多项式-整除与因式

七、（20 分）假设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式，且 $$ x^{4}+x^{2}+1 \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right) $$ （1）证明：$\displaystyle x-1 \mid f_{1}(x)$ 且 $\displaystyle x-1 \mid f_{2}(x)$ ； （2）求 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 的最大公因式．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

5．在空间直角坐标系中，向量 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}\right), \alpha_{3}=\left(a_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}\right)$ 共面的充要条件是 $\_\_\_\_$。

1．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1, g(x)=x^{4}-4 \sqrt{2} x^{3}+6 x^{2}+4 \sqrt{2} x+1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 的首 1 最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．设一元多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最小公倍式为 $\left(x^{3}+1\right)(x-2)$ ，且 $f(x) g(x)=(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式为 $\_\_\_\_$。

13．（15 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶非零矩阵，且 $A^{2}=A, B^{2}+B=O$ ． （1）证明：$\mu=1$ 和 $\lambda=-1$ 分别是 $A, B$ 的特征值． （2）若 $A B=B A=O, \alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的特征向量，$\beta$ 是 $B$ 的属于特征值 -1 的特征向量，证明：$\alpha, \beta$ 线性无关．

1．设 $f(x)=x^{3}+(t+1) x^{2}+2 x-4$ 与 $g(x)=x^{3}+t x^{2}-2$ 的最大公因式为一个二次多项式，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

6．实系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x+2$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+3 x^{2}-4$ 的最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$

8、考虑置换 $\sigma(1276)(354), \tau=(1637)(24)(5)$ ，则 $\sigma^{-1} \tau^{-1} \sigma \tau=$ $\_\_\_\_$。 （写成不相交轮换积）

8．$f(x)=4 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+x, g(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+x-2$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首一最大公因式 $=$ $\_\_\_\_$ ．

一、（15 分） 已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+2 x^{2}+x+1, g(x)=x^{3}+2 x^{2}+2 x+1$ ，求它们的最大公因式 （ $\displaystyle f(x), g(x)$ ），并求它们的公共根。

3．求 $A$ 的极小多项式． 十。（20分）设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其特征多项式为 $f(\lambda)$ 。证明以下 3 个结论等价： （1）$V$ 只有平凡的 $\varphi$－不变子空间。 （2）对任意非零向量 $\alpha \in V$ ，都有 $V=L\left(\alpha, \varphi(\alpha), \varphi^{2}(\alpha), \cdots\right)$ ． （3）$f(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式。

3．（5 分）设 $\alpha=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{4}$ ，子空间 $$ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\mathrm{T}} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} . $$ 则 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．

14．（12 分）设 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的一个特解，$\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-\tau}$ 是相应齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。证明： （1）向量组 $\eta, \eta+\xi_{1}, \eta+\xi_{2}, \cdots, \eta+\xi_{n-r}$ 线性无关． （2）$\gamma$ 是 $A X=\beta$ 的一个解的充分必要条件是存在 $c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得 $$ \gamma=c_{0} \eta+c_{1}\left(\eta+\xi_{1}\right)+c_{2}\left(\eta+\xi_{2}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\eta+\xi_{n-r}\right) . $$ 其中 $c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n-r}=1$ ．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明： $\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．另外，若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

1、求 $f(x)=x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-4 x-1, g(x)=x^{3}+x^{2} -x-1$ 的最大公因式 $\_\_\_\_$ ．

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

3．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(1+t) x^{2}+4 x+k, g(x)=x^{3}+t x^{2}+k$ ．常数 $t$ 和 $k$为多少时，最大公因式 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 是 2 次多项式？

3．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+3 x-6$ 与多项式 $\displaystyle g(x)=x^{3}-t x+2$ ，其中 $t$ 为实数．若 $\displaystyle g(x)$ 有重根． （1）求实数 $t$ ； （2）求 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式 $\displaystyle d(x)$ ； （3）求多项式 $\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)=d(x)$ ．

3．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(a+1) x^{2}+b x-4$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+a x^{2}+(b-2) x-b$ 的首一最大公因式为 $\displaystyle d(x)$ ，且 $\displaystyle d(x)$ 为二次多项式． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=d(x)$ ．

4．若3阶复矩阵 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ 为酉矩阵，那么复数 $a$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．