多项式-最大公因式

六．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．七．设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $F$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $F$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ． （2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

四、（15 分）证明：设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},\left(a_{n} \neq 0\right)$是整系数多项式，若有素数 $p$ ，使得：（a）$\displaystyle p \mid a_{i},(i=0,1,2, \cdots, n-1)$ ； （b）$\displaystyle p \dagger a_{n}$ ；（c）$\displaystyle p^{2} \dagger a_{0}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约。

2、 $N\left(A^{T}\right)=(R(A))^{\perp},(R(A))^{\perp}$ 表示 $R(A)$ 的正交补空间．

7．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\left(x-a_{3}\right)\left(x-a_{4}\right)-1$ ，其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 4 个互不相同的整数．问：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是否可约？

七，（20 分）设三级方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0\end{array}\right)$ 试求（1）A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ ； （2）试问 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 是否是实数域上不可约多项式？为什么？

二，（15 分）设 $m$ 是正整数，$\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1 . a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为互不相同的整数，$\displaystyle s>2 m$ ，且 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)=1$ 或 $\displaystyle -1, i=1,2, \cdots, s$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $Q$ 上不可约．

1、写出 $f$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵；

一、（15分）设 $\displaystyle p(x), f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle p(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约． （1）若存在 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ ，使得 $\displaystyle p(\alpha)=f(\alpha)=0$ ，则 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ； （2）若 $\displaystyle a+\sqrt{b}(a, b$ 为有理数，$\displaystyle \sqrt{b}$ 为无理数 $\displaystyle )$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个根，则 $\displaystyle a-\sqrt{b}$ 也为 $\displaystyle f(x)$ 的根．．

八、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的多项式，$k$ 是正整数。 （1）证明：若 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ 的 $k$ 重因式，则 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k+1$ 重因式； （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{5}-x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-8 x-12$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 在有理数范围内因式分解．

一，（15 分）写出 $\displaystyle f(x)=x^{6}+1$ 在有理数域，实数域，复数域上的因式分解．

1．（10 分）证明：对任意相异整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，多项式 $$ f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)-1 $$ 在有理数域上不可约．

一、（15 分）写出一元多项式 $\displaystyle f=x^{n}-1$ 在有理数域上的标准分解式．

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle n(n>2)$ 次有理系数多项式，$p$ 是大于 $n$ 的素数，$\displaystyle g(x)=x^{p}+p x+1$ 。 （1）证明 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域不可约； （2）求 $\displaystyle (f(x)+g(x), g(x))$ 。

2．设 $p$ 是奇素数，问有理多项式 $\displaystyle x^{p}+p x+1$ 在有理数域上是否可约。为什么？

2．$\displaystyle f(x)=x^{8}+7 x^{2}+x$ 在有理数域上的标准分解式。

1．解答如下问题： （1）证明：每个次数 $\displaystyle \geq 3$ 的实系数多项式在实数域上一定可约． （2）证明：三次实系数多项式在实数域上一定有根。 （3）四次实系数多项式在实数域上一定有根吗？说明理由．

3．设 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $F$ 上次数大于等于 1 的多项式，证明下列说法等价 （1）$\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式． （2）对任意的 $\displaystyle f(x), g(x) \in F[x]$ ，如果 $\displaystyle p(x) \mid f(x) g(x)$ ，则有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x) \mid g(x)$ ． （3）对任意的 $\displaystyle f(x) \in F[x]$ ，都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle (p(x), f(x))=1$ ．

1．设 $x^{2}-2$ 在 $P$ 内可约的最小数域为 $\_\_\_\_$ ．

6．设已知 3 个 3 维向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其中，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，而矩阵 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的秩为 2 ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 $A^{*} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$。

3．若 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，则 $n$ 一定是 $\_\_\_\_$。

2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．

4．若不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f^{(k)}(x)$ 的 $s$ 重因子，且 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ ，那么 $\displaystyle p(x)$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle s+k$ 重因子．

2．若 $\displaystyle f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

6．设 $p$ 奇素数，判别多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是否可约．

三．设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1\left(m \in \mathbb{N}^{+}\right)$，证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得每个 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)$ 取值为 1 或 -1 ，那么 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

1．设 $p, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}$ 是互不相同的素数，则多项式 $f(x)=x^{p}-p_{1} p_{2} \cdots p_{s}$ 在有理数域上 $\_\_\_\_$ （可约／不可约）．

8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$

2．证明：次数大于 0 且首项系数为 1 的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是不可约多项式的充分必要条件是对任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

一、（本题 10 分）将 $\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots+x^{15}$ 展开成不可约有理多项式的乘积． fl ：多项式

12．证明多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1$ 在有理数域上不可约．

8．设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-a x+3$ 的 3 个复根，$a$ 为整数． （1）求行列式 $$ \left|\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \end{array}\right| $$ （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域可约，求 $a$ ． （3）若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $a$ ．

6．设 $\displaystyle f(x), P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle P(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，设 $\displaystyle P(x)$ 有一个复数根 $\displaystyle \alpha$ ，如果 $\displaystyle \alpha$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的复根，证明：在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中，$\displaystyle P(x) \mid f(x)$ ．

1．已知 $D_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}^{n}-a_{1} & a_{1}^{n-1}-a_{1} & \ldots & a_{1}^{2}-a_{1} \\ a_{2}^{n}-a_{2} & a_{2}^{n-1}-a_{2} & \ldots & a_{2}^{2}-a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n-1}^{n}-a_{n-1} & a_{n-1}^{n-1}-a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{2}-a_{n-1}\end{array}\right|$ ，求 $D_{n}$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

五．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+6 x^{3}+4 x+2 \in \mathbb{Q}[x], c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个复根．记 $$ \mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\} $$ 证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约； （2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ； （3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ． ∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．

八．设 $\displaystyle \varphi$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，设 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in V$ ，记 $$ F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\} $$ 设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为 $$ m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda) $$ 其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得 （1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ； （2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．

三．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，证明：若 $\displaystyle a c+b c$ 为奇数，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

7．设 3 阶方阵 $A$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+A^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足 $$ \varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n} $$ 证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

4．（20分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是数域， （1）证明：一元多项式 $\displaystyle x^{2}+x^{3}$ 不能写成另一多项式的平方； （2）证明：二元多项式 $\displaystyle y^{2}-x^{2}-x^{3}$ 是二元多项式环 $\displaystyle K[x, y]$ 中的不可约多项式，也就是说它不能写成两个非常数多项式的乘积。

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的 $m$ 次多项式 $\displaystyle (m \geq 0), n$ 是大于 $m$ 的正整数．证明： （1）（3 分）$\displaystyle x^{n}-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中不可约． （2）（ 7 分）$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

二．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $\displaystyle a, b$ ，其中 $\displaystyle a \neq 0$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=f(a x+b)$ 在有理数域上不可约．

八、（15 分） 证明：次数大于零的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是某一个不可约多项式方幂的充分必要条件是对任意的多项式 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或存在某一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

一、（15 分） 判断多项式 $\displaystyle x^{4}-8 x^{3}+12 x^{2}+2$ 在有理数域上是否可约．

5．已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$ ．证明：存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．

2．证明 $f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}-3 x+8$ 在有理数域上不可约．

10、设 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ ，求 $m$ 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $Q$ 上可约．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

5．求以 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为根的有理数域上的不可约多项式．

二、（10 分）设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，且 $\displaystyle (\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{c}$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$在有理数域上不可约。

一、（20 分）设 $\displaystyle M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{14}$ 是 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 4 & 7 \\ 1 & x^{2}+1 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 7 & 9\end{array}\right|$ 的 4 个余子式。 （10 分）（1）设 $\displaystyle f(x)=M_{1}+M_{12}+2 M_{13}-3 M_{14}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ． （5 分）（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是不可约的． （5 分）（3）求 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，满足 $\displaystyle f(x)$ 整除 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+b x$ ．

1、（6 分）求 $f(x)$ 全部有理根．

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

3．$R^{2}$ 上的线性变换 $\mathbf{A} ; \mathbf{A}(x, y)=(x-3 y, 2 x-y)$ 是否可以对角化？为什么？

10．设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是两两互异的整数，证明：$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\left(x-a_{i}\right)-1$ 在有理数域上不可约．

6．将多项式 $\displaystyle f(x)=x^{8}-x^{7}+7 x^{2}-6 x-1$ 在有理数域上分解成不可约因式的乘积．

2．若多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，那么 $f\left(x^{2}\right)$ 与 $g\left(x^{2}\right)$ 是否互素？为什么？

1．（15 分）求所有整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ 在有理数域上可约．

6．已知实二次型 $f=a x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 的符号差为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．

六．设 $\displaystyle f(x)=\left(x-k_{1}\right)\left(x-k_{2}\right) \cdots\left(x-k_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}(n>2)$ 是互异的整数．证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上可约的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方．

3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式． （2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．

(1):\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为 $$ \eta_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) $$ 求方程组（1）与（2）的公共解．

六、（10 分）分别写出 $\displaystyle x^{6}-1$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 与 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的标准因式分解，其中 $\displaystyle \mathbb{C}$ 表示复数域， $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域。

1．设 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2024}-x^{2024}-1$ ． （1）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ． （2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的所有复数根及在复数域和实数上的不可约因式分解． （3）判断 $\displaystyle f(x)$ 是否有重根，并说明理由．

2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例． （1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ． （2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约． （3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．

1．$\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x & 0 & 0 & 0 & 9 \\ -1 & x & 0 & 0 & 33 \\ 0 & -1 & x & 0 & 19 \\ 0 & 0 & -1 & x & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+6\end{array}\right|$ ，在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上做不可约分解．

九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ． （1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立； （2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ； （3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．

7．（10 分）设 $p$ 为奇素数，多项式 $\displaystyle f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数 域上不可约．

2．（20 分）设 $n$ 是大于 1 的整数，$\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在有理数域 Q 上不可约当且仅当 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是素数．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是两两不相等的整数． （1）证明：当 n 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约； （2）当 $\displaystyle \mathrm{n}=4$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上还是否一定不可约？请说明理由．

二．（19 分）设 $p$ 是素数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

二、（19 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个整系数多项式，如果 $\displaystyle (a+b) c$ 是奇数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．