多项式-不可约多项式

1．若 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ 有重根，$t$ 为整数，则 $t$ ． $\_\_\_\_$ ．

5、设 $f(x)=x^{4}-5 x^{3}+a x^{2}+b x+9 \in \mathbb{C}[x]$ ，如果 3 是 $f(x)$ 的二重根，则 $a=$ $\_\_\_\_$ , $\mathbf{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（ 15 分）证明：$\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 无重根．

八．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$B$ 为 $m$ 阶复方阵，且存在秩为 $r$ 的矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X=X B$ ，其中 $\displaystyle 1 \leq r \leq \min \{n, m\}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）．

4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。 （1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ； （2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。

1．$\displaystyle f(x)=x^{n+1}+x^{n}+2(n>0)$ 是否有重根？

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

1．当 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+4 a x=b$ 有重根．

1．$\displaystyle f(x)=x^{3}+p x+q$ 是 3 阶复系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 无重根的充要条件 $\displaystyle 4 p^{3}+27 q^{2} \neq 0$

1．已知整系数多项式 $x^{3}+x^{2}-8 x-b$ 有重根，且 $b>0$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，$\displaystyle f(-1), f(0), f(1)$ 不能被 3 整除，证明：$\displaystyle f(x)$ 无有理根．

3．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）判断 $A$ 的特征多项式是否有有理根，并说明在有理数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 是对角矩阵。 （2）判断 $A$ 的特征多项式在复数域上有无重根，并说明在复数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$是对角矩阵。

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，且多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重根，则 $\displaystyle \operatorname{Im} f(\mathscr{A})+ \operatorname{Im} f^{\prime}(\mathscr{A})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-a x+3$ 的 3 个复根，$a$ 为整数． （1）求行列式 $$ \left|\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \end{array}\right| $$ （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域可约，求 $a$ ． （3）若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $a$ ．

2．平面曲 线 $4 x^{2}-4 x y+y^{2}+6 x-8 y+3=0$ 平行于直线 $x+2 y+1=0$ 的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

6、已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+3 x-1$ ，试确定 $a$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)$ 有重根，并求重根及重数 $\displaystyle (a \in R)$ ．

四．（12 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次首一多项式，$\displaystyle n \geq 1$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 有 $n$个根 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，重根按重数计算，$\displaystyle c \in P$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根．证明： $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-c}=-\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)} $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}$ ．

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & a \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right)$ 的特征多项式有二重根，求 $a$ 的值，并讨论可否对角化．

1．如果实系数多项式 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+9$ 有重根，那么这个重根是 $\_\_\_\_$ ．

1．证明 $\displaystyle x^{n}-1$ 无重根。

二．$\displaystyle f(x)=x^{4}+(m+1) x^{3}-(2 m+1) x^{2}+\left(m^{2}+m\right) x+m, g(x)=x^{4}+m x^{3}-x^{2}+m x+m$ ．问 $\displaystyle f(x), g(x)$是否存在公共的有理根？若有，求出所有的 $m$ ，若没有，给出理由．

1．已知多项式 $\displaystyle f(x) \in P[x], P$ 为数域．（15 分） （1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 具有 $k$ 重因式，判断 $\displaystyle f(x)$ 是否一定有 $\displaystyle k+1$ 重因式？并写出理由．（7分） （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ ，当 $t$ 为何值时．$\displaystyle f(x)$ 有重根？在有重根时．写出重根及其重数．

1．（5 分）设 2 是多项式 $\displaystyle x^{4}-2 x^{3}+a x^{2}+b x-8$ 的二重根，求 $\displaystyle a b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

2．设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$p^{2} \mid(a+1)$ ，证明：多项式 $f(x)=a x^{p}+p x+1$ 没有有理根．

一、 $\displaystyle f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+1$ ，若 $\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)=0$ 的三重根，求 $\displaystyle a, b, c$ ．

1．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+6 x^{2}+3 p x+8$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $p$ 的值．

1．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是一个整系数多项式，而 $\displaystyle \frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $\displaystyle r, s$ 互素，证明：$\displaystyle s\left|a_{n}, r\right| a_{0}$ ．

二．（15 分）证明复数域上的多项式 $$ f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+(n(n-1)) x^{n-2}+\cdots+(n(n-1)(n-2) \cdots 4 \cdot 3) x^{2}+(n!) x+n! $$ 没有重根．

1、（6 分）求 $f(x)$ 全部有理根．

8．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 2026 阶反对称矩阵，证明： （1）$\displaystyle r(A)$ 为偶数． （2）$\displaystyle A B$ 的特征多项式至少有一个二重根．

9．设 $n$ 为正整数，且有理数域上二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 n x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3} $$ 有三个不小于 -4 的整数特征值，确定 $n$ 的取值并计算此二次型在有理数域上的标准形．

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$ 的根．

1．多项式 $x^{3}+4 x^{2}+7 x+12$ 的有理根为 $\_\_\_\_$

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

3．是否存在特征多项式为 $x^{6}-4 x^{5}+6 x^{4}-8 x^{3}+9 x^{2}-4 x+4$ 的实对称矩阵？说明理由．

9．正交变换的特征值为 $\_\_\_\_$ ．

2．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 t x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}$ ，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 是正定的，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 的负惯性指数是 1 ．

1．设 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2024}-x^{2024}-1$ ． （1）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ． （2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的所有复数根及在复数域和实数上的不可约因式分解． （3）判断 $\displaystyle f(x)$ 是否有重根，并说明理由．

九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ． （1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立； （2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ； （3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的有理根且 $\displaystyle (p, q)=1$ ，证明：存在任意整数 $m$ ，使得 $\displaystyle p m-q \mid f(m)$ 。

3．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+3 x-6$ 与多项式 $\displaystyle g(x)=x^{3}-t x+2$ ，其中 $t$ 为实数．若 $\displaystyle g(x)$ 有重根． （1）求实数 $t$ ； （2）求 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式 $\displaystyle d(x)$ ； （3）求多项式 $\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)=d(x)$ ．