南开大学 2025年 第7题
7、（10 分）设 $\displaystyle V^{*}$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，$\displaystyle V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 是 $\displaystyle V^{*}$ 的子空间，记
$$
\begin{aligned}
& W=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{1}^{*} \cap V_{2}^{*}\right\} \\
& W_{i}=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{i}^{*}, i=1,2\right\}
\end{aligned}
$$
证明：$\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ．
南开大学 2025年 第8题
8、（10 分）设 $\displaystyle B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, C \in \mathbb{R}^{2 \times n}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，且 $\displaystyle B, D$ 均为对称矩阵．设 $B$ 的两个特征值为 $\displaystyle \mu_{1}, \mu_{2}$ 。矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ C^{T} & D\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}$ ．求证： $\displaystyle \min \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}\right\} \leq \min \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}$ ．
广西大学 2023年 第一-3题
3．若 $\alpha_{1}=(2,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,0)^{T}, \alpha_{3}=(7,-4,0)^{T}$ ，则向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$
广西大学 2023年 第一-6题
6．设
$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right),\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 3 & 1 & 0 \\
5 & 3 & 2 & 1 \\
6 & 6 & 1 & 3
\end{array}\right) .
$$
则基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
广西大学 2023年 第二题
二．计算 $n$ 阶行列式
$$
A=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\
4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\
n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1
\end{array}\right| .
$$
三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩
阵为
$$
\left(\begin{array}{ll}
A_{1} & A_{3} \\
O & A_{2}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明：
（1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换；
（2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。
广西大学 2023年 第四题
四．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为实数域上的 $n$ 阶矩阵，证明：
（1）若 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A| \neq 0$ ；
（2）若 $\displaystyle a_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A|>0$ ．
广西大学 2024年 第一-2题
2．设向量组 $\alpha_{1}=(1,0,3,4,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(3,-1,2,1,3)^{\prime}, \alpha_{3}=(-1,1,0,5,2)^{\prime}, \alpha_{4}=(3,0,5,10,8)^{\prime}, \alpha_{5}=(-1,0,1,-2,-2)^{\prime}$则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩是 $\_\_\_\_$ ．
广西大学 2024年 第一-4题
4．设 $P$ 为数域，在 $P^{4}$ 中，令
$$
\begin{gathered}
W_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-2 x_{2}+2 x_{4}=0, x_{1}+2 x_{3}=0\right\} \\
W_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}=0 .\right\}
\end{gathered}
$$
则 $W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\_\_\_\_$ ．
广西大学 2024年 第一-7题
7．设 $P$ 为数域，在 $P^{3}$ 中给出一组基 $\alpha_{1}=(-1,0,2), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(3,-1,0)$ ，定义线性变换 $\sigma$如下：$\sigma\left(\alpha_{1}\right)=(-5,0,3), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=(0,-1,6), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=(-5,-1,9)$ 。则 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
广西大学 2024年 第三题
三．（18 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的 $s$ 个非平凡子空间，证明：$V$ 中至少存在向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{i}, i=1,2, \cdots, s$ ．
广西大学 2024年 第五题
五．（12分）设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
$\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．
广西大学 2024年 第八题
八．（12分）设 $\displaystyle \alpha$ 是欧氏空间 $V$ 的一个非零向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in V$ 满足
$$
\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0(i=1,2, \cdots, n) ;\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0(i, j=1,2, \cdots, m ; i \neq j)
$$
其中符号 $\displaystyle (x, y)$ 表示向量 $\displaystyle x, y$ 的内积。证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关。
广西大学 2025年 第一-2题
2、已知向量组 $\alpha_{1}=(3,-2,0)^{T}, \alpha_{2}=(27,-18,0)^{T}, \alpha_{3}=(-1,5,8)^{T}$ ，则该向量组的秩为 $\_\_\_\_$ ；极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．
广西大学 2025年 第四题
四、（15 分）证明：设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},\left(a_{n} \neq 0\right)$是整系数多项式，若有素数 $p$ ，使得：（a）$\displaystyle p \mid a_{i},(i=0,1,2, \cdots, n-1)$ ；
（b）$\displaystyle p \dagger a_{n}$ ；（c）$\displaystyle p^{2} \dagger a_{0}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约。
北京科技大学 2023年 第九题
九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ．
（1）求 $A$ 的最小多项式；
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．
北京科技大学 2023年 第四题
四．（15 分）设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ 为实系数二次型，实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1$（二重）， $\displaystyle \lambda_{2}=-1$（二重）．且 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \varepsilon_{2}=(1,1,0,1)^{\prime}$ 为属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1$ 的特征向量．求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 的表达式。
北京科技大学 2025年 第4题
4．（15 分）设 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 为所有 3 阶实方阵按矩阵的加法及实数与矩阵的数量乘法构成的实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间．已知 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 的两个子空间
$$
W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
a & 0 & c \\
a & 0 & 0 \\
c & b & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}, W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
x & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} .
$$
（1）求和空间 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 的维数和一组基．
（2）记 $\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ，求子空间 $\displaystyle W_{3}$ ，使得 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})=W_{3} \oplus W$ ，并说明理由．
北京科技大学 2025年 第5题
5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。
北京科技大学 2026年 第六题
六．计算题（15分）
设 $V$ 为欧氏空间，$\displaystyle v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ 是 $V$ 的一组标准正交基，令向量
$$
\alpha=v_{1}+v_{2}, \beta=v_{1}+v_{3}, \gamma=2 v_{1}+v_{2}+2 v_{3}+v_{4} .
$$
子空间 $\displaystyle W=L(\alpha, \beta), W^{\perp}$ 为 $W$ 的正交补．求 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}$ ，使得 $\displaystyle \gamma=\gamma_{1}+\gamma_{2}$ ，且 $\displaystyle \gamma_{1} \in W, \gamma_{2} \in W^{\perp}$ ．
北京科技大学 2026年 第四题
四．证明题（20分）
设 $V$ 是实数域的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \left\{\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right\}$ 是 $V$ 的一组基，令 $\displaystyle \xi_{n+1}=-\xi_{1}-\xi_{2}-\cdots-\xi_{n}$ ．证明：
（1）对 $\displaystyle i=1,2, \cdots, n+1,\left\{\xi_{1}, \cdots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \cdots, \xi_{n+1}\right\}$ 都构成 $V$ 的基．
（2）对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，在（1）中的 $\displaystyle n+1$ 组基中，存在一组基使得 $\displaystyle \alpha$ 在此基下的坐标分量均为非负．
东北师范大学 2023年 第9题
9．设函数 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(M)=A x+B y+C z+D$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 是不全为零的实数，$\displaystyle M(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$ ，证明：如果三点 $\displaystyle M_{0}, M_{1}, M_{2}$ 共线，且 $\displaystyle \vec{M}_{1} \vec{M}_{0}=\lambda \overrightarrow{M_{0} M_{2}}, \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1$ ，那么
$$
f\left(M_{0}\right)=\frac{f\left(M_{1}\right)+\lambda f\left(M_{2}\right)}{1+\lambda}
$$
东北师范大学 2025年 第二-1题
3．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$b$ 是 $m$ 维非零向量，$X$ 是 $n$ 个未知量构成的 $n$ 维向量，向量方程 $A X=b$ 的增广矩阵记为 $C$ ，若 $A$ 的秩 $r(A)$ 与 $C$ 的秩 $r(C)$ 都是 $r$ ，且满足 $1 \leq r<n$ ，证明：
（1）（5 分）若 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是 $n-r$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且
$$
A X_{k}=0, k=1,2, \cdots, n-r
$$
则 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是向量方程 $A X=0$ 的一个基础解系．
（2）（10 分）若 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 是 $n-r+1$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且
$$
A Y_{s}=b, s=1,2, \cdots, n-r+1
$$
则向量方程 $A X=b$ 的任何一个解可由 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 线性表示．
东北师范大学 2026年 第4题
4．（15 分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，证明：
$$
(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha, \varepsilon_{i}\right)\left(\beta, \varepsilon_{i}\right) .
$$
重庆市统考 2026年 第一-4题
4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。
重庆市统考 2026年 第一-5题
5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵
$$
G_{1}=\left(\begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
a & 1
\end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & a
\end{array}\right)
$$
讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。
重庆市统考 2026年 第一-6题
6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\sigma(\xi)$ ．
（2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量．
（3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
重庆市统考 2026年 第二-1题
9．设 $m, n, q, r$ 为非负整数，且 $m=n q+r$ ，其中 $0 \leq r<n$ ．
（1）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=\left(x^{n}-1, x^{r}-1\right)$ ．
（2）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ，其中 $d=(m, n)$ 为 $m, n$ 的最大公因数．
重庆市统考 2026年 第二-5题
13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．
重庆市统考 2026年 第二-6题
14．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的标准正交基，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中的一组向量，并满足 $\left|\varepsilon_{i}-\alpha_{i}\right|<\frac{1}{\sqrt{n}}(n=1,2, \cdots, n)$ ，其中 $|\alpha|$ 表示 $\alpha$ 的模长．证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．
安徽师范大学 2014年 第九题
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)$ 都是正定矩阵， $\displaystyle c_{i j}=a_{i j} b_{i j},(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，证明：$n$ 级方阵 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)$ 也是正定矩阵。
安徽师范大学 2015年 第八题
八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．
安徽师范大学 2015年 第六题
六，（20 分）设三个向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，但其中任意两个都线性无关。证明
（1）若有常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 或者全为零，或者全部为零；
（2）若有两组常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 和 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ 且 $\displaystyle l_{1} \alpha+l_{2} \beta+l_{3} \gamma=0$ ，
其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\frac{k_{3}}{l_{3}}$ ．
安徽师范大学 2016年 第七题
七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性
变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ．
（1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换；
（2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。
安徽师范大学 2016年 第六题
六，（20 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots \alpha_{s}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $s$ 个解，其中 $b$ 是非零向量，证明：
（1）若常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots k_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i} \alpha_{i}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i}=0$ ．
（2）若常数 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i} \alpha_{i}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的解，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i}=1$
安徽师范大学 2016年 第四题
四，（15 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，向量 $\displaystyle \beta_{1}=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}, \beta_{3}=k_{1} \alpha_{3}+k_{2} \alpha_{4}, \beta_{4}=k_{1} \alpha_{4}+k_{2} \alpha_{1}$ ，试问：常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 满足什么条件时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性无关．
安徽师范大学 2017年 第七题
七，（20 分）设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 可以经过正交线性替换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并判断二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是否为正定二次型．
（2）写出所作的正交线性替换．
安徽师范大学 2017年 第二题
二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为 $n$ 个互不相同的实数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 为 $n$ 个次数不超过 $\displaystyle n-2$ 的式系数多项式，计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
f_{1}\left(a_{1}\right) & f_{1}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{1}\left(a_{n}\right) \\
f_{2}\left(a_{1}\right) & f_{2}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{2}\left(a_{n}\right) \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
f_{n}\left(a_{1}\right) & f_{n}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{n}\left(a_{n}\right)
\end{array}\right|
$$
安徽师范大学 2018年 第二题
二，（15 分）设 $m$ 是正整数，$\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1 . a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为互不相同的整数，$\displaystyle s>2 m$ ，且 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)=1$ 或 $\displaystyle -1, i=1,2, \cdots, s$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $Q$ 上不可约．
安徽师范大学 2018年 第五题
五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ．
（1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基；
（2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵；
（3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．
安徽师范大学 2021年 第七题
七、（15分）设 5 阶 $\displaystyle \lambda$－短阵 $\displaystyle A(\lambda)$ 的秩为 4 ，其初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1,(\lambda+1)^{2}$ ，求 $\displaystyle A(\lambda)$的行列式因子、不变因子及标准形。
安徽师范大学 2023年 第六题
六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。
安徽师范大学 2024年 第三题
三．（10 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}(r \geq 3)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关．证明
（1）向量 $\displaystyle \alpha_{1}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，且表出方式唯一；
（2）向量 $\displaystyle \alpha_{r}$ 不能由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出．
安徽师范大学 2025年 第五题
五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。
（1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ．
（2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．
安徽师范大学 2025年 第八题
八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ．
（1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B．
（2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。
上海交通大学 2026年 第3题
3．（20分）设 $V$ 是复数域上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 到 $V$ 的线性算子 $\displaystyle \varphi$ 在 $V$上的作用如下：
$$
\varphi\left(\alpha_{1}\right)=5 \alpha_{1}, \varphi\left(\alpha_{2}\right)=5 \alpha_{2}, \varphi\left(\alpha_{3}\right)=3 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+5 \alpha_{3}, \varphi\left(\alpha_{4}\right)=6 \alpha_{4}
$$
（1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵 $A$ ．
（2）确定 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ．
（3）试找 $V$ 的一组新的基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在其下的矩阵为 $J$ ．
东华大学 2026年 第四-2题
2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。
河南师范大学 2025年 第六题
六、（20 分）$\displaystyle V=P^{4}, P$ 是一个数域，$\displaystyle V_{1}=\left\langle\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\rangle, V_{2}=\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}\right\rangle$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$分别组成的子空间，$\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求和空间 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 及交空间 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．
西北工业大学 2026年 第九题
九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．
西北工业大学 2026年 第八题
八．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a, b), B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (c, d), a, b, c, d>0$ ．证明：
（1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ．
（2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．
西北工业大学 2026年 第十题
十．（10 分）设 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，满足对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ ，对任意的 $\displaystyle 1 \leq j \leq n$ ，对任意的常数 $c$ ，有
（1）若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $\displaystyle B, C$ 的对应列完全相同，则
$$
f(A)=f(B)+f(C)
$$
（2）将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $c$ 得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=c f(A)$ ．
（3）对换 $A$ 的任意两列得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=-f(A)$ ．
（4）$\displaystyle f\left(E_{n}\right)=1$ ．
证明：
（1）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则
$$
f(A)=\sum_{\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right) \in S_{n}} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} f\left(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}\right) .
$$
其中 $\displaystyle S_{n}$ 是 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 的全排列，$\displaystyle e_{i 1}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}$ 分别表示第 $\displaystyle i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ 个元素为 1 其余元素为 0 的单位列向量．
（2）$\displaystyle f(A)=|A|$ ，即 $\displaystyle f(A)$ 表示 $A$ 的行列式．
西北工业大学 2026年 第四题
四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\
\mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2}
\end{array}\right.
$$
求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。
哈尔滨工业大学 2009年 第五题
五．设向量组（I）：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，并且可由向量组（II）：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表出．那么，$\displaystyle r \leqslant s$并且可以适当地排列组（II）中向量的次序，使得组（I）替换组（II）的前 $r$ 个向量后所得到的向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta_{r+1}, \beta_{r+2}, \cdots, \beta_{s}$ 与组（II）等价．
哈尔滨工业大学 2011年 第2题
2．已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上的 $n$ 维线性空间中线性无关的向量组
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+\alpha_{m}, \beta_{m}=\alpha_{m}+\alpha_{1}
$$
的线性相关性。
哈尔滨工业大学 2011年 第4题
4．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left|\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1}\end{array}\right|, \sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}, \sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}, \sigma_{3}=x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 。
（1）将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 表成 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ 的多项式；
（2）当 $\displaystyle a, b, c$ 是方程 $\displaystyle x^{3}+p x+q=0$ 的三个根时，求 $\displaystyle f(a, b, c)$ 。
哈尔滨工业大学 2011年 第9题
9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明：
（1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构：
（2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。
哈尔滨工业大学 2012年 第1题
1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。
（1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间；
（2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换：
（3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？
哈尔滨工业大学 2012年 第4题
4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。
（1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ；
（2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。
哈尔滨工业大学 2013年 第3题
3．设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1-\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda-1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \lambda\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}\lambda+1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)$ 。试讨论，$\displaystyle \lambda$ 为何值时 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，在 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示时，求出表达式。
哈尔滨工业大学 2013年 第6题
6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=X^{T} A X, \forall X \in W 。$
（1）求 $\displaystyle \tau$ 关于基 $\displaystyle M_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), M_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \tau$ 的所有 1 维不变子空间。
哈尔滨工业大学 2014年 第5题
5．设 $\displaystyle g_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), h_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),(i=1,2, \cdots, p, j=1,2, \cdots, q)$ 都是 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的一次齐次多项式。二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+\cdots+g_{p}^{2}-h_{1}^{2}-h_{2}^{2}-\cdots-h_{q}^{2}$ 。证明： $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ 。
哈尔滨工业大学 2015年 第10题
10．$\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right), B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 为 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵，则存在 $\displaystyle R^{n}$ 上的正交变换 $\displaystyle \sigma$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle A^{T} A=B^{T} B$ 。
哈尔滨工业大学 2016年 第10题
10．$W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，证明存在 $V$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \alpha_{i} \in W, i=1,2, \cdots, n$ 。
哈尔滨工业大学 2016年 第2题
2．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & a & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 。
（1）$\displaystyle a, b, c$ 分别满足什么条件时，$A$ 与 $B$ 等价；
（2）$\displaystyle a, b, c$ 分别满足什么条件时，$A$ 与 $B$ 相似；
（3）$\displaystyle a, b, c$ 分别满足什么条件时，在复数域上 $A$ 与 $B$ 合同。
哈尔滨工业大学 2016年 第3题
3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ，
（II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$
证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。
哈尔滨工业大学 2017年 第三题
三．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性关关，$\displaystyle \beta_{j}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} \alpha_{i}, j=1,2, \cdots, s$ 。若 $\displaystyle \beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 线性无关，证明 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ccc}a_{41} & \cdots & a_{1 s} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m s}\end{array}\right)=s$ 。
哈尔滨工业大学 2017年 第五题
五．已知 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{s}$ 是实数域上 $s$ 个两两不同的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha, A_{1} \alpha, A_{2} \alpha, \cdots, A_{s} \alpha$ 也两两不同。
哈尔滨工业大学 2017年 第十题
十．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x], \partial(f(x))>0, \partial(g(x))>0$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=1$且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial(g(x)), \quad \partial(v(x))<\partial(f(x))$ 。
哈尔滨工业大学 2022年 第3题
3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．
哈尔滨工业大学 2022年 第4题
4．已知 $n$ 维向量
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots, \alpha_{n}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}\right) .
$$
考察方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}=\beta$ ．
（1）$\displaystyle \beta$ 满足什么条件时，方程组有解？并求解．
（2）若方程组的解构成线性空间，求 $\displaystyle \beta$ 需满足的条件和该线性空间．
哈尔滨工业大学 2022年 第7题
7．已知多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 次数大于零，设 $\displaystyle f(x)=(f(x), g(x)) f_{1}(x), g(x)=(f(x), g(x)) g_{1}(x)$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f_{1}(x)+v(x) g_{1}(x)=1$ ，且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial\left(g_{1}(x)\right), \partial(v(x))<\partial\left(f_{1}(x)\right)$ ．
哈尔滨工业大学 2022年 第8题
8．多项式 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 除以 $\displaystyle x-1$ 得商式 $\displaystyle g(x)=b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}$和余式 $r$ ．
（1）求矩阵 $M$ ，使得 $\displaystyle \left(b_{n-1}, b_{n-2}, \cdots, b_{0}, r\right)=\left(a_{n}, a_{n-1}, \cdots, a_{0}\right) M$ ；
（2）求多项式 $\displaystyle x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1$ 除以 $\displaystyle x-1$ 所得的商式和余式．
哈尔滨工业大学 2024年 第3题
3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明：
（1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关；
（2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量；
（3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成
$$
Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) .
$$
其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．
哈尔滨工业大学 2024年 第4题
4．设 $\displaystyle V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{5} \mid x_{1}+7 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}+2 x_{5}=0\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle S=\left\{(-2,0,0,-1,-1)^{T},(1,1,-2,-1,-1)^{T},(-5,1,0,1,1)^{T}\right\}$ 是 $V$ 的一个线性无关的子集；
（2）将 $S$ 扩充为 $V$ 的一组基底．
哈尔滨工业大学 2024年 第5题
5．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 是线性无关的 $n$ 维列向量，$\displaystyle \beta_{i}=\sum_{j=1}^{r} a_{i j} \alpha_{j}, i=1,2, \cdots, r$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$线性相关的充要条件为 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r r}\end{array}\right|=0$ 。
哈尔滨工业大学 2024年 第7题
7．设 $\displaystyle P^{n}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中的两组向量．
（1）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间的充要条件；
（2）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)=P^{n}$ 的充要条件．
哈尔滨工业大学 2025年 第7题
7．设实数序列 $\displaystyle x_{0}=1, x_{1}=12, x_{2}=-10, x_{3}, x_{4}, \cdots, x_{n}, \cdots$ 满足
$$
x_{n+3}+30 x_{n}=31 x_{n+1}, n \geq 0
$$
求 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式．
哈尔滨工业大学 2026年 第五题
五．设数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 对应的方阵 $S$ 的顺序主子式 $\displaystyle d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}$ 均不为 0 ，其中 $\displaystyle d_{i}$ 是 $i$ 阶顺序主子式．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的标准形．
哈尔滨工程大学 2004年 第一-5题
5．向量组 $\alpha_{1}=(5,2,-3,) \alpha_{2}=(4,1,2), 3 \alpha_{3}=(1,-1,-), \alpha_{4},(3,4)$ 的一个极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．
哈尔滨工程大学 2004年 第一-9题
9．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=-1, \lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 对应的特征向量为 $\alpha_{1}=(2,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(1,2,-2)^{T}$ ，则 $\lambda_{3}=-1$ 对应的特征向量为 $\_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2004年 第二题
二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \alpha_{1}=(-5,0,3) \\ \mathcal{A} \alpha_{2}=(0,-1,6) \\ \mathcal{A} \alpha_{3}=(-5,-1,9)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(-1,0,2) \\ \alpha_{2}=(0,1,1) \\ \alpha_{3}=(3,-1,0)\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 下的矩阵 $A$ ．
哈尔滨工程大学 2005年 第二题
二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \beta_{1}=(1,0,0) \\ \mathcal{A} \beta_{2}=(3,3,2) \\ \mathcal{A} \beta_{3}=(3,3,1)\end{array}\right.$ ，其中，$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(1,0,0) \\ \beta_{2}=(1,1,0) \\ \beta_{3}=(1,1,1)\end{array}\right.$ ．
哈尔滨工程大学 2006年 第一-5题
5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}, \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性 $\_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2007年 第一题
一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分）
（1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组
$$
b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3}
$$
线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为
$\displaystyle \_\_\_\_$。
（8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
（10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
哈尔滨工程大学 2008年 第一-5题
5．在空间直角坐标系中，向量 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}\right), \alpha_{3}=\left(a_{31}, \alpha_{32}, \alpha_{33}\right)$ 共面的充要条件是 $\_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2008年 第二题
二、实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的次数不超过 2 的多项式集合 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 为实数域上的线性空间，取 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 的
一个基 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 中的线性变
换，且 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．
哈尔滨工程大学 2009年 第二题
二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 5 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为其上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{5}$ 之下矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lllll}
& & & & 1 \\
& & & 1 & \\
& & 1 & & \\
& 1 & & & \\
1 & & & &
\end{array}\right)
$$
（1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ ，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为对角阵；
（2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．
哈尔滨工程大学 2009年 第六题
六、 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域，$\displaystyle A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, A+B=E_{n}, A B=B A, A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证存在一个可逆矩阵 $P$ 使得
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll}
E_{\mathrm{s}} & \\
& 0
\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}
0 & \\
& E_{t}
\end{array}\right)
$$
这里 $\displaystyle s+t=n$ ．
哈尔滨工程大学 2011年 第三题
三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为
$W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和．
$\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$
$\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.
哈尔滨工程大学 2011年 第二题
二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,0,1), \alpha_{2}=(2,1,-1,1,-3), \alpha_{3}=(3,2,-1,1,-2) \in \mathbb{R}^{5}$ ，视 $\displaystyle \mathbb{R}^{5}$ 为欧氏空间。再令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的子空间 $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ．
（1）求 $W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ ；
（2）求 $\displaystyle W^{\perp}$ 的一组标准正交基。
哈尔滨工程大学 2011年 第六题
六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．
哈尔滨工程大学 2012年 第10题
10．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, k), \alpha_{2}=(1, k, 1), \alpha_{3}=(1,1, k)$ 是线性无关的，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
哈尔滨工程大学 2012年 第2题
2．$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \alpha, \beta$ 皆为三维列向量，$\displaystyle A=\left(\alpha, 2 \gamma_{1}, 3 \gamma_{2}\right), B=\left(\beta, \gamma_{1}, 2 \gamma_{2}\right)$ 且 $\displaystyle |A|=18,|B|=4$ ，则 $\displaystyle |A-B|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2013年 第6题
6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，
基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ；
基（ I ）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), B_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．
则在基（I）与基（I）下有相同坐标的矩阵的为 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）．
哈尔滨工程大学 2014年 第10题
10．在向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中规定内积（不一定是标准内积）后得到欧式空间 $V$ ，且 $V$ 的基
$\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
哈尔滨工程大学 2014年 第4题
4．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩为3，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}$ 的秩为4，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}-\alpha_{4}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．．
哈尔滨工程大学 2014年 第5题
5．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ， $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，则方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2014年 第二题
二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量；
（3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。
哈尔滨工程大学 2014年 第五题
五、设有向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,2), \quad \alpha_{2}=(3, a+4,2 a+5, a+7), \quad \alpha_{3}=(4,6,8,10)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(2,3,2 a+3,5)$ ，当 $\displaystyle a, b$ 如何取值时，$\displaystyle \beta=(0,1,3, b)$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示？
哈尔滨工程大学 2014年 第六题
六、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 的子空间．
（1）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, ~ V_{2} \cap V_{3}=\{0\}, ~ V_{3} \cap V_{1}=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例；
（2）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, V_{3} \cap\left(V_{1}+V_{2}\right)=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例．
哈尔滨工程大学 2015年 第5题
5．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5} \in \mathbb{R}^{5}$ 线性无关，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2015年 第六题
六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证：
（1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ；
（2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。
哈尔滨工程大学 2016年 第七题
七、（15分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的 3 维线性空间，
是空间 $V$ 的一组基 $\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，
$\displaystyle \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{1}$.
（1）求证 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 也是空间 $V$ 的基；
（2）求基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 到 的过渡矩阵；
（3）求 $\displaystyle \gamma=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}-4 \alpha_{3}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标．
哈尔滨工程大学 2016年 第三题
三、（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为一组 $n$ 维向量，求证 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充分必要条件为任意 $n$ 维向量均可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性表示．
哈尔滨工程大学 2018年 第四题
四、已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性无关。
哈尔滨工程大学 2019年 第七题
七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$.
（1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．
哈尔滨工程大学 2019年 第八题
八、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关，$\displaystyle A \alpha_{i}=\alpha_{i}(i=1,2,3)$ ， $\displaystyle A \beta_{j}=2 \beta_{j}(j=1,2)$ ．证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关．
哈尔滨工程大学 2019年 第六题
六、（15 分）在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 上定义内积：
$\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x+1, f_{3}(x)=x-1$ ，求 $\displaystyle L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right)=\left\{k_{1} f_{1}(x)+k_{2} f_{2}(x)+k_{3} f_{3}(x) \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{R}\right\}$ 的标准正交基．
哈尔滨工程大学 2020年 第一-3题
3．设 $\alpha_{1}=(a, 1,1,1), \alpha_{2}=(1, a, 1,1), \alpha_{3}=(1,1, a, 1), \alpha_{4}=(1,1,1, a)$ ，已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
哈尔滨工程大学 2020年 第九题
九、（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中线性变换 $\displaystyle T_{1}$ 在基 $\displaystyle a_{1}=(1,2)^{T}, a_{2}=(2,3)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(3,1)^{T}, \beta_{2}(4,2)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ ．
（1）求基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 到基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 的过渡矩阵 $P$ ；
（2）求线性变化 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵．
哈尔滨工程大学 2020年 第六题
六、（15 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性相关，求证：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}+\alpha_{4}$ 线性无关．
哈尔滨工程大学 2020年 第十题
十、（本题15分）设 $V$ 为3维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 中的4个向量，已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $V$ 的一组基，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0$ ．
（1）求证：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中任意 3 个向量均匀构成 $V$ 的一组基；
（2）求证：对 $V$ 中任意向量 $\displaystyle \beta$ ，在（1）中 4 组基中必存在一组基 $\displaystyle \beta$ 在该基下的坐标均非负。
哈尔滨工程大学 2022年 第三题
三．（10 分）数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 分别收敛于 $\displaystyle a, b$ ，证明：
$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\max \{a, b\} \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\min \{a, b\}
\end{aligned}
$$
哈尔滨工程大学 2022年 第五题
五．（10 分）设 $\displaystyle u=f(x, y)$ 是由方程组 $\displaystyle u=f(x, y, z, t), g(y, z, t)=0, h(z, t)=0$ 所确定的函数，$\displaystyle f, g, h$ 连续可微，且 $\displaystyle \frac{\partial(g, h)}{\partial(z, t)} \neq 0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
哈尔滨工程大学 2022年 第六题
六．（ 10 分）求 $\displaystyle f(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值，其中 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 r^{2}, x>0, y>0, z>0$ 。并据此证明对任意的正数 $\displaystyle a, b, c$ ，都有 $\displaystyle a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5}$ 成立．
哈尔滨工程大学 2022年 第十二题
十二．（15分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，并且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，又设 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 是满足 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1$ 的 $n$ 个正数．证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 中存在 $n$ 个不相同的数 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，使得
$$
\frac{k_{1}}{f^{\prime}\left(t_{1}\right)}+\frac{k_{2}}{f^{\prime}\left(t_{2}\right)}+\cdots+\frac{k_{n}}{f^{\prime}\left(t_{n}\right)}=1
$$
哈尔滨工程大学 2023年 第一-8题
9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价：
（1）$A$ 是正交矩阵；
（2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基；
（3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．
哈尔滨工程大学 2024年 第6题
6．设有向量组
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
2 \\
0 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}
3 \\
2 \\
-1 \\
-5
\end{array}\right) .
$$
令 $\displaystyle W=\operatorname{span}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的全部线性组合构成的线性空间，求 $W$ 的维数和一组基．
哈尔滨工程大学 2024年 第8题
8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。
（2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．
哈尔滨工程大学 2024年 第9题
9．设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，且 $\displaystyle \beta_{k}=\sum_{i=1}^{n} c_{k i} \alpha_{i}(k=1,2, \cdots, n)$ ，令 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ ，求证：向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle |C| \neq 0$ ．
哈尔滨工程大学 2025年 第10题
10．已知向量组
$$
\alpha_{1}=(2,0,1,3,-1)^{T}, \alpha_{2}=(0,-2,1,5,-3)^{T}, \beta_{1}=(1,1,0,-1,1)^{T}, \beta_{2}=(1,-3,2,0,5)^{T} .
$$
记 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 与 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数与基．
哈尔滨工程大学 2025年 第12题
12．二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X
$$
在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。
哈尔滨工程大学 2025年 第13题
13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换
$$
\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。
（2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆．
（3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。
北京邮电大学 2026年 第七题
七．设二维随机变量 $\displaystyle (X, Y)$ 的概率密度函数为
$$
f(x, y)= \begin{cases}c(x+y), & 0 \leq y \leq x \leq 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
$c$ 为待定系数．
（1）求 $c$ ．
（2）求 $\displaystyle X, Y$ 的边缘密度函数．
（3）求协方差 $\displaystyle \operatorname{cov}(X, Y)$ ．
北京邮电大学 2026年 第九题
九．设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle Y=\sin \left(\frac{\pi}{2} X\right)$ ．
（1）求 $Y$ 的分部律．
（2）设随机变量序列 $\displaystyle \left\{Y_{n}, n=1,2, \cdots\right\}$ 独立同分布，且与 $Y$ 有相同的分布函数．
$\displaystyle (2-1)$ 对于任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，利用切比雪夫不等式证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2}{5}\right|>\varepsilon\right)=0
$$
$\displaystyle (2-2)$ 设常数 $\displaystyle a>0$ ，满足 $\displaystyle \Phi\left(\sqrt{\frac{75}{38}}\right)=a$ ，其中 $\displaystyle \Phi$ 为标准正态分布的分布函数，求
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2 n}{5}\right|>1\right)
$$
北京邮电大学 2026年 第八题
八．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y e^{-y(1+x)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}U=X Y, \\ V=Y .\end{array}\right.$
（1）求 $\displaystyle (U, V)$ 的概率密度函数 $\displaystyle g(u, v)$ ．
（2）求 $\displaystyle U, V$ 的边缘概率密度函数 $\displaystyle g_{U}(u)$ 和 $\displaystyle g_{V}(v)$ ，并判别 $\displaystyle U, V$ 的独立性．
（3）求 $\displaystyle Z=U+V$ 的概率密度函数．
北京邮电大学 2026年 第六题
六．独立重复进行伯努利实验，假设每次实验结果为 $A$ 和 $\displaystyle \bar{A}$ ，且满足 $\displaystyle P(A)=p \in(0,1)$ ，设 $\displaystyle x_{k}$ 表示实验结果 $A$ 第 $k$ 次出现所需的试验次数，$\displaystyle k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle m, n$ 为正整数．
（1）求概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=n, x_{3}=m+n+1\right)$ ．
（2）求条件概率 $\displaystyle P\left(x_{1}=m \mid x_{2}=m+n\right)$ ．
（3）求数学期望 $\displaystyle E\left[x_{k}\right]$ 和方差 $\displaystyle D\left[x_{k}\right], k=1,2, \cdots$ ．
北京邮电大学 2026年 第十题
十．设随机变换 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，概率密度函数分别为
$$
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \quad f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\mu e^{-\mu y}, & y>0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \quad \lambda, \mu>0 .\right.\right.
$$
（1）求 $\displaystyle P(X>Y)$ ．
（2）令 $\displaystyle M=\max \{X, Y\}, N=\min \{X, Y\}$ ，求其概率密度函数 $\displaystyle f_{M}(x), f_{N}(x)$ ．
（3）求 $N$ 的特征函数 $\displaystyle \varphi_{N}(t)$ ．
上海大学 2026年 第4题
判断题
（1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1
（2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似
（3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
（4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$
（5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间
$\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题
云南大学 2026年 第六题
六．设 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是其 $n$ 个不同的特征值，证明：$\displaystyle \alpha, \tau(\alpha), \cdots, \tau^{n-1}(\alpha)$线性无关的充要条件是 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{i}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．
中国人民大学 2026年 第4题
4．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,2,1,0), \alpha_{2}=(2,-2,4,-2,0), \alpha_{3}=(3,0,6,-1,1), \alpha_{4}=(0,3,0,0,1)$ ．
（1）（10 分）求该向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中其他向量用该极大线性无关组线性表示．
（2）（10 分）求一个以该极大线性无关组为基础解系的齐次线性方程组。
中国人民大学 2026年 第8题
8．（20 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是数域 $P$ 上的 $m$ 个不同的数，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $P$ 上的任意 $m$ 个数，对于任一多项式 $\displaystyle p(x)$ ，我们记 $\displaystyle \partial(p(x))$ 为其次数．证明：存在唯一的多项式 $\displaystyle g(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \partial(g(x))<m$ ，且对任意的 $\displaystyle 1 \leq i \leq m$ ，我们有 $\displaystyle g(x)=q_{i}(x)\left(x-a_{i}\right)+b_{i}$ ，其中 $\displaystyle q_{i}(x) \in P[x]$ ．
中国人民大学 2026年 第9题
9．（20 分）设实数域上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=O$ ，记
$$
B=A A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{T}} A, C=A+A^{\mathrm{T}}
$$
令 $\displaystyle \operatorname{Ker}(B), \operatorname{Ker}(C), \operatorname{Im}(A)$ 和 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 为如下定义的实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的子空间：
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Ker}(B)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}, \operatorname{Ker}(C)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid C X=0\right\}, \\
& \operatorname{Im}(A)=\left\{A X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\left\{A^{\mathrm{T}} X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\} .
\end{aligned}
$$
证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$ ．
（2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right) \oplus \operatorname{Ker}(B)$ ．
安徽大学 2026年 第二-4题
10．设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实矩阵，且满足
（1） $0 \leq a_{i j} \leq 1, i, j=1,2, \cdots, n$ ．
（2）$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1, i=1,2, \cdots, n$ ．
则对于每一个特征值 $\lambda$ ，都有 $|\lambda| \leq 1$ ．
安徽大学 2026年 第四-4题
19．设 $\alpha$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非零向量，向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足
（1）$\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0,1 \leq i \leq n$ ．
（2）$\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0, i, j=1,2, \cdots, n ; i \neq j$ ．
证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关。
郑州大学 2026年 第一-5题
5．设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，且 $\sigma$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}$ 下的表示矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\sigma$ 的核空间 $\operatorname{Ker} \sigma=$ $\_\_\_\_$。
郑州大学 2026年 第二-2题
2．设 $\mathbb{R}^{4}$ 中，向量组
$$
\alpha_{1}=(1,0,-1,0), \alpha_{2}=(0,0,1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,0,0)
$$
生成的子空间为 $V_{1}$ ．向量组
$$
\beta_{1}=(1,2,-1,2), \beta_{2}=(0,1,-1,0), \beta_{2}=(0,2,1,-1)
$$
生成的子空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的一个基和维数．
郑州大学 2026年 第二-3题
3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为
$$
\varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}}
$$
（1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。
（2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ．
（3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。
太原理工大学 2026年 第4题
4．已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-x_{5}=0 \\
-3 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5}=0 \\
2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}-2 x_{5}=0
\end{array}\right.
$$
向量组
$$
\alpha_{1}=(4,1,1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(8,2,4,3,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(4,7,5,3,0)^{\mathrm{T}} .
$$
（1）求该方程组的一个基础解系．
（2）判断该方程组的解是否都可以由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．
（3）求该方程组的一个基础解系使得其尽可能多的含 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．
太原理工大学 2026年 第5题
5．设实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}=X^{\mathrm{T}} A X
$$
其中 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A$ ．若 $f$ 经过正交线性替换 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+4 y_{2}^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 及 $P$ ．
（2）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 上的最大值，最小值．
（3）$\displaystyle B=x A^{2}+y A+E$ ，若 $B$ 正定，求 $\displaystyle x, y$ 满足的条件．
太原理工大学 2026年 第7题
7．设向量组
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \varepsilon _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 ) , } \\
{ \varepsilon _ { 2 } = ( - 2 , 1 , 0 ) , } \\
{ \varepsilon _ { 3 } = ( 0 , 0 , 1 ) }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\eta_{1}=(1,2,-3) \\
\eta_{2}=(2,2,-1) \\
\eta_{3}=(2,-1,-1)
\end{array}\right.\right.
$$
设线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 满足 $\displaystyle \mathscr{T} \varepsilon_{i}=\eta_{i}, i=1,2,3$ 。
（1）求 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 到 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 的过渡矩阵。
（2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（3）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的矩阵。
（4）是否存在非零 $\displaystyle \xi \in \mathbb{R}^{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T} \xi=\xi$ ？
河北师范大学 2024年 第二题
二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组
电子科技大学 2023年 第1题
1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ．
（1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间；
（2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。
（3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。
电子科技大学 2023年 第4题
4．设 $\displaystyle n(n>1)$ 元实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) A\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right) \text {, 其中 } A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
2 a & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
2 a & 2 a & \cdots & 1
\end{array}\right), a \in \mathbb{R} \text {. }
$$
（1）求 $f$ 在正交线性替换下的标准形（不用写出正交线性替换）；
（2）若二次型 $f$ 正定，求 $a$ 的取值范围．
电子科技大学 2024年 第5题
5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
电子科技大学 2024年 第7题
7．若二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
0 & 2 & -3 \\
1 & -1 & 3
\end{array}\right)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}
$$
将二次型 $f$ 化为标准形．
电子科技大学 2025年 第10题
10．在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 关于标准内积构成的线性空间中，$\displaystyle \alpha=(1,2,1,1), \beta=(-2,0,0,1), V=\operatorname{span}(\alpha, \beta)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间．
（1）求 $V$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的正交补的一组基．
（2）求 $\displaystyle \gamma=(3,4-2,2)$ 在 $V$ 中的正交投影，即求 $\displaystyle \delta \in V$ ，使得 $\displaystyle \|\delta-\gamma\|$ 最小．
电子科技大学 2025年 第2题
2．设 $\displaystyle A, B, C, D, E, F$ 均为 3 阶方阵，且
$$
\left(\begin{array}{ccc}
I_{3} & A & B \\
O & I_{3} & C \\
O & O & I_{3}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
I_{3} & D & F \\
O & I_{3} & E \\
O & O & I_{3}
\end{array}\right)
$$
已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，且 $\displaystyle C=A+B-I$ ，则行列式 $\displaystyle \operatorname{det} F=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .
电子科技大学 2025年 第5题
5．设正交矩阵 $\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=P Y$ 下化为标准型 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，令 $\displaystyle Q=\left(-\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
电子科技大学 2025年 第7题
7．已知向量组（I）：
$$
\alpha_{1}=(1,1,4)^{T}, \alpha_{2}=(1,0,4)^{T}, \alpha_{3}=\left(1,2, a^{2}+3\right)^{T}
$$
向量组（II）：
$$
\beta_{1}=(1,1, a+3)^{T}, \beta_{2}=(0,2,1-a)^{T}, \beta_{3}=\left(1,3, a^{2}+3\right)^{T}
$$
若向量组（I），（II）等价，求 $a$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{3}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 表示．
电子科技大学 2025年 第9题
9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足
$$
\mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}
$$
（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。
（2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。
电子科技大学 2026年 第二-1题
7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ．
（1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ．
（2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．
北京师范大学 2023年 第五-1题
2．证明上述分解唯一。
（专硕）设 $(A, B)$ 是一对 $n$ 阶方阵，现对 $A$ 和 $B$ 同时作相同初等变换，若经过若干这样的初等变换后，$(A, B)$ 化为 $(C, D)$ ，则称矩阵对 $(A, B)$ 与 $(C, D)$ 等价．证明：
若矩阵对 $\left(I_{n}, B\right)$ 和 $\left(I_{n}, D\right)$ 等价，$I_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则矩阵 $B$ 和 $D$ 相似。
北京师范大学 2023年 第七-1题
1．空间直角坐标系下，已知向量 $\vec{\alpha}=(1,0,-1), \vec{\beta}=(1,-2,0), \vec{\gamma}=(-1,2,-1)$ ，则 $(2 \alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta)=$ $\_\_\_\_$
北京师范大学 2023年 第四题
四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。
北京师范大学 2026年 第五题
五．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $G$ ，满足 $\displaystyle A G A=A$ ，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆．若 $A$为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且满足 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}I_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) Q$ ，其中 $\displaystyle P, Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵。证明：$A$ 的全部广义逆可表示为
$$
G=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}
I_{r} & C \\
D & F
\end{array}\right) P^{-1}
$$
其中 $\displaystyle C, D, F$ 分别是任意的 $\displaystyle r \times(m-r),(n-r) \times r,(n-r) \times(m-r)$ 矩阵．
北京师范大学 2026年 第六题
六．（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，若多项式
$$
f_{1}\left(x^{2025}\right)+x f_{2}\left(x^{2025}\right)+x^{2} f_{3}\left(x^{2025}\right)+x^{3} f_{4}\left(x^{2025}\right)
$$
可以被 $\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ 整除，证明：$\displaystyle f_{i}(1)=0(i=1,2,3,4)$ ．
首都师范大学 2026年 第10题
10．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个 $n$ 维线性空间，在 $V$ 上定义一个二元实值函数，记为 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ ，且满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in V, k \in \mathbb{R}$ ，有
（i）$\displaystyle [k \alpha, \beta]=k[\alpha, \beta]$ ．
（ii）$\displaystyle [\alpha+\beta, \gamma]=[\alpha, \gamma]+[\beta, \gamma]$ ．
（iii）$\displaystyle [\alpha, \beta]=-[\beta, \alpha]$ ．
（iv）如果 $\displaystyle [\alpha, \beta]=0$ 对任意的 $\displaystyle \beta \in V$ 成立，则有 $\displaystyle \alpha=0$ ．
此时我们称 $V$ 关于该二元函数构成一个实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $S$ 空间。证明：对于一个 $n$ 为 $S$ 空间 $V$ ，以下结论成立：
（1）$\displaystyle n \neq 1$ ．
（2）对于 $V$ 中的任意非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使得 $\displaystyle [\alpha, \beta]=1$ ．
（3）设 $K$ 为 $V$ 中的由（2）中的 $\displaystyle \alpha, \beta$ 生成的子空间，记
$$
K^{\perp}=\{\gamma \in V \mid[\gamma, \delta]=0, \forall \delta \in K\} .
$$
证明：$\displaystyle K^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=K \oplus K^{\perp}$ ．
（4）证明：$n$ 为偶数（记 $\displaystyle n=2 k$ ），且存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}$ ，使得
$$
\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{-i}\right]=1, \forall 1 \leq i \leq k ;\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right]=0, \forall i, j \in\{ \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm k\} \text {, 并且 } i+j \neq 0 \text {. }
$$
首都师范大学 2026年 第4题
4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．
首都师范大学 2026年 第9题
9．设 $\displaystyle V, W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的两个线性空间，其维数分别为 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W=m, \sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个满射，且满足线性性，即
$$
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} .
$$
记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．
南京信息工程大学 2021年 第二-6题
4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义：
$$
\sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right)
$$
南京信息工程大学 2023年 第二-4题
4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数
南京信息工程大学 2023年 第二-5题
5．设线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\epsilon_{1}=(1,2,1), \epsilon_{2}=(0,1,2)$ 下的矩阵为 A ，线性变换 $\mathscr{B}$ 在 $\omega_{1}=(6,0,1), \omega_{2}=(3,5,6)$ 下的矩阵为 B
（a）求 $\mathscr{A}(\gamma)$ 在 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 下的坐标，其中 $\gamma=(1,1)$
（b）求 $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ 在 $\omega_{1}, \omega_{2}$ 下的矩阵
（c）求 $\mathscr{A} \mathscr{B}$ 在 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 下的矩阵
南京信息工程大学 2025年 第二-3题
3、（16 分）$\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \eta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ，己知 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 可以化成 3 维线性空间，求 $\alpha=\left(\begin{array}{c}18 \\ -18 \\ 18\end{array}\right)$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的坐标．
山东大学 2022年 第一-1题
1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m}
$$
线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．
山东大学 2022年 第一-2题
2．设 $\left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,, 1,1)\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7)\end{array}\right.$ ，求向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}$生成的子空间的交的基与维数．
山东大学 2023年 第一-1题
1．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是一组线性无关的向量，$\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{j}(i=1,2, \cdots, t)$ ，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 线性无关的充要条件是 $\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 t} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \cdots & a_{t t}\end{array}\right| \neq 0$ ．
山东大学 2023年 第一-3题
3．设 $\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}, \alpha_{2}=(1,1,2)^{T}, \alpha_{3}=(1,2,3)^{T}$ ，试证：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一组基，并用两种方法求向量 $\alpha=(6,9,14)^{T}$ 在该组基下的坐标．
山东大学 2023年 第一-9题
9．设欧几里得空间 $V=\mathbb{R}^{4}$ 中的三个向量为 $\alpha_{1}=(1,-1,-1,1), \alpha_{2}=(1,0,-1,1), \alpha_{3}=(0,1,-1,1)$ ，子空间 $W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求向量 $\beta=(2,1,4,2)$ 在 $W$ 上的正交投影．
山东大学 2025年 第1题
1．（15 分）设齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-2,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0\end{array}\right.$ ．
证明：$\displaystyle X_{0}=\left(x_{1_{o}}, x_{2_{o}}, \cdots, X_{n_{o}}\right)^{T}$ 为该方程组的解，其中
$$
\begin{aligned}
& x_{1_{o}}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& x_{2_{o}}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& , \cdots, x_{n_{o}}=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$
且若 $\displaystyle \mathbf{X}_{0} \neq 0$ ，则方程组的任一解可以表示为 $\displaystyle k \mathbf{X}_{0}$ ，其中 $k$ 为常数．
山东大学 2026年 第5题
5．设 $V$ 是欧式空间，向量 $\displaystyle a \in V$ ，向量 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n} \in V$ ，满足：$\displaystyle \left(a, a_{i}\right)>0 ;\left(a_{i}, a_{j}\right) \leq 0(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}$ 线性无关。
山东大学 2026年 第6题
6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵
（2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$
常微分方程部分
西安电子科技大学 2026年 第二-1题
7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ．
（1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ．
（2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．
上海理工大学 2025年 第9题
9．已知 $A$ 是正定矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}, \beta$ 是 $n$ 维欧式空间中的 $\displaystyle n+1$ 个向量，满足：
（1）$\displaystyle \alpha_{i} \neq 0 \quad i=1,2, \cdots, n$
（2）$\displaystyle \alpha_{i}^{T} A \alpha_{j}=0$ 对于所有 $\displaystyle i \neq j$
（3）$\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \alpha_{i}$ 正交 $\displaystyle \quad i=1,2, \cdots, n$
求 $\displaystyle \beta$
上海理工大学 2025年 第5题
5.
（1）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 时，求该二次型的最大值。
（2）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中： $\displaystyle \bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ ，求此二次型的矩阵和秩
厦门大学 2020年 第一-6题
6．设 $F$ 是数域，
$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\
& V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\}
\end{aligned}
$$
则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。
厦门大学 2021年 第1题
1．填空题
（1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足
$$
\sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} .
$$
则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式．
（8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
厦门大学 2021年 第3题
3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。
厦门大学 2022年 第一-4题
4．$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi, w$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩陈分别为 $A, B$ ，X知 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$到 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $P$ ，则 $\varphi \psi+2 \varphi^{3}-\mathrm{id}_{V}$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
厦门大学 2022年 第三题
三．设 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{T}(i=1,2, \cdots, r ; r \leq n)$ ，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，$\displaystyle \beta$ 为齐次线性方程组
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．
厦门大学 2023年 第一-9题
9．$\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 是 $n$ 维欧式空间的非零正交向量组，$\left(\beta_{i}, \alpha_{j}\right)=0(i=1,2 ; j=1, \cdots, n-1)$
则 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 必定？（选择线性无关或者线性相关）（线性相关）
厦门大学 2024年 第一-2题
2．$A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \eta\right)$ ，
$2 \alpha_{1}+\alpha_{2}=0, m \alpha_{1}+n \alpha_{2}+k \alpha_{3}=0$ $\_\_\_\_$
$m, n, k$ ？），则 $\operatorname{rank} A^{\star}=$ $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］
厦门大学 2026年 第一-1题
1．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块为 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right), \operatorname{det}(A)=1$ ，令
$$
B=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}, 2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \cdots,(n-1) \alpha_{n-1}-\alpha_{n}, n \alpha_{n}-\alpha_{1}\right) .
$$
求 $\operatorname{det}(B)=$ $\_\_\_\_$ ．
厦门大学 2026年 第一-3题
3．向量 $\alpha_{1}=(a, 1,-1,1), \alpha_{2}=(1,1, b, a), \alpha_{3}=(1, a, 1,-1)$ ．当 $a=$ $\_\_\_\_$时，对任意 $b$ 都使得向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 2 。
厦门大学 2026年 第六题
六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足
$$
\varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n}
$$
证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．
合肥工业大学 2024年 第7题
7．设数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，已知 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \beta$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}$ ．
（1）求 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数．
（2）证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
合肥工业大学 2025年 第7题
7、已知 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设 $\displaystyle M \in P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle A=f(M), B=g(M)$ 且设 $\displaystyle w, w_{1}, w_{2}$ 分别为 $\displaystyle A B x=0, A x=0, B x=0$ 的解空间，试证明 $\displaystyle w=w_{1} \otimes w_{2}$ ．
合肥工业大学 2025年 第8题
8、设 $V$ 是 $C$ 上的 2 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $V$ 的一组基，线性变换中将 $C$ 降维到 $R$ ， $V$ 可视为 $R$ 上的线性空间记为 $\displaystyle V_{R}$ ，记 $\displaystyle \mathscr{N}_{R}$ 为 $\displaystyle \propto \mid V_{R}$ 上的线性变换．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基．
（2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。
华东师范大学 2014年 第4题
4．（20 分）设 $V$ 是数域（ $\displaystyle \mathbb{K}$ ）上的 4 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基。若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为准对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，试求所有 $\displaystyle \mathscr{A}$－不变子空间。
华东师范大学 2014年 第6题
6．（20 分）设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧式空间，$\displaystyle e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是一组基，满足内积 $\displaystyle \left(e_{i}, e_{j}\right) \leqslant 0(i \neq j)$ 。
（1）．证明：存在一个非零向量 $\displaystyle v \in V$ ，满足 $\displaystyle \left(e_{i}, v\right) \geqslant 0, \forall i$ ．
（2）．假设 $\displaystyle v=a_{1} e_{1}+\cdots+a_{n} e_{n} \in V$ 是任何满足（1）的向量，证明：$\displaystyle a_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n$ ．
（3）．设 $\displaystyle u=b_{1} e_{1}+\cdots+b_{n} e_{n} \in V$ 是另一个满足（1）的向量，并定义 $\displaystyle w=c_{1} e_{1}+\cdots+c_{n} e_{n} \in V$ ，其中
$$
c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}, i=1,2, \cdots, n,
$$
证明：向量 $w$ 也满足（1）。
华东师范大学 2014年 第9题
9．（15 分）设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶非零矩阵，
$$
A_{i}^{2}=A_{i}(i=1,2, \cdots, n), A_{i} A_{j}=0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) .
$$
（1）．证明：$\displaystyle A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 都可以对角化；
（2）．求数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{1} P, P^{-1} A_{2} P, \cdots, P^{-1} A_{n} P$ 为对角矩阵。
华东师范大学 2015年 第8题
8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ，
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换，
（2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．
华东师范大学 2016年 第5题
5．（20 分）设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$X$ 是一个集合．已知存在一个双射 $\displaystyle \varphi: X \rightarrow V$ ．先在 $X$上定义加法和数乘运算如下：
$$
\begin{aligned}
& x \oplus y=\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y)), \quad \forall x, y \in X, \\
& x \circ y=\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)), \quad \forall \lambda \in K, x \in X .
\end{aligned}
$$
验证 $X$ 关于上述定义的加法与数乘构成 $K$ 上的一个线性空间，并且 $\displaystyle \varphi$ 是线性空间之间的一个同构。
华东师范大学 2016年 第8题
8．（20 分）已知实矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{1} & b_{1} & & & \\
c_{1} & a_{2} & b_{2} & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_{n}
\end{array}\right)
$$
满足 $\displaystyle b_{i} c_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．求证：$A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值．
（提示：先考虑 $\displaystyle b_{i}=c_{i}(i=1,2, \cdots, n-1)$ 的特殊情况；对一般情形，试找出一个实对角可逆矩阵 $D$ 使得 $\displaystyle D^{-1} A D$ 符合该特殊情形。）
华东师范大学 2018年 第5题
5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\
-1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\
1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6
\end{array}\right)
$$
（2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\
\operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) .
\end{aligned}
$$
现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。
（3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证：
$$
V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)),
$$
这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。
华东师范大学 2018年 第7题
7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义
$$
f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A
$$
（1）．证明：$f$ 是一个线性映射；
（2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基；
（3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩；
（4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．
华东师范大学 2018年 第8题
8．（20 分）设 $\displaystyle M_{k, n}$ 是所有 $\displaystyle k \times n$ 阶复矩阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{-}$是所有 $k$ 阶下三角幂么方阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{+}$是所有 $n$ 阶上三角幂么方阵的集合。这里的幂么矩阵是指对角线上全为 1 的上三角或下三角。在 $\displaystyle M_{k, n}$ 中定义如下关系
$$
A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. }
$$
（1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。
（2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。
华东师范大学 2018年 第9题
9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ．
（1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ．
（2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．
华东师范大学 2020年 第2题
2．（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ ，是线性空间 $V$ 中的 $\displaystyle 2 n$ 个向量．已知对任意的 $\displaystyle 1 \leqslant k \leqslant n$ 以及 $\displaystyle 1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n, \alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \ldots, \alpha_{i_{k}}$ 线性相关当且仅当 $\displaystyle \beta_{i_{1}}, \beta_{i_{2}}, \ldots, \beta_{i_{k}}$ 线性相关。求证向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 的秩与向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ 的秩相同。
华东师范大学 2020年 第4题
4．（25 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{3}{4} & \frac{7}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{7}{2}\end{array}\right)$ ．
（1）．求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 是对角矩阵。
（2）．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{7}{4} x_{1}^{2}+\frac{7}{4} x_{2}^{2}+\frac{7}{2} x_{3}^{2}-\frac{3}{2} x_{1} x_{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} x_{2} x_{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} x_{1} x_{3}$ 在单位球面 $\displaystyle S^{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in\right. \left.\mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ 上能取到的最大值，并求出能取到该最大值的所有 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ．
华东师范大学 2020年 第6题
6．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，令 $\displaystyle L(A, B)=\left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A X B=0\right\}$ 。
（1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间．
（2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。
华东师范大学 2020年 第7题
7．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是二阶复方阵，且 $\displaystyle A, B, C$ 在 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 中线性无关。求证：存在复数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$使得 $\displaystyle x_{1} A+x_{2} B+x_{3} C$ 是可逆矩阵。
华东师范大学 2022年 第9题
9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ．
（b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
A_{1} & A_{2} \\
A_{2}^{\top} & A_{4}
\end{array}\right),
$$
其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ．
（c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得
$$
P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc}
I_{r} & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}
$$
华东师范大学 2023年 第1题
1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合
$$
M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} .
$$
已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1
外其余元素均为 0 的二阶方阵。设
$$
B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}
$$
（1）证明：如下映射为线性映射．
$$
\begin{aligned}
\varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\
X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X
\end{aligned}
$$
（2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵；
（3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基；
（4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．
华东师范大学 2023年 第2题
2．已知 $\displaystyle \mathscr{A}: U \rightarrow U$ 是西空间 $U$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (v, \mathscr{A}(v)) \in \mathbb{R}, \forall v \in U$ 。证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 Hermite 变换，即 $\displaystyle (\mathscr{A}(v), w)=(v, \mathscr{A}(w)), \forall v, w \in U$ 。
华东师范大学 2023年 第3题
3．考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,3,1,-1), \alpha_{2}=(2,3,2,1), \beta_{1}=(3,-1,-3,-5), \beta_{2}= (2,-1,0,1)$ ，设 $\displaystyle W_{1}$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空问，$\displaystyle W_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，则 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$
华东师范大学 2025年 第一-5题
5、考虑欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中向量 $\alpha=(1,1,1), \beta=(1,0,1), \gamma=(0,1,1)$ ，设 $t, s$ 是使得 $|\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}-s \mathbf{\gamma}|$ 达到最小的实数，那么向量 $\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}-s \mathbf{\gamma}$ 的夹角余弦值为 $\_\_\_\_$。
华东师范大学 2025年 第二-4题
14、设 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是正惯性指数为 1 的实对称矩阵，$V$ 是实数域上 $n$ 维列向量空间，定义 $V$ 上的双线性型：$f(u, v)=u^{T} A u,(\forall u, v \in V)$ ．设 $u \in V$ 满足：$f(u, v)>0$ ，证明：对 $\forall v \in V$ ，有 $f(u, u) f(v, v) \leq f^{2}(u, v)$ ，等号成立时，当且仅当 $\exists r \in \mathbb{R}$ ，使得 $f(w, v)=f(w, r u),(\forall w \in V)$ ．
华东师范大学 2025年 第二-5题
15、设复数域上全体二元二次型构成集合 $V$ ：
$$
V=\left\{q(x, y)=c_{0} x^{2}+c_{1} x y+c_{2} y^{2} \mid c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{C}\right\}
$$
给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，考虑 $V$ 上的线性变换：
$$
\varphi_{M}: V \mapsto V, q(x, y) \mapsto q(a x+b y, c x+d y)
$$
（1）证明： $\operatorname{det} M$ 是 $\varphi_{M}$ 特征值，当 $M=\left(\begin{array}{cc}\mu & 1 \\ 0 & \mu\end{array}\right), \mu \in \mathbb{C}$ ，计算 $\varphi_{M}$ 属于特征值 $\operatorname{det} M$ 的所有特征向量。
（2）证明：$\varphi_{M}$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化．
华东师范大学 2026年 第一-4题
4．一个关于未知数 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{\mathrm{T}}$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $(-1,7,1,-6,-3)^{\mathrm{T}}$张成的线性子空间，那么在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 中，主变元是 $\_\_\_\_$ ．
华东师范大学 2026年 第二-2题
12．设 $V$ 是区间 $[-1,1]$ 上所有实值连续函数构成的线性空间，定义
$$
(f, g):=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) \mathrm{d} t, \forall f(t), g(t) \in V
$$
设 $W \subset V$ 是由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 张成的线性子空间．
（1）利用 Gram－Schmidt 正交化，由 $\left\{1, t, t^{2}\right\}$ 构造出 $W$ 的一组规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$ ．
（2）设 $f(t)=e^{t} \in V$ ，求 $f(t)$ 在 $W$ 上的正交投影 $f_{W}(t)$ ，并用（1）中的规范正交基 $\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}$表示 $f_{W}(t)$ ．
华东师范大学 2026年 第二-4题
14．设 $V$ 是 $n \geq 2$ 维欧几里得空间，$v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 是 $v_{i}$ 与 $v_{j}$的内积．
（1）证明：$A$ 是半正定矩阵．
（2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。
（3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。
新疆大学 2026年 第5题
5．（10 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,0,0), \alpha_{2}=(4,1,4,0), \alpha_{3}=(1,0,2,0), \alpha_{4}$ 是一个非零的 4 维向量，证明：若向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示，则向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性相关．
东南大学 2021年 第4题
4．已知 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle h(x), f(x), g(x) \in P[x]$ 满足 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle W=\operatorname{Ker} h(\mathscr{A}), W_{1}=\operatorname{Ker} f(\mathscr{A}), W_{2}=\operatorname{Ker} g(\mathscr{A})$ ．
（1）证明 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 均为 $W$ 的子空间；
（2）证明 $\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
东南大学 2021年 第8题
8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．
东南大学 2024年 第1题
1．（20分）设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 4 维列向量构成的向量空间．
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
a
\end{array}\right) .
$$
若 $V$ 的子空间 $\displaystyle V_{1}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in P\right\}, V_{2}=\left\{l_{1} \beta_{1}+l_{2} \beta_{2} \mid l_{1}, l_{2} \in\right.$
（1）参数 $a$ 满足什么条件时，$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和？
（2）若 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 不是直和，分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基．
东南大学 2024年 第2题
2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。
东南大学 2024年 第7题
7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得
$$
\beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n}
$$
南京理工大学 2023年 第九题
九．（20 分）在数域 $P$ 上的线性空间 $\displaystyle P[x]_{3}=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2} \in P\right\}$ 上定义
$$
f_{t}: P[x]_{3} \rightarrow P, p(x) \mapsto p(t)
$$
其中 $\displaystyle t=0,-1,1$ ．
（1）证明：$\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是对偶空间 $\displaystyle L\left(P[x]_{3}, P\right)$ 的一组基；
（2）求 $\displaystyle P[x]_{3}$ 的一组基 $\displaystyle p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)$ ，使得 $\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是它的对偶基．
南京理工大学 2023年 第四题
四．（12分）在线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中定义
$$
\mathscr{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, X \mapsto\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right) X-X\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）记 $\displaystyle E_{i j}(i, j=1,2)$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 其余元素为 0 的二阶方阵，求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩与零度．
南京理工大学 2024年 第一-7题
7．在几何空间中，设 $O-x y z$ 为一直角坐标系， $\mathscr{A}$ 表示将空间绕 $O x$ 轴，由 $O y$ 轴向 $O z$ 轴旋转 $90^{\circ}$的线性变换，则 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
南京理工大学 2024年 第七题
七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数
$$
\varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V
$$
（1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。
（2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．
南京理工大学 2024年 第五题
五．（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,3), \alpha_{2}=(1,0,1)$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle \beta_{1}=(-1,2, t), \beta_{2}=(4,1,5)$ 生成的子空间．若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $t$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 写成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的线性组合．
南京理工大学 2025年 第五题
五．求 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,0), \alpha_{2}=(0,1,0), \alpha_{3}=(1,0,-1)$ 的对偶基 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, f_{3}$ ．
南京理工大学 2026年 第一-3题
3．三条直线 $a_{i} x+b_{i} y+c_{i}=0$ 满足 $a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \neq 0$ ，记 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, a_{2}\right), \beta=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \gamma=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ ，则三条直线相交于一点的充要条件是 $\_\_\_\_$ ．
A．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关．
B．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，$\alpha, \beta$ 线性无关．
C．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关．
D．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，且任意两个都线性无关．
江南大学 2024年 第3题
3．$\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,1,1)^{\prime}, \quad \alpha_{2}=(0,1,-1,-1,1)^{T}, \quad \alpha_{3}=(1,-1,3,3,-1)^{T}, \quad \alpha_{4}=(3,3 .-2,-4,2)^{\prime}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}=(5,2,1,1,1)^{T}, \quad \alpha_{6}=(-4,-2,-1,1,-1)^{t}$
（1）求 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩和一极大线性无关组；（8 分）
（2）$\displaystyle \alpha_{6}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性表出．（7分）
江南大学 2024年 第8题
8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标．
（3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$
江南大学 2026年 第6题
6、设 $A$ 为数域 $k$ 中的矩阵，其中以 $A$ 为根的多项式，次数最小，首项系数为 1的多项式为最小多项式，设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{n}$ 为 $k$ 中的矩阵，它们的最小多项式两两
互素，有 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)$ 为多项式，证明：存在一个多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使
$$
f\left(A_{i}\right)=f_{i}\left(A_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n .
$$
江南大学 2026年 第8题
8、设数域 $\displaystyle K, M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义在 $K$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma: \sigma(x)=M X-X M$ ，
$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0, x_{i} \in K, i=1,2,3,4\right\} .
$$
是数域 $k$ 的子空间．
（1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma \mid W$ 是线性变换在 $W$ 的上的限制．
江南大学 2026年 第9题
9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即
$$
J(0, n)=\left(\begin{array}{llll}
0 & & & \\
1 & 0 & & \\
& 1 & & 0 \\
& & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$
证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．
华南师范大学 2026年 第10题
10．（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \sigma, M_{n}(\mathbb{F})$ 表示次数不大于 $n$ 的多项式。 $\displaystyle \forall f(x) \in M_{n}(\mathbb{F}), \sigma(f(x))=f(x+1)-f(x)$ ．
（1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标．
（2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．
华南师范大学 2026年 第11题
11．（15 分）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ -b & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1+a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & 1+a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{2} b_{n} & \cdots & 1+a_{n} b_{n}\end{array}\right], \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T}, \beta= \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{T}$.
（1）证明 $\displaystyle |A|=1+\beta \alpha^{T}$
（2）$B$ 可逆当且仅当 $\displaystyle \beta \alpha^{T} \neq-1$
（3）$B$ 可逆，求 $B$ 的逆矩阵。
华南师范大学 2026年 第12题
12．（15 分）
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ．
（2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换．
（3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．
华南师范大学 2026年 第3题
3．（5 分）实数域上秩为 $n$ 的 $n$ 元二次型 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 与 $\displaystyle -q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 等价，其中 $n$ 是偶数，则 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 的正惯性指数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
华南师范大学 2026年 第6题
6．（5 分）已知向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}\right\}$ 的秩分别为 $\displaystyle 3,3,4$ ，则向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}-\right. \left.\alpha_{5}\right\}$ 的秩是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
华南师范大学 2026年 第8题
8．（15分）设 3 阶方阵 $A$ 的 3 个特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ 对应的特征向量 $\displaystyle \xi_{1}=(1,1,1)^{T}, \xi_{2}=(1,2,4)^{T}, \xi_{3}= (1,3,9)^{T}$ ，向量 $\displaystyle \beta=(1,1,3)^{T}$ ．求 $\displaystyle A^{n} \beta$ ，其中 $n$ 是一个正整数．
南昌大学 2024年 第3题
3．设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ，且方程组满足
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
的解满足 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解，记 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．
南昌大学 2024年 第7题
7．设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1} x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+t x_{2} x_{3}$ ，问：
（1）当 $t$ 为何值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 正定；
（2）当 $\displaystyle t=1$ 时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 对应矩阵 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ ．
南昌大学 2025年 第3题
3．（15 分）已知方程组（I）：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}7 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}=b \\ 8 x_{1}-9 x_{2}+a x_{4}=7\end{array}\right.$ ，方程组（II）的通解为 $\displaystyle (1,1,0,0)^{T}+t_{1}(1,0,-1,0)^{T}+t_{2}(2,3,0,1)^{T}$ ，若方程组 $\displaystyle (I)$ 与方程组 （II）有无穷多公共解，求 $\displaystyle a, b$ 的值与公共解．
南京航空航天大学 2022年 第二-4题
1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．
南京航空航天大学 2023年 第三题
三．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \alpha_{2}=(-2, \alpha, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, \alpha,-2)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \beta_{2}=(1, \alpha, 1)^{T}, \beta_{3}=(\alpha, 1,1)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间．
（1）若 $\displaystyle V_{2}$ 的维数为 1 ，求 $\displaystyle \alpha$ 的值；
（2）若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围；
（3）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 维数的取值范围．
南京航空航天大学 2023年 第四题
四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且
$$
\sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} .
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ；
（2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值；
（3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．
南京航空航天大学 2024年 第2题
2．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由
$$
\alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(-2, a, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, a,-2)^{T}
$$
生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由
$$
\beta_{1}=(1,1, a)^{T}, \beta_{2}=(1, a, 1)^{T}, \beta_{3}=(a, 1,1)^{T}
$$
生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间．
（1）若 $\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ ，求 $a$ 的范围．
（2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ ．
南京航空航天大学 2024年 第3题
3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ．
（1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值．
（2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．
南京航空航天大学 2024年 第4题
4．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位列向量且相互正交，实二次型 $\displaystyle f(X)=2\left(\alpha^{T} X\right)^{2}+\left(\beta^{T} X\right)^{2}$ 的矩阵为 $A$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．证明：
（1）存在正交矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle U^{T} A U$ 为对角形 $\displaystyle \operatorname{diag}\{2,1,0\}$ ．
（2）是否存在唯一的半正定矩阵 $S$ 使得 $\displaystyle A=S^{2}$ ？请说明理由．
广西民族大学 2007年 第二题
二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。
广西民族大学 2007年 第六题
六、（15 分）设有向量组 $\displaystyle a_{1}=(1,0,2,1), a_{2}=(2,0,1,-1), a_{3}=(3,0,3,0), b_{1}=(1,1,0,1), b_{2}=(4,1,3,1)$ ，令 $\displaystyle V_{1}=L\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), V_{2}=L\left(b_{1}, b_{2}\right)$ 。求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数，并求一组基。
广西民族大学 2008年 第七题
七（20分）、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩阵为
$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & 2 & 1 & -2
\end{array}\right)
$$
求
（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵
（2）求线性变换 f 的核和值域
广西民族大学 2008年 第六题
六（15 分）、求由向量 $\displaystyle \alpha_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间的交的基和维数，设
$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\
\alpha_{2}=(-1,1,1,1)
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\
\beta_{2}=(1,-1,3,7)
\end{array}\right.\right.
$$
广西民族大学 2009年 第八题
八、设 $\displaystyle A=\left(a_{i, j}\right)_{n \times n}$ ，满足 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i, j}=0, \forall i=1,2, \cdots, n$ ，证明 $\displaystyle A_{n 1}=A_{n 2}=\cdots=A_{n n}, A_{n j}$ 为 $\displaystyle a_{n j}$ 的代数余子式。（20分）
广西民族大学 2010年 第3题
3．（15 分）已知 $\displaystyle \eta_{1}=(-1,0,2), \eta_{2}=(0,1,1), \eta_{3}=(3,-1,0)$ 。 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle P^{3}$ 中的线性变换，且 $\displaystyle \mathbf{A} \eta_{1}=(-5,0,3), \mathbf{A} \eta_{2}=(0,-1,6), \mathbf{A} \eta_{3}=(-5,-1,9)$ 。求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0)$ ， $\displaystyle \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵。
广西民族大学 2010年 第9题
9．（15分）设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩
阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，
求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵
（2）求线性变换 f 的核和值域。
广西民族大学 2011年 第二题
二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{l}0 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，问 $\displaystyle \lambda$ 为何值时：（1）$\displaystyle \alpha_{4}$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出；（2）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$唯一线性表出（3）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 不唯一线性表出（25分）
广西民族大学 2012年 第五题
五、（15 分）已则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 个四维欧氏空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{4}$ 中线性无关的向量，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbf{R}^{4}$ 且与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$均正交，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．
广西民族大学 2013年 第五题
五、（20分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）求 $W$ 的一组标准正交基；
（2）求 $\displaystyle W^{-}$的一组标准正交基；
（3）若 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在 $W$ 中的内射影（即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ），并求 $\displaystyle \alpha$到 $W$ 的距离 $\displaystyle \operatorname{dist}(\alpha, W)$ ．
广西民族大学 2014年 第八题
八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．
广西民族大学 2014年 第四题
四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．
广西民族大学 2015年 第七题
七、（本题15分）设 $V$ 为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上全体实函数构成的实向量空间，$\displaystyle f_{1}, \cdots, f_{n} \in V$ ，则 $\displaystyle f_{1}, \cdots, f_{n}$ 线性无关的充要条件是存在 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{n} \in[a, b]$ 使得行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(f_{i}\left(a_{j}\right)\right) \neq 0$ ．
广西民族大学 2015年 第三题
三、（本题20分）已知3维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求（I）到（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（3）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为： $\displaystyle \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（I）、（II）的矩阵。
广西民族大学 2017年 第五题
五、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，而 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta, \gamma$ 线性相关，证明：或者 $\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \gamma$ 中至少有一个可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表示，或者向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \gamma\right\}$ 等价。
广西民族大学 2017年 第八题
八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 $\displaystyle \xi, \eta$ ，有不等式： $\displaystyle (\xi, \eta)^{2} \leq(\xi, \xi)(\eta, \eta)$ ，当且仅当 $\displaystyle \xi$ 与 $\displaystyle \eta$ 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件：$\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ 和 $\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$ 都是 $\displaystyle \leq 0$ 的整数．证明：$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角只可能是 $\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{2}{3} \pi, \frac{3}{4} \pi$ 或 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ ．
广西民族大学 2017年 第六题
六、（20 分）证明：$\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 是 $\displaystyle F_{3}[x]$（数域 $F$ 上一切次数 $\displaystyle \leq 3$ 的多项式及零）的一个基．求多项式 $\displaystyle x^{2}+2 x+3$ 关于这个基 $\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 的坐标．
广西民族大学 2018年 第七题
七、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,3,1), \alpha_{2}=(1,2,0,1), \alpha_{3}=(-1,1,-3,0), \alpha_{4}=(1,1,1,1)$ ，（1）求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大线性无关组；（2）求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 生成的子空间的基与维数。八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \beta_{1}=(2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7)$ ，求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间的交的基与维数。
广西民族大学 2018年 第三题
三、（ 15 分）设向量 $\displaystyle \beta=(1,2,11), \alpha_{1}=(1,1,1,1), \alpha_{2}=(1,1,-1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,1,-1)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)$ ，把 $\displaystyle \beta$ 表成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的线性组合。
广西民族大学 2018年 第四题
四、（15 分）设 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{r}$ 是互不相同的数，$\displaystyle r \leq n, a_{i}=\left(1, t_{i}, \cdots, t_{i}^{n-1}\right), i=1,2, \cdots, r$ ，证明：向量组 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ 是线性无关的．
广西民族大学 2019年 第七题
七、（15 分）
已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下：
$$
\begin{gathered}
\Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\},
\end{gathered}
$$
（1）求 $W$ 的一个基；
（2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。
广西民族大学 2019年 第二题
二、（15分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \in \mathbf{R}$ ，记 $\displaystyle a_{i j}=\sin \left(\alpha_{i}+\alpha_{j}\right), i, j=1, \cdots, n$ ，定义矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，试对 $\displaystyle n=2$ 时计算行列式 $\displaystyle |A|$ 的值；当 $\displaystyle n \geq 3$ 时结果如何？
广西民族大学 2019年 第五题
五、（20分）
已知3维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ；
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标；
（2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。
广西民族大学 2020年 第八题
八、（20分）
已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设
$$
\alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}
$$
（1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基；
（2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．
广西民族大学 2020年 第六题
六、（15 分）
设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 3 个互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 分别是 $A$ 属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$的特征向量，证明：$\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ 不是 $A$ 的特征向量．
广西民族大学 2020年 第四题
四、（15分）
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
广西民族大学 2021年 第三题
三、（15 分）
已知实数域上的 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$, 满足 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，
证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．
广西民族大学 2021年 第五题
五、（15 分）
已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基：
（I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$
（II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{3}\right\}$
（1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵；
（2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (2,2,5)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。
广西民族大学 2021年 第四题
四、（15分）
设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}$ ，证明 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的秩等于下列矩阵 $A$ 的秩
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{array}\right] .
$$
广西民族大学 2022年 第七题
七、（15分）
在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) \mid a_{i} \in R\right\}$ 中，其内积定义为
$$
\left\langle\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{4} a_{i} b_{i}
$$
令 $\displaystyle \gamma_{1}=(1,0,0,0), \gamma_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle \gamma_{3}, \gamma_{4} \in R^{4}$ ，使得 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 为 $\displaystyle R^{4}$ 的标准正交基。
广西民族大学 2022年 第五题
五、（15 分）
设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。
证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。
广西民族大学 2022年 第六题
六、（15分）
设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足
$$
A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3}
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征值；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。
广西民族大学 2022年 第十题
十、（15 分）
已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中
$$
A_{1}=U\left[\begin{array}{ll}
T & S \\
0 & 0
\end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & N
\end{array}\right] U^{H},
$$
$\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。
（1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩；
（2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解；
（3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。
广西民族大学 2023年 第七题
七、（15 分）
设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且
$$
\sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} .
$$
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换；
（2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。
广西民族大学 2023年 第九题
九、（15 分）
设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而
$$
\begin{aligned}
& f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\
& f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4},
\end{aligned}
$$
求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．
广西民族大学 2023年 第八题
八、（15 分）
设 $R$ 是实数域，集合
$$
V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & a & b \\
0 & 0 & a
\end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c \in R\right\} .
$$
（1）证明：$V$ 是 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个线性子空间；
（2）对任意 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{1}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 0 & b_{1} & b_{2} \\ 0 & 0 & b_{1}\end{array}\right] \in V$ ，定义二元函数
$$
(A, B)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3},
$$
则 $V$ 是一个欧式空间．
广西民族大学 2023年 第六题
六、（15 分）
已知向量空间
$$
V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\},
$$
（1）求 $V$ 的一组基和维数；
（2）求 $V$ 的一组标准正交基．
广西民族大学 2023年 第十题
十、（15 分）
已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间
$$
W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} .
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为
$$
(A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right),
$$
$\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ．
（1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基；
（2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间；
（3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换；
（4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。
广西民族大学 2024年 第七题
七、（15分）
已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换：
$$
\sigma(X)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-2 & 0
\end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right),
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．
广西民族大学 2024年 第五题
五、（15 分）
已知二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t x_{1}^{2}+t x_{2}^{2}+t x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3},
$$
（1）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是正定的；
（2）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是负定的．
广西民族大学 2024年 第六题
六、（15 分）
已知集合
$$
W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\},
$$
（1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．
广西民族大学 2024年 第十题
十、（15 分）
已知
$$
\begin{array}{lll}
\alpha_{1}=(1,2,1,-2), & \alpha_{2}=(2,3,1,0), & \alpha_{3}=(1,2,2,-3), \\
\beta_{1}=(1,1,1,1), & \beta_{2}=(1,0,1,-1), & \beta_{3}=(1,3,0,-4),
\end{array}
$$
（1）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)+L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数；
（2）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \cap L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数。
广西民族大学 2025年 第七题
七、（15 分）
设 $\displaystyle R^{2}$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma_{1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \sigma_{1}+\sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \sigma_{1} \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵；
（3）设 $\displaystyle \xi=(3,3)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\displaystyle \sigma_{1}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标；
（4）求 $\displaystyle \sigma_{2}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标．
广西民族大学 2025年 第三题
三、（15 分）
已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0, \tag{1}\\
2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=0, \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=0,
\end{array}\right.
$$
和
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0 \tag{2}\\
2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
同解，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值，同时求出方程组（2）的全部解．
广西民族大学 2025年 第九题
九、（15 分）
（1）已知
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right),
$$
是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵；
（2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记
$$
V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\},
$$
$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
大连理工大学 2023年 第二-6题
6．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的 $\mathscr{A}-$ 子空间，已知 $\mathscr{A}$ 有 $k$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ ，相应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{k}$ ，证明：若 $\xi_{1}+\xi_{2}+\cdots+\xi_{k} \in W$ ，则 $\operatorname{dim} W \geq k$ ．
大连理工大学 2023年 第三-1题
1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量．
（1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ；
（2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ；
（3）证明：$f$ 是正定二次型．
大连理工大学 2024年 第一-1题
1．已知 $\alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \alpha_{3}=(0,3,2,1), V_{1}$ 是由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的空间，$\beta= (2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7), V_{2}$ 是由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的空间．求 $V_{1}+V_{2}$ 及 $V_{1} \cap V_{2}$ 的维数与基．
大连理工大学 2024年 第二-2题
2．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为矩阵 $A_{n \times n}$ 的 $n$ 个列向量，$\beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，并且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关．证明：线性方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解．
大连理工大学 2024年 第三-1题
1．已知 $X, Y$ 为三维列向量，$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵．
（1）（10 分）对任意的实数 $a$ ，证明：$\left|\begin{array}{cc}a & X^{T} \\ Y & A\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ ．
（2）（10 分）已知 $A$ 的所有特征值的和为 $1, A$ 的所有特征值的积为 -12 ，并且 $(1,0,-2)^{T}$ 为 $\left(A^{*}-4 E\right) X=0$ 的解．对于下列四元二次型，用正交替换化为标准形．
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
-x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
-x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
-x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
$$
大连理工大学 2024年 第三-2题
2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足
$$
A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0
$$
证明：
（1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关．
（2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量．
（3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？
大连理工大学 2025年 第三-2题
2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间．
（1）若 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，证明：在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathscr{A}\left(\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}\right)$ ，使得
$$
V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A} .
$$
（2）设
$$
\begin{gathered}
V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}, \\
V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}\right\} .
\end{gathered}
$$
证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ，并求 $P^{n}$ 上的幂等变换 $\mathscr{A}$ ，使得 $V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．
中国科学技术大学 2026年 第一-10题
10．在欧氏空间中，向量 $d_{1}=(1,1,1,-1), d_{2}=(2,0,-2,0)$ 张成的子空间为 $V$ ，求向量 $\beta=(1,-1,1,0)$在 $V$ 上的投影向量 $\_\_\_\_$ ．
天津大学 2026年 第1题
1．称 $\displaystyle f \in \mathbb{R}\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]$ 为反对称多项式，如果对 $\displaystyle [1,2, \cdots, n]$ 的任意置换 $\displaystyle \sigma$ ，均有
$$
f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)=\varepsilon_{\sigma} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
$$
其中 $\displaystyle \varepsilon_{\sigma}$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的符号。令 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为反对称多项式．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle i \neq j$ ，有 $\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right) \mid f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \Delta=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$ 为反对称多项式．
（3）存在对称多项式 $g$ ，使得 $\displaystyle f=g \Delta$ ．
天津大学 2026年 第4题
4．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $n$ 个向量，若 $V$ 中任一向量均可由 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 线性表出，证明：$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基．
河南大学 2026年 第3题
3．设 $\displaystyle \alpha_{1}=(a, 2,0)^{T}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{T}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{T}, \beta=(1, b, c)^{T}$ ，对 $\displaystyle a, b, c$ 进行讨论完成下列问题：
（1）$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且表示唯一；
（2）$\displaystyle \beta$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出；
（3）$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出但表示不唯一并求其表达式．
河南大学 2026年 第5题
5．设
$$
\left.\begin{array}{l}
S_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \\
S_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right\}\right.\right.
\end{array}\right\}{ }{ } \left\lvert\, \begin{aligned}
& \\
&
\end{aligned}\right.
$$
求 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$ 和 $\displaystyle S_{1} \cap S_{2}$ 的一组基和维数．
吉林大学 2026年 第三题
三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明：
$$
\left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right]
$$
陕西师范大学 2022年 第3题
3．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right), i=1,2, \cdots, s ; \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
的解全是方程 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解的充分必要条件是 $\displaystyle \beta$ 可被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．
陕西师范大学 2022年 第6题
6．（20 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B, C, D$ 两两可交换，且满足 $\displaystyle A C+B D=I$ ，方程组
$$
A B X=0, A X=0, B X=0
$$
的解空问分别为 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
陕西师范大学 2022年 第7题
7．（20 分）已知 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空问 $V$ 的一些子空问，证明下列命题等价：
（1）$\displaystyle W=\sum_{i=1}^{s} V_{i}$ 是直和；
（2）零向量的分解式唯一；
（3）$\displaystyle V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j}=\{0\}(i=1,2, \cdots, s)$.
陕西师范大学 2023年 第1题
1．（15 分）设 $\displaystyle f_{k}(x)(k=1,2, \cdots, n)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：
$$
\left(x^{n}+\cdots+x+1\right) \mid\left[x^{n-1} f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x^{n-2} f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x f_{n-1}\left(x^{n+1}\right)+f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right]
$$
的充要条件是 $\displaystyle (x-1) \mid f_{k}(x), k=1,2, \cdots, n$ ．
陕西师范大学 2023年 第3题
3．（20分）已知向量组 $\displaystyle (I)$ 为
$$
\beta_{1}=(0,1,-1)^{T}, \beta_{2}=(s, 2,1)^{T}, \beta_{3}=(t, 1,0)^{T}
$$
向量组（II）为
$$
\alpha_{1}=(1,2,-3)^{T}, \alpha_{2}=(3,0,1)^{T}, \alpha_{3}=(9,6,-7)^{T} .
$$
向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (I I)$ 有相同的秩，且 $\displaystyle \beta_{3}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，求 $\displaystyle s, t$ 的值．
陕西师范大学 2023年 第4题
4．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，已知
$$
a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)
$$
且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．
陕西师范大学 2023年 第6题
6．（25 分）已知
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,2,1,-2), \alpha_{2}=(2,3,1,0), \alpha_{3}=(1,2,2,-3) \\
& \beta_{1}=(1,1,1,1), \beta_{2}=(1,0,1,-1), \beta_{3}=(1,3,0,-4)
\end{aligned}
$$
（1）求 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的基与维数；
（2）求 $\displaystyle W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的基与维数；
（3）求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 及 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的基与维数．
陕西师范大学 2024年 第三题
三．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，记
$$
\beta_{1}=t_{1} \alpha_{1}+t_{2} \alpha_{2}, \beta_{2}=t_{1} \alpha_{2}+t_{2} \alpha_{3}, \cdots, \beta_{m}=t_{1} \alpha_{m}+t_{2} \alpha_{1}
$$
其中 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 为常数，求 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 满足何种关系时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 也为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
陕西师范大学 2025年 第三题
三．（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}(n \geq 3)$ 线性无关，且
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n}, \beta_{n}=\alpha_{1}+\alpha_{n}
$$
讨论向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 的线性相关性．
陕西师范大学 2026年 第2题
2．（ 10 分）设 4 级矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
2 \gamma_{2} \\
3 \gamma_{3} \\
4 \gamma_{4}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}
\beta \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3} \\
\gamma_{4}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 均为 4 维行向量，且已知 $\displaystyle |A|=2800,|B|=100$ ，试计算行列式 $\displaystyle |A-B|$ ．
陕西师范大学 2026年 第3题
3．（10分）在齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
中，证明
$$
\begin{gathered}
x_{1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, x_{2}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, \\
\cdots, x_{n}=(-1)^{n-1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{gathered}
$$
是方程组的解，且若这个解不为零，则方程组的任意解可由它乘以某数得到．
西南财经大学 2026年 第3题
3．已知
$$
\beta_{1}=\alpha_{2}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \cdots, \beta_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s-1} .
$$
证明向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 的秩相同．
西南财经大学 2026年 第6题
6．已知
$$
\begin{gathered}
\alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \\
\beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} .
\end{gathered}
$$
且 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数．
北京工业大学 2014年 第一-5题
5．设 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|$ 是 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i i}=2, a_{i, i+1}=a_{i+1, i}=-1, i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $D_{n}=$ $\_\_\_\_$ （写出具体表达式）
北京工业大学 2014年 第二-1题
1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，
$Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($
（A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
北京工业大学 2019年 第一-3题
3．（25 分）$V=\left\{\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i} \mid a_{i} \in \mathbb{R}\right\}, \sigma$ 为 $V$ 中的线性变换，对任意的 $g(x) \in V$ ，有 $\sigma(g(x))=g(x)+g^{\prime}(x)$ 。
（1）求 $\sigma$ 在基 $\left\{1, x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{3!}, \cdots, \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right\}$ 下的矩阵。
（2）求 $V$ 中所有 $\sigma$ 不变子空间的个数，并证明你的结论。
北京工业大学 2022年 第一题
一．把复数域上的矩阵
$$
J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}
\end{array}\right)
$$
称为 $n$ 阶循环矩阵．
（1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基；
（2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．
北京工业大学 2023年 第2题
2．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵．$\displaystyle A_{k}$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵．$\displaystyle A_{i j}$表示 $A$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式．
（1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系．
（2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
北京工业大学 2023年 第3题
3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ．
（1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？
（2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
北京工业大学 2023年 第4题
4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ；
（2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。
北京工业大学 2023年 第5题
5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积．
（1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积；
（2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．
北京工业大学 2023年 第7题
7．（30 分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．$\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$ 都是 $V$ 上的非零线性变换． $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩。
（1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ；
（2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．
北京工业大学 2025年 第3题
3、证明：$n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right)
\end{array}\right| \neq 0
$$
北京工业大学 2025年 第4题
4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明：
$$
\lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n)
$$
其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中
$$
Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}
$$
北京工业大学 2025年 第7题
7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有
$$
(\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)),
$$
则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明：
（1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置．
（2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．
北京工业大学 2026年 第2题
2．设 4 阶方阵 $A$ 的秩是 $\displaystyle 3, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 是方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的三个不同的解，且满足
$$
\eta_{1}+\eta_{2}+\eta_{3}=(3,3,0,3)^{\mathrm{T}}, 2 \eta_{2}+3 \eta_{3}=(6,2,3,0)^{\mathrm{T}} .
$$
（1）证明：$\displaystyle \beta \neq 0$ ，即 $\displaystyle \beta$ 不是零向量．
（2）求方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解．
北京工业大学 2026年 第5题
5．设 $P$ 是一个数域，记 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量
$$
\alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(0,3,2,1)^{\mathrm{T}}
$$
生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，记 $\displaystyle V_{2}$ 是由向量
$$
\beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}}
$$
生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，分别求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}, V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．
山西大学 2023年 第三题
三、（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}, \beta$ 是一个 n 维列向量组，且它的秩与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$的秩相同，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关。
山西大学 2024年 第六题
六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明：
（1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ，
（2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ．
这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。
山西大学 2025年 第10题
10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。
山西大学 2025年 第5题
5．（15 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设齐次线性方程组 $\displaystyle f(A) g(A) X=0, f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W, V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
福州大学 2025年 第一-1题
1．设 $\alpha_{1}=(0,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,2)^{T}, \alpha_{3}=(1, \lambda, 3)^{T}$ ，当且仅当 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$时，任意 3 维列向量都可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．
福州大学 2026年 第一-3题
3．（5 分）设 $\alpha=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{4}$ ，子空间
$$
W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\mathrm{T}} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} .
$$
则 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．
福州大学 2026年 第三-4题
14．（12 分）设 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的一个特解，$\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-\tau}$ 是相应齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。证明：
（1）向量组 $\eta, \eta+\xi_{1}, \eta+\xi_{2}, \cdots, \eta+\xi_{n-r}$ 线性无关．
（2）$\gamma$ 是 $A X=\beta$ 的一个解的充分必要条件是存在 $c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得
$$
\gamma=c_{0} \eta+c_{1}\left(\eta+\xi_{1}\right)+c_{2}\left(\eta+\xi_{2}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\eta+\xi_{n-r}\right) .
$$
其中 $c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n-r}=1$ ．
山西师范大学 2025年 第三题
三、（15分）求
$$
\partial_{1}=(0,0,0,1), \partial_{2}=(1,2,-1,1), \partial_{3}=(1,-2,-1,0), \partial_{4}=(-1,-2,1,1), \partial_{5}=(2,0,1,-1)
$$
的极大线性无关组．
华中科技大学 2025年 第2题
2、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(a, 2,10)^{T}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{T}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{T}$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1, b, 2)^{T}$ ，当 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时：
（1）$\displaystyle \beta$ 不能表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？
（2）$\displaystyle \beta$ 可以唯一地表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性表出？
（3）$\displaystyle \beta$ 可以以无穷多种方式表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？写出所有的表示式．
华中科技大学 2025年 第4题
4、（20分）对于二阶矩阵 $\displaystyle A, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, A \neq O$ ，若
$$
\left|A+B_{i}\right|=|A|+\left|B_{i}\right|, i=1,2,3,4 .
$$
证明：矩阵 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 线性相关．
华中科技大学 2026年 第4题
4．有限维线性空间 $V$ 有2026个子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, \cdots, W_{2026}$ ，其中
$$
\operatorname{dim} W_{i}=2026(i=1,2, \cdots, 2026), \operatorname{dim}\left(W_{i} \cap W_{j}\right)=2025(i \neq j) .
$$
证明下列条件之一成立：
（a）存在 $W$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W=2025, W \subset W_{i}(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．
（b）存在 $U$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=2027, W_{i} \subset U(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．
湖南师范大学 2025年 第13题
13．设 $\displaystyle A_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 个非零矩阵，满足
$$
A_{i k} A_{l j}= \begin{cases}A_{i j}, & k=l \\ O, & k \neq l\end{cases}
$$
证明：存在公共的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{i j} P$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 。其余元素为 目的矩阵。
华南理工大学 2023年 第一题
一．设 $\displaystyle f_{i}(x) \in \mathbb{P}[x], i=1,2, \cdots, n$ ，求证 $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} x^{i} \mid \sum_{k=1}^{n} x^{n-k} f_{k}\left(x^{n+1}\right)$ 的充要条件为 $\displaystyle x-1 \mid f_{i}(x), i= 1,2, \cdots, n$.
华南理工大学 2023年 第七题
七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换
$$
W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V .
$$
（1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数．
（2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．
华南理工大学 2024年 第5题
5．（20 分）解答如下问题：
（1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X / A X$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7
\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{array}\right) .
$$
将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积．
（2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1
\end{array}\right) .
$$
华南理工大学 2024年 第5题
5．（ 20 分）解答如下问题：
（1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7
\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{array}\right) .
$$
将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积．
（2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1
\end{array}\right) .
$$
华南理工大学 2024年 第7题
7．（20 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足：
（1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ．
（2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ．
证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．
华南理工大学 2024年 第7题
7．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足：
（1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ．
（2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ．
证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．
华南理工大学 2024年 第8题
8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$
$$
(A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$
证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．
华南理工大学 2025年 第2题
2、（20 分）设有 $n$ 阶实方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ ，且
$$
\begin{aligned}
& a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0,(i=1,2, \cdots, n), \\
& a_{1 j}+a_{2 j}+\cdots+a_{n j}=0,(j=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$
证明： $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有元素的代数余子式都相等
华南理工大学 2026年 第4题
4．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,4,0,2), \alpha_{2}=(2,7,1,3), \alpha_{3}=(0,1,-1, a), \beta=(3,10, b, 4)$ ．求：
（1）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 不能被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？并写出表达式．
华南理工大学 2026年 第5题
5．（20 分）设 $\displaystyle L_{i}=c_{i 1} x_{1}+c_{i 2} x_{2}+\cdots+c_{i n} x_{n}, i=1,2, \cdots, p+q, c_{i j} \in \mathbb{R}$ ，证明：实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=L_{1}^{2}+\cdots+L_{p}^{2}-L_{p+1}^{2}-\cdots-L_{p+q}^{2}
$$
的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ，负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ ．
华南理工大学 2026年 第8题
8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda
\end{array}\right)
$$
证明：
（1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间）
（3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．
中国矿业大学徐州 2026年 第二题
二、（10分）
设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{s}(x), g_{1}(x), g_{2}(x), \cdots, g_{t}(x)$ 均为多项式，证明：$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{s}(x)$ 与 $\displaystyle g_{1}(x) g_{2}(x) \cdots g_{t}(x)$ 互素的充要条件是对任意 $\displaystyle 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $\displaystyle f_{i}(x)$ 与 $\displaystyle g_{j}(x)$ 互素．
东北大学 2025年 第一-3题
3．设 $\mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的一个线性变换，满足
$$
\begin{gathered}
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=-3 \varepsilon_{1}-a \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+15 \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=\varepsilon_{1}-b \varepsilon_{2}+30 \varepsilon_{3} \\
\mathscr{A}\left(\eta_{1}\right)=6 \eta_{1}, \mathscr{A}\left(\eta_{2}\right)=12 \eta_{2}, \mathscr{A}\left(\eta_{3}\right)=c \eta_{3}
\end{gathered}
$$
其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 分别是 $V$ 的两组基．
（1）求参数 $a, b, c$ 的值．
（2）求基 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 到 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 的过渡矩阵。
东北大学 2025年 第一-5题
5．设 $A$ 是复数域上的方阵，$A$ 的全部初等因子为 $(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2}, \lambda+3, \lambda+3,(\lambda+2 \mathrm{i})^{2},(\lambda-2 \mathrm{i})^{2}$ ．
（1）求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式．
（2）求 $A$ 的所有不变因子和所有行列式因子．
东北大学 2026年 第一-2题
2．（15 分）设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+1=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{3}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ ，其中 $(1,-1,1,-1)^{\prime}$ 为方程组的解。
（1）求该方程组的通解．
（2）求符合 $x_{2}=x_{3}$ 的所有解。
3 ．（15 分）（1）求 $x^{4}+x^{2}+1=0$ 的所有复根．
（2）设 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 是次数不超过3的首一互异多项式，且 $\left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)$ ，求 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 。
东北大学 2026年 第一-3题
4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & -1
\end{array}\right]
$$
求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标．
（2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。
东北大学 2026年 第二-1题
5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．
东北大学 2026年 第二-2题
6．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{array}\right]
$$
求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。
四川大学 2026年 第二-2题
2．设 $n, m$ 是正整数且 $n>m$ ，设 $b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $b_{m} \neq 0$ ．证明：对任意的 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{F}$ ，关于 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-m}, y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{m-1}$ 的方程组
$$
\begin{cases}y_{i}+\sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=0,1, \cdots, m-1 \\ \sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=m, m+1, \cdots, n\end{cases}
$$
有唯一解。
四川大学 2026年 第五-3题
3．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 为 $V$ 的一组基，且
$$
\begin{gathered}
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=8 \varepsilon_{1}-10 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+3 \varepsilon_{2}+6 \varepsilon_{3} \\
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{1}-3 \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{4}\right)=-2 \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}+4 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}
\end{gathered}
$$
求 $\mathscr{A}$ 的全部特征子空间。
北京交通大学 2022年 第一-10题
10．设 $\alpha_{1}=(1,1,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(4,6,2 a+7,10)^{T}, \alpha_{3}=(3, a+4,2 a+5, a+7)^{T}, \beta=(2,3,2 a+3,5)^{T}$ ，若 $\beta$ 不能用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
北京交通大学 2022年 第七题
七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且
$$
\xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) .
$$
证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。
人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。
北京交通大学 2022年 第四题
四．（ 15 分）设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a & -2 & 0 \\
b & 1 & -2 \\
c & -2 & 0
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right) .
$$
（1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ．
五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。
北京交通大学 2024年 第一-4题
4、设 $A, B, C, D$ 均是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
A B=B C=C A=E
$$
则 $A^{2}+B^{2}+C^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
5 、已知两个向量组：$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 和
$\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ a\end{array}\right)$ ，并且向量组 $\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\}$
不能由向量组 $\left\{\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right\}$ 线性表示，则 $\_\_\_\_$ ．
北京交通大学 2024年 第一-5题
6、在 $R^{3}$ 中定义线性变换 $T$ ，对 $\forall \alpha=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in R^{3}$ ，有
$$
T\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)^{T} .
$$
则 $T$ 在 $R^{3}$ 的基 $\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(0,1,0)^{T}, \alpha_{3}= (0,0,1)^{T}$ 下的矩阵为： $\_\_\_\_$ ．
北京交通大学 2024年 第三题
三、已知向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a \\ -1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1 \\ b\end{array}\right)$ ．
问：当 $\displaystyle a, b$ 取何值时：
（1）$\displaystyle \beta$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一线性表示？
（3）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但表出式不唯一？写出此表出式。
北京交通大学 2024年 第五题
五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换
在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵.
（2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域．
（3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。
（4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。
北京交通大学 2024年 第八题
八、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1-a & 2 a & 1 \\ 2 & 1-a & -1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$的秩为 $\displaystyle \mathbf{2}$ ．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形．
（3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．
北京交通大学 2025年 第五题
五．已知
$$
\alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(1, a, 1)^{T}, \alpha_{3}=(a, 1,1)^{T}, \beta=(1,1,-2)^{T} .
$$
$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且不唯一，求 $a$ 的值．记 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求正交变换 $Q$ ，通过 $\displaystyle X=Q Y$ ，使
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T}\left(E_{3}+A\right)^{-1} X
$$
为标准型。
苏州大学 2026年 第2题
2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为
$$
\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C .
$$
其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明：
$$
\operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) .
$$
苏州大学 2026年 第6题
6．（20 分）解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得
$$
C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc}
E_{s} & O \\
O & -E_{n-s}
\end{array}\right)
$$
（2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有
$$
\left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n}
$$
成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．
苏州大学 2026年 第7题
7．（ 25 分）解答如下问题：
（1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有
$$
\alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha
$$
（2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．
华东理工大学 2026年 第五题
五．设
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \alpha_{2}=(0,1,1,0)^{\prime}, \alpha_{3}=(0,0,1,1)^{\prime} \\
& \beta_{1}=(1,0,1,0)^{\prime}, \beta_{2}=(0,2,1,1)^{\prime}, \beta_{3}=(1,2,1,2)^{\prime}
\end{aligned}
$$
求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 所生成的两个线性空间的和与交的维数与一组基．
华东理工大学 2026年 第八题
八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若
$$
\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m
$$
则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．
华东理工大学 2026年 第六题
六．设 $M$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，$\displaystyle A=f(M), B=g(M), W, W_{1}, W_{2}$ 分别为方程组 $\displaystyle A B X=0, A X=0, B X=0$ 的解空间．若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 互素，求证：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
广东工业大学 2025年 第二-4题
4、设 $V$ 为数域 $R$ 上的 4 维空间向量，$a_{1}=(0,1,2,1), a_{2}=(1,-1,1,1), a_{3}=(1,2,-1,0)$ ． $a_{4}=(7,1,-1,3)$ 的子空间 $V_{1}=L\left(\alpha_{1}, a_{2}\right), V_{2}=L\left(a_{3}, a_{4}\right)$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的基和维数．
北京理工大学 2026年 第一-6题
6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$
$\_\_\_\_$。
北京理工大学 2026年 第一-8题
8、设 $y_{1}=(1,2,1)^{T}, y_{2}=(1,-1,0)^{T}$ ，欧氏空间 $U=L\left(y_{1}, y_{2}\right)$ ，求 $U$ 的一组标准正交基 $\_\_\_\_$ ，以及 $\alpha=(1,3,0)^{T}$ 在 $U$ 上的正交投影 $\_\_\_\_$ ．
浙江大学 2026年 第一-4题
4．已知 $f_{1}=2+2 x^{2}+3 x^{3}, f_{2}=1+x+x^{2}+3 x^{3}, f_{3}=5+x+5 x^{2}+9 x^{3}, f_{4}=2 x+3 x^{3}, W$ 是由它们张成的线性空间，那么从基 $f_{1}, f_{2}$ 到基 $f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ，向量组 $f_{1}, f_{3}-f_{2}, 2 f_{3}+f_{4}$的秩等于 $\_\_\_\_$ ．
浙江大学 2026年 第一-5题
5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解
$$
X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} .
$$
那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．
浙江大学 2026年 第二-2题
2．令 $V$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 张成的线性空间，$W$ 是线性变换 $\mathscr{T}(X)=A X$ 的核，其中
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
1 \\
3 \\
6
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
-1 \\
1 \\
2
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\
2 & -2 & -1 & 2 & 4 \\
3 & -3 & -1 & 4 & 5 \\
1 & -1 & 1 & 1 & 8
\end{array}\right) .
$$
求 $W+V$ 及 $W \cap V$ 的基和维数．
武汉理工大学 2026年 第3题
3．设向量
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
a \\
a \\
a
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
b+1 \\
2 b+1 \\
b+1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
b+4
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
2 b+1
\end{array}\right) .
$$
（1）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 不可以表示成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？
（2）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出？并写出线性表达式．
武汉理工大学 2026年 第4题
4．设 $P$ 为数域，在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 中，令
$$
V_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
x & -x \\
y & z
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in P\right\}, V_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-a & c
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}
$$
（1）判断 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是否为 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的子空间，并说明理由．
（2）分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基．
武汉理工大学 2026年 第5题
5．已知 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 对基
$$
\varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \varepsilon_{3}=\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
-6
\end{array}\right)
$$
的像为
$$
\sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
3
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（2）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \sigma(X)$ ．
（3）已知 $\displaystyle \sigma(Y)$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ ，求 $Y$ ．
湖南大学 2024年 第6题
6．设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle r(A)=r$ 的充要条件是：存在两个线性无关的向量组
$$
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in K^{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} \in K^{n} .
$$
使得
$$
A=\alpha_{1} \beta_{1}^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}^{T}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{T}
$$
湖南大学 2025年 第1题
1．设非零多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in K[x], k$ 为正整数，满足
$$
(k+1) \operatorname{deg}(g(x))>\operatorname{deg}(f(x)) \geq k \operatorname{deg}(g(x))
$$
证明：存在 $\displaystyle p_{0}(x), p_{1}(x), \cdots, p_{k}(x) \in K[x]$ ，满足 $\displaystyle \operatorname{deg}\left(p_{i}(x)\right)<\operatorname{deg}(g(x))$ 或 $\displaystyle p_{i}(x)=0$ ，使得
$$
f(x)=p_{0}(x)+p_{1}(x) g(x)+\cdots+p_{k}(x) g^{k}(x)
$$
湖南大学 2025年 第3题
3．给定向量组
$$
\alpha_{1}=(*, *, *, *, *), \alpha_{2}=(*, *, *, *, *), \alpha_{3}=(*, *, *, *, *), \beta_{1}=(*, *, *, *, *), \beta_{2}=(*, *, *, *, *)
$$
记 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．
湖南大学 2026年 第9题
9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．
河海大学 2026年 第一-4题
4．设 $n$ 维向量 $\alpha=(t, 0, \cdots, 0, t)^{\mathrm{T}}, t \neq 0, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B=E+\frac{1}{t} \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．
河海大学 2026年 第二-3题
8．（可能有误）设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 是 $V$ 的两组基，设 $\mathscr{A}$ 是 $V$上的线性变换， $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $A, \mathscr{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵为 $B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 4 & -2 \\
-3 & -3 & 5
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$
求 $y$ 的值，并求由基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 的过渡矩阵 $P$ ．
河海大学 2026年 第三-5题
15．解答如下问题：
（1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵
$$
B=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1}
\end{array}\right) .
$$
记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。
（2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于
$$
\left(\begin{array}{llll}
c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\
c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\
c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\
c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1}
\end{array}\right)
$$
南京师范大学 2010年 第四题
四、（本题满分 15 分）设 $n$ 级行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|a_{i j}\right| \neq 0, A_{i j}$ 为 $\displaystyle D_{n}$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：当 $\displaystyle r<n$ 时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ 有一个基础解系为：（ $\displaystyle \left.A_{j 1}, A_{j 2}, \cdots, A_{j n}\right)$ ， $\displaystyle j=r+1, r+2, \cdots, n$.
南京师范大学 2011年 第七题
七、（20分）设三维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵；
（2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ；
（3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$
高等代数
南京师范大学 2012年 第8题
8、（本题满分 10 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, \dot{n}$ ；（2） $\displaystyle a_{i j}<0, \quad 1 \leq i \neq j \leq n ; \quad$（3）$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0, \quad i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
南京师范大学 2013年 第七题
七、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵并且饸好有 $r$ 个不同的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 。证明存在矩阵
$\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ 满足条件：（1）$\displaystyle A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{r}=E_{r}$ ；（2）$\displaystyle A_{i}^{2}=A_{i}, i=1,2, \cdots, r$ ；（3）$\displaystyle A_{i} A_{j}=0$ ， $\displaystyle i \neq j:(4) \quad A=\lambda_{1} A_{1}+\lambda_{2} A_{2}+\cdots+\lambda_{r} A_{r}$.
南京师范大学 2013年 第四题
四、（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ；（2）$\displaystyle a_{i j}<0$ ，
$\displaystyle i \neq j$ ；（3）$\displaystyle \dot{a}_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
南京师范大学 2014年 第2题
2、（本题满分 15 分）设 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle |A|=1$ 且 $\displaystyle a_{i j}+a_{j \|}=0, i, j=1,2, \cdots, n$ 。对任意非零实数 $b$ ，计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}+b & a_{12}+b & \cdots & a_{1 n}+b \\ a_{21}+b & a_{22}+b & \cdots & a_{2 n}+b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}+b & a_{n 2}+b & \cdots & a_{n n}+b\end{array}\right|$ ．
南京师范大学 2014年 第7题
7、（本题满分20分）设 $V$ 为有限维欧氏空间，$s$ 个单位向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 组成 $V$ 中的一个正交向量组，使得对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，都有 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s}\left(\alpha, \alpha_{i}\right)^{2}=|\alpha|^{2}$ ．证明：$\displaystyle V=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right)$ ．
南京师范大学 2015年 第1题
1．（本小题满分 10 分）若方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=0\end{array}\right.$ 与 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0, \\ 2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0\end{array}\right.$ 同解，求 $\displaystyle a, b, c$的值．
南京师范大学 2015年 第2题
2．（本小题满分 15 分）设行列式 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & \left(\begin{array}{ccc}a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right) n \geq 3 \text { ，令 } A_{i j} \text { 表示元素 } a_{i j} \text { 的代数余子式，}\end{array}\right. 1 \leq i, j \leq n$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1, n-1} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n-1,1} & A_{n-1,2} & \cdots & A_{n-1, n-1}\end{array}\right|=a_{n n} D^{n-2} \cdot \angle ~$ 工 $\displaystyle a n^{n} A i j$.
南京师范大学 2015年 第3题
3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。
（4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．
南京师范大学 2018年 第5题
5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．
南京师范大学 2018年 第6题
6．（15 分）设 $n$ 为大于 1 的正整数，对每个正整数 $\displaystyle i, i=1,2, \cdots, n$ ，定义 $n$ 维实向量
$$
\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)
$$
满足条件：$\displaystyle a_{i i}>0 ; a_{i j}<0$ ，如果 $\displaystyle j \neq i$ ；并且 $\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0$ ．证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
南京师范大学 2019年 第3题
3．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(0,3,2,1), \alpha_{2}=(2,1,0,-1), \beta_{1}=(1,0,-3,-6), \quad \beta_{2}=(1,0,1,2)$ ，
$\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，
（i）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的交的一组基及维数；
（ii）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的和的一组基及维数．
南京师范大学 2019年 第4题
4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足：
$$
A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0)
$$
（i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ；
（ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．
南京师范大学 2019年 第5题
5．（20 分）设 $\displaystyle X_{0}$ 是数域 $P$ 上线性方程组的一个解，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{s}$ 是它的导出组的一个基础解系，令 $\displaystyle Y_{0}=X_{0}, Y_{1}=X_{1}+X_{0}, Y_{2}=X_{2}+X_{0}, \cdots, Y_{s}=X_{s}+X_{0}$ ，证明：该线性方程组的全部解可由下列公式给出：$\displaystyle X=k_{0} Y_{0}+k_{1} Y_{1}+\cdots+k_{s} Y_{s}$ ，其中 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ 为数域 $P$ 中的数，$\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{s}=1$ ．
南京师范大学 2019年 第6题
6．（20分）设 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{p}, g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{q}$ 均为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的实系数的一次齐次式，
证明：二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{p}^{2}-g_{1}^{2}-g_{2}^{2}-\cdots-g_{q}^{2}
$$
的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ．
南京师范大学 2019年 第7题
7．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+4 x+1, g(x)=x^{2}-x-1$ ，
（i）求多项式 $\displaystyle u_{1}(x), v_{1}(x)$ 使得 $\displaystyle u_{1}(x) f(x)+v_{1}(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ；
（ii）证明不存在次数相同的多项式 $\displaystyle u_{2}(x), v_{2}(x)$ 使得
$$
u_{2}(x) f(x)+v_{2}(x) g(x)=(f(x), g(x)) ;
$$
（iii）证明存在无穷多组多项式 $\displaystyle u_{3}(x), v_{3}(x), u_{3}(x)$ 的次数为 2019，使得
$$
u_{3}(x) f(x)+v_{3}(x) g(x)=(f(x), g(x))
$$
南京师范大学 2019年 第8题
8．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，证明
（i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ；
（ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．
南京师范大学 2021年 第4题
4．（每小题 10 分，共 20 分）线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
& a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\
& a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
& a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{aligned}\right.
$$
的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明：
（1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．
南京师范大学 2026年 第四题
四．已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}+a_{n} x_{1}\right)^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 正定的充分必要条件．
（2）当 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 不是正定时，求它的秩．
江西师范大学 2024年 第一-3题
3．已知 $a, b$ 是数域 $P$ 上的两个固定的数，而
$$
W=\left\{\left(a, b, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P, i=3,4, \cdots, n\right\}
$$
是 $P$ 的子空间，则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．
江西师范大学 2026年 第一-8题
8、设 $V=R^{3}$ 是实数域 $R$ 上的线性空间，定义：$f: V \rightarrow V$ ．
$$
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \rightarrow\left(x_{1}+x_{3}, x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{3}\right) .
$$
那么 $f$ 在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。
华中师范大学 2018年 第4题
4．求出向量组 $\displaystyle (0,1,1),(4,2,1),(5,2,1),(1,0,1)$ 的极大线性无关组：并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
华中师范大学 2019年 第2题
2．（20分）设
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1}
\end{array}\right)_{n \times(n+1)}
$$
其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数．
（1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ；
（2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．
华中师范大学 2019年 第8题
8．（15分）设2维实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(-1,4)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right)$ ．线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}=(5,13)^{\prime}, \beta_{2}=(3,10)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ 。求线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}-2 \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵。
华中师范大学 2020年 第3题
3．（20分）设 $Q$ 为一个 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个正实数， $\displaystyle \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ 表示主对角线元素为 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 的对角阵。证明：$\displaystyle Q \cdot \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) \cdot Q$ 当且仅当
$$
Q \cdot \operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right)=\operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right) \cdot Q .
$$
华中师范大学 2020年 第5题
5．（15分）用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，对 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,0), \alpha_{2}=(2,0,1), \alpha_{3}=(1,1,-2)$ ．应用格拉姆－施密特正交化方法求出标准正交基．
华中师范大学 2021年 第1题
1．计算行列式
$$
D=\operatorname{det}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)
$$
其中 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(1, \cos \theta_{i}, \cos 2 \theta_{i}, \cos 3 \theta_{i}\right)^{\prime}$ ．
华中师范大学 2021年 第2题
2．解答如下问题：
（1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量
$$
\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) .
$$
使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ．
（2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．
华中师范大学 2022年 第二-2题
7．（15 分）设 $k$ 是大于 1 的正整数，向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性相关，且其中任意 $k-1$ 个向量线性无关。证明：存在全不为零的数 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ ，使得 $\alpha_{k}=c_{1} \alpha_{1}+c_{2} \alpha_{2}+\cdots+c_{k-1} \alpha_{k-1}$ ，且这样的 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ 是唯一确定的。
华中师范大学 2022年 第二-6题
11．（20分）设 $\mathbb{R}^{4}$ 是由所有 4 维实行向量构成的线性空间，定义 $\mathbb{R}^{4}$ 上的线性变换如下：
$$
\rho: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}-2 x_{3}, x_{3}-3 x_{4}, x_{1}+6 x_{4}\right) .
$$
（1）（10 分）求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^{4}$ 的基底 $\varepsilon_{1}=(1,0,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1,0), \varepsilon_{4}=(0,0,0,1)$ 下的矩阵；
（2）（10 分）判断 $\rho$ 是否为同构映射，并说明理由．
华中师范大学 2023年 第二-4题
10．证明：向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性无关当且仅当存在 $\alpha \in L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}\right)$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 的唯一线性组合。
华中师范大学 2023年 第二-5题
11．设 $\mathbb{R}$ 为实数域，$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，在三维列向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 上定义双线性型
$$
f_{A}(X, Y)=X^{T} A Y, \forall X, Y \in \mathbb{R}^{3} .
$$
这里 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置．
（1）证明（ $\left.\mathbb{R}^{3}, f_{A}(),\right)$ 是一个欧氏空间；
（2）求上述欧氏空间的一组标准正交基．
华中师范大学 2024年 第1题
1．填空题
（1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
华中师范大学 2026年 第二-2题
8．解答如下问题：
（1）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ 是 $A$ 的不同特征值，$X_{i}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量，证明：向量组 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{k}$ 线性无关．
（2）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的特征值都是实数．
（3）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的属于不同特征值的特征向量彼此正交．