矩阵-矩阵运算

5．若 $A B=B A$ ，矩阵 $B$ 就称与 $A$ 可交换，则所有与 $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 可交换的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。

二．（20分）设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 $\displaystyle S=\left\{A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(F) \mid a_{i j}=0\right.$ 当 $\displaystyle \left.i>j\right\}$ ．其中 $\displaystyle M_{n}(F)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间．求证： （1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间． （2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ． （3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ． （4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．

2．设 $\mathbb{R}^{4}$ 中，向量组 $$ \alpha_{1}=(1,0,-1,0), \alpha_{2}=(0,0,1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,0,0) $$ 生成的子空间为 $V_{1}$ ．向量组 $$ \beta_{1}=(1,2,-1,2), \beta_{2}=(0,1,-1,0), \beta_{2}=(0,2,1,-1) $$ 生成的子空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的一个基和维数．

5．设数域 $P$ 上 $n$ 阶方阵 $A, B, C, D$ 关于乘法两两可交换。且满足 $A C+B D=E$（ $E$ 为单位矩阵），设 $$ V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} . $$ 证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

3．设 $\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}, \alpha_{2}=(1,1,2)^{T}, \alpha_{3}=(1,2,3)^{T}$ ，试证：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一组基，并用两种方法求向量 $\alpha=(6,9,14)^{T}$ 在该组基下的坐标．

5．设线性空间 $V$ 和它的三个线性子空间 $V_{1}, V_{1}, V_{3}$ 满足 $\operatorname{dim} V=9, \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim} V_{3}=4$ ， $V=V_{1}+V_{2}+V_{3},\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\{0\}$ ．则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．所有与 $n$ 阶方阵 $A$ 可交换的矩阵集合 $C(A)$ 是 $P^{n \times n}$ 的一个子空间，当对角矩阵 $$ A=\operatorname{diag}\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\} $$ 中对角元素 $a_{i}(1 \leq i \leq n)$ 互不相同时，$C(A)$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

4．设矩阵 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), A=3 E+2 J+2 J^{2}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式． （2）求与 $A$ 可交换的矩阵空间的基与维数．

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

6．设 $A$ 为元素全为整数的对称方阵，且对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ． （1）证明：对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负实数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ． （2）判断：是否存在非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），使得 $z A z^{\mathrm{T}}=0$ 。

6．（20 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B, C, D$ 两两可交换，且满足 $\displaystyle A C+B D=I$ ，方程组 $$ A B X=0, A X=0, B X=0 $$ 的解空问分别为 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$

五、设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，记 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 为所有与 A 可交换的实矩阵全体， （1）证明 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 是线性空间 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基与维数。

11．设 $n \geq 2, \mathscr{T}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且向量 $v$ 满足 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0, \mathscr{T}^{n} v=0$ ． （1）证明：向量组 $v, \mathscr{T} v, \cdots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 线性无关． （2）证明： $\mathscr{T}$ 不可以对角化．

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

六、（15 分） 设 $\displaystyle A, B, C, D$ 是数域 $P$ 上两两可交换的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，记 $$ V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, \quad V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, \quad V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

4．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \lambda$ 为 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的一个实特征值．证明：存在正整数 $\displaystyle k(1 \leq k \leq n)$ 使得 $\displaystyle \left|\lambda-a_{k k}\right| \leq \sum_{j \neq k}\left|a_{k j}\right|$ ． 战、本题满分 20 分）设 $n$ 级矩阵 $A$ 利 $B$ 可交换．证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \geq$ 秩 $\displaystyle (A B)+$ 秩 $\displaystyle (A+B)$ ．

五．设 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 两两可交换，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，设 $\displaystyle A B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V, A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{1}, B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{2}$ ，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．