多项式-有理多项式

四、（15 分）证明：设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},\left(a_{n} \neq 0\right)$是整系数多项式，若有素数 $p$ ，使得：（a）$\displaystyle p \mid a_{i},(i=0,1,2, \cdots, n-1)$ ； （b）$\displaystyle p \dagger a_{n}$ ；（c）$\displaystyle p^{2} \dagger a_{0}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约。

2、 $N\left(A^{T}\right)=(R(A))^{\perp},(R(A))^{\perp}$ 表示 $R(A)$ 的正交补空间．

7．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\left(x-a_{3}\right)\left(x-a_{4}\right)-1$ ，其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 4 个互不相同的整数．问：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是否可约？

3．设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的一个 $m$ 次多项式，$n$ 是大于 $m$ 的正整数，证明：$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

二，（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 都是正整数且 $n$ 大于 $\displaystyle m, f(x)$ 是有理数域上一个 $m$ 次多项式， 试问： $\displaystyle 2^{\frac{1}{n}}$ 是不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根？为什么？

二，（15 分）设 $m$ 是正整数，$\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1 . a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为互不相同的整数，$\displaystyle s>2 m$ ，且 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)=1$ 或 $\displaystyle -1, i=1,2, \cdots, s$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $Q$ 上不可约．

1、写出 $f$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵；

一，（15 分）写出 $\displaystyle f(x)=x^{6}+1$ 在有理数域，实数域，复数域上的因式分解．

一、（15 分）已知 $\displaystyle f(x)=x^{4}-4$ ，证明：任何一个有理系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle f(x) \mid g(x)$ 或 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．

1．（10 分）证明：对任意相异整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，多项式 $$ f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)-1 $$ 在有理数域上不可约．

2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．

一、（15 分）写出一元多项式 $\displaystyle f=x^{n}-1$ 在有理数域上的标准分解式．

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle n(n>2)$ 次有理系数多项式，$p$ 是大于 $n$ 的素数，$\displaystyle g(x)=x^{p}+p x+1$ 。 （1）证明 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域不可约； （2）求 $\displaystyle (f(x)+g(x), g(x))$ 。

2．设 $p$ 是奇素数，问有理多项式 $\displaystyle x^{p}+p x+1$ 在有理数域上是否可约。为什么？

2．$\displaystyle f(x)=x^{8}+7 x^{2}+x$ 在有理数域上的标准分解式。

2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．

1．包含 $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ 的最小数域视为有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

13．设 $\displaystyle \beta=\sqrt[3]{2}, \mathbb{Q}$ 为有理数域，求证：$\displaystyle F=\left\{k_{0}+k_{1} \beta+k_{2} \beta^{2} \mid k_{0}, k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Q}\right\}$ 构成数域。

三．设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1\left(m \in \mathbb{N}^{+}\right)$，证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得每个 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)$ 取值为 1 或 -1 ，那么 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

1．设 $p, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}$ 是互不相同的素数，则多项式 $f(x)=x^{p}-p_{1} p_{2} \cdots p_{s}$ 在有理数域上 $\_\_\_\_$ （可约／不可约）．

8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$

3．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）判断 $A$ 的特征多项式是否有有理根，并说明在有理数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 是对角矩阵。 （2）判断 $A$ 的特征多项式在复数域上有无重根，并说明在复数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$是对角矩阵。

12．证明多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1$ 在有理数域上不可约．

8．设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-a x+3$ 的 3 个复根，$a$ 为整数． （1）求行列式 $$ \left|\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \end{array}\right| $$ （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域可约，求 $a$ ． （3）若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $a$ ．

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

6．设 $\displaystyle f(x), P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle P(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，设 $\displaystyle P(x)$ 有一个复数根 $\displaystyle \alpha$ ，如果 $\displaystyle \alpha$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的复根，证明：在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中，$\displaystyle P(x) \mid f(x)$ ．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

五．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+6 x^{3}+4 x+2 \in \mathbb{Q}[x], c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个复根．记 $$ \mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\} $$ 证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约； （2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ； （3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ． ∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．

三．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，证明：若 $\displaystyle a c+b c$ 为奇数，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

7．设 3 阶方阵 $A$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+A^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的 $m$ 次多项式 $\displaystyle (m \geq 0), n$ 是大于 $m$ 的正整数．证明： （1）（3 分）$\displaystyle x^{n}-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中不可约． （2）（ 7 分）$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

二．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $\displaystyle a, b$ ，其中 $\displaystyle a \neq 0$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=f(a x+b)$ 在有理数域上不可约．

一、（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-4 x-2, g(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2$ 都是有理数域 $Q$ 上的多项式，求 $\displaystyle u(x), v(x) \in Q[x]$ 使得 $$ f(x) u(x)+g(x) v(x)=(f(x), g(x)) . $$

一、（15 分） 判断多项式 $\displaystyle x^{4}-8 x^{3}+12 x^{2}+2$ 在有理数域上是否可约．

5．已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$ ．证明：存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．

2．证明 $f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}-3 x+8$ 在有理数域上不可约．

5．求以 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为根的有理数域上的不可约多项式．

1、求 $x, y$ 的值．

二、（10 分）设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，且 $\displaystyle (\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{c}$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$在有理数域上不可约。

二、（15分）求有理数域上所有 3 阶方阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{3 * 3}$ ，其中 $\displaystyle a_{i j} \in\{0,1\}, 1 \leqslant \mathrm{i}, \mathrm{j} \leqslant 3$ ，行列式的最大值。

一、（20 分）设 $\displaystyle M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{14}$ 是 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 4 & 7 \\ 1 & x^{2}+1 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 7 & 9\end{array}\right|$ 的 4 个余子式。 （10 分）（1）设 $\displaystyle f(x)=M_{1}+M_{12}+2 M_{13}-3 M_{14}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ． （5 分）（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是不可约的． （5 分）（3）求 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，满足 $\displaystyle f(x)$ 整除 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+b x$ ．

1、（15 分）用艾森斯坦判别法证明：$\displaystyle \sqrt[2026]{2026}$ 为无理数．

3．$R^{2}$ 上的线性变换 $\mathbf{A} ; \mathbf{A}(x, y)=(x-3 y, 2 x-y)$ 是否可以对角化？为什么？

10．设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是两两互异的整数，证明：$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\left(x-a_{i}\right)-1$ 在有理数域上不可约．

6．将多项式 $\displaystyle f(x)=x^{8}-x^{7}+7 x^{2}-6 x-1$ 在有理数域上分解成不可约因式的乘积．

2．若多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，那么 $f\left(x^{2}\right)$ 与 $g\left(x^{2}\right)$ 是否互素？为什么？

13．设实方阵 $A$ 满足 $A^{4}=-A^{2}$ ，证明：$A$ 的迹等于 0 ．

1．（15 分）求所有整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ 在有理数域上可约．

1．在有理数域上分解多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-3 x^{3}+6 x-4$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

六．设 $\displaystyle f(x)=\left(x-k_{1}\right)\left(x-k_{2}\right) \cdots\left(x-k_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}(n>2)$ 是互异的整数．证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上可约的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方．

3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式． （2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．

(1):\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为 $$ \eta_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) $$ 求方程组（1）与（2）的公共解．

九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ． （1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立； （2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ； （3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．

一、（20 分，每题 5 分）叙述题： （1）艾森斯坦（Eisenstein）判别法； （2）克拉默（Cramer）法则； （3）哈密顿－凯莱（Hamilton－Caylay）定理； （4）正交变换．

二、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为有理数域上的非零多项式，如果 $\displaystyle f(\sqrt{3})=0$ ，证明：在有理数域上 $\displaystyle x^{3}-2$ 整除 $\displaystyle f(x)$.

一、（15 分）证明高斯（Gauss）引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足： $$ A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0) $$ （i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ； （ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．

2．（15 分）证明高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式．

2．（20 分）设 $n$ 是大于 1 的整数，$\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在有理数域 Q 上不可约当且仅当 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是素数．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是两两不相等的整数． （1）证明：当 n 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约； （2）当 $\displaystyle \mathrm{n}=4$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上还是否一定不可约？请说明理由．

二．（19 分）设 $p$ 是素数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

二、（19 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个整系数多项式，如果 $\displaystyle (a+b) c$ 是奇数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式．