足 $\displaystyle \operatorname{deg}\left(p_{i}(x)\right)<\operatorname{deg}(g(x))$ 或 $\displaystyle p_{i}(x)=0$ ，使得 $$ f(x)=p_{0}(x)+p_{1}(x) g(x)+\cdots+p_{k}(x) g^{k}(x) $$

5．设 $A$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵，特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda-a)^{n-1}(\lambda-b), a, b$ 是两不等的复数．若 $A$ 的任意三个特征向量都是线性相关的，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ． （1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立； （2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ； （3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

五、（本题满分 20 分）设 $V$ 是由数域 $F$ 上 $x$ 的次数小于 $n$ 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 A ，使 $\displaystyle \mathrm{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数。（1）求 A 的核 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与值域 $\displaystyle \mathrm{A} V$ ；（2）证明：线性空间 $V$ 是 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与 $\displaystyle \mathrm{A} V$ 的直和．

十、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}\end{array}\right)$ ． （1）试把 $A$ 表示为一个 $n$ 级可逆矩阵 $T$ 的多项式； （2）证明：所有的 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化． 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$高等代数 （共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2

二、（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的两个多项式，满足 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x f_{2}\left(x^{3}\right)$ 。证明： $\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$.

1、（本题满分 15 分）设对任意非负整数 $n$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ 。设多项式 $$ g(x)=f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{2012}(x) \text {, 证明: }\left(x^{2}+x+1, g(x)\right)=1 \text {. } $$

九、（20分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right)$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=x^{2012}+x-1$ ，计算矩阵 $\displaystyle g(A)$ 的行列式。

二、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为有理数域上的非零多项式，如果 $\displaystyle f(\sqrt{3})=0$ ，证明：在有理数域上 $\displaystyle x^{3}-2$ 整除 $\displaystyle f(x)$.

1、（本题满分 15 分）求一个次数最低的实系数多项式，使其被 $\displaystyle x^{2}+1$ 除余式为 $\displaystyle x+1$ ，被 $\displaystyle x^{3}+x^{2}+1$ 除余式为 $\displaystyle x^{2}-1$ ．

3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。 （4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．

一、（15 分）证明高斯（Gauss）引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

四、（15 分）设数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 次多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有单因式，证明： $$ f^{\prime \prime}(x) \mid f(x) \text { 当且仅当 } f(x)=c(x-a)^{n} \text {, } $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 表示二阶导数，$\displaystyle a, c$ 是数域 $P$ 中的常数．

7．（10 分）设 $p$ 为奇素数，多项式 $\displaystyle f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数 域上不可约．

7．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+4 x+1, g(x)=x^{2}-x-1$ ， （i）求多项式 $\displaystyle u_{1}(x), v_{1}(x)$ 使得 $\displaystyle u_{1}(x) f(x)+v_{1}(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ； （ii）证明不存在次数相同的多项式 $\displaystyle u_{2}(x), v_{2}(x)$ 使得 $$ u_{2}(x) f(x)+v_{2}(x) g(x)=(f(x), g(x)) ; $$ （iii）证明存在无穷多组多项式 $\displaystyle u_{3}(x), v_{3}(x), u_{3}(x)$ 的次数为 2019，使得 $$ u_{3}(x) f(x)+v_{3}(x) g(x)=(f(x), g(x)) $$

2．（15 分）证明高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式．

3．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(1+t) x^{2}+4 x+k, g(x)=x^{3}+t x^{2}+k$ ．常数 $t$ 和 $k$为多少时，最大公因式 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 是 2 次多项式？

8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为： $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式； （2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。

1．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$a$ 是一个整数，若 $$ f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1 $$ 证明：对任意的整数 $\displaystyle c, f(c) \neq-1$ ．

7．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是实系数多项式，证明：$\displaystyle W=\{f(x) \mid f(1)=0, \partial(f(x)) \leq n$ 或 $\displaystyle f(x)=0\}$ 是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基．

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的有理根且 $\displaystyle (p, q)=1$ ，证明：存在任意整数 $m$ ，使得 $\displaystyle p m-q \mid f(m)$ 。

8．设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ ，任给 $\displaystyle f(x) \in V$ ，有 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ 和值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ ； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A}^{-1}(0) \oplus \mathcal{A} V$ ．

三．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & 2 B \\ -4 B & B\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $$ f(\lambda)=|\lambda E-(A+2 B)||\lambda E-(A-2 B)| . $$

8．设四阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-9\right)$ ，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

二．（19 分）设 $p$ 是素数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

二、（19 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个整系数多项式，如果 $\displaystyle (a+b) c$ 是奇数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式．

3．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+3 x-6$ 与多项式 $\displaystyle g(x)=x^{3}-t x+2$ ，其中 $t$ 为实数．若 $\displaystyle g(x)$ 有重根． （1）求实数 $t$ ； （2）求 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式 $\displaystyle d(x)$ ； （3）求多项式 $\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)=d(x)$ ．

7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为 $$ J=\left(\begin{array}{lll} J_{1} & & \\ & J_{2} & \\ & & J_{3} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式； （2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组； （3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．

4．（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，证明：多项式 $\displaystyle \lambda^{m}-1$ 与 $\displaystyle \lambda^{n}-1$ 互索当且仅当 $m$ 与 $n$ 互索．

7．（15 分）求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 的首一极小多项式．

3．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(a+1) x^{2}+b x-4$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+a x^{2}+(b-2) x-b$ 的首一最大公因式为 $\displaystyle d(x)$ ，且 $\displaystyle d(x)$ 为二次多项式． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=d(x)$ ．

8．（20 分）设 $A, B$ 是两个尺码相同的矩阵，若通过初等变换能把 $A$ 变为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价．设 $A$的列向量构成的向量组生成的子空间为 $U, B$ 的列向量构成的向量组生成的子空间为 $V$ 。 （1）（10 分）当 $U=V$ 时，证明：$A$ 与 $B$ 等价； （2）（10 分）请举例说明：当矩阵 $A$ 与 $B$ 等价时，不一定有 $U=V$ ．

12．设 $\mathbb{C}$ 为复数域， $\mathbb{C}^{n}$ 是所有 $n$ 维列向量构成的复向量空间，$M_{n}(\mathbb{C})$ 是所有 $n$ 阶复方阵构成的集合。 （1）证明：对于 $\mathbb{C}^{n}$ 中任意的非零向量 $\alpha$ ，由向量集合 $\left\{A \alpha \mid A \in M_{n}(\mathbb{C})\right\}$ 生成的子空间等于 $\mathbb{C}^{n}$ 。 （2）若 $\theta$ 为 $\mathbb{C}^{n}$ 的一个线性变换，且满足对任意的 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}$ 以及任意的 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，均有 $\theta(A \alpha)=A \theta(\alpha)$ ．证明：存在一个复数 $a$ ，使得 $\theta(\alpha)=a \alpha$ 对任意的 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}$ 都成立．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．

1．直线 $\left\{\begin{array}{l}6 x-2 y+3 z=9, \\ 3 x-3 y+z=6 .\end{array}\right.$ 求点 $(0,0,0)$ 到该直线的距离 $\_\_\_\_$ ．