矩阵-逆矩阵

4、设 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实数域，$\displaystyle \beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}, a \in \mathbb{R}$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \beta \\ \gamma^{T} & a\end{array}\right|=a|A|-\gamma^{T} A^{*} \beta$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵．

3、已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

八、（10 分）$A$ 为 $n$ 级矩阵，$E$ 为 $n$ 级单位矩阵，$\displaystyle A^{4}=E$ ，证明： $$ r(E-A)+r\left(E+A+A^{2}+A^{3}\right)=n . $$

2、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一的线性表示，并求出表示式。

2．（20 分）已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 元列向量，若矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ 的秩．

七．简答题（ 15 分） 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且存在 $n$ 阶实矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B^{\mathrm{T}} A$ 为正定矩阵，判断矩阵 $A$ 是否可逆，并给出理由。

6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式． （1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．

四，（20 分）设 $a$ 是一个 $n$ 维非零的列向量，$\displaystyle a^{T}$ 是 $A$ 的转置，$E$ 是 $n$ 级单位矩阵， $\displaystyle A=E-a a^{T}$. （1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 当且仅当 $\displaystyle a a^{T}=1$ ； （2）当 $\displaystyle a a^{T}=1$ 时；方阵 $A$ 的行列式等于零．

七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性 变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ． （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换； （2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。

三，（15 分）设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+2 E=0$ ．证明（1）对于任意实数 $a$ ，方阵 $\displaystyle A+a E$ 都是可逆矩阵。 （2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．

七，（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。若 $\displaystyle E-A A^{T}$ 是可逆矩阵，证明： （1）$\displaystyle E-A^{T} A$ 也是可逆矩阵； （2）$\displaystyle A^{T}\left(E-A A^{T}\right)^{-1}=\left(E-A^{T} A\right)^{-1} A^{T}$ ．

九，（15 分）设 $J$ 为一个 $k$ 级若尔当块，$A$ 为 $n$ 阶复矩阵，$\displaystyle J^{T}$ 和 $\displaystyle A^{T}$ 分别为 $J$ 和 $A$的转置矩阵，证明： （1）$\displaystyle J^{T}$ 和 $J$ 是相似的； （2）存在 $n$ 阶可逆实对称矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=A^{T}$ ．

2、判断 $V=f(V)+f^{-1}(0)$ 是否成立？并说明理由．

2、可逆阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

2、线性方程组 $A X=\beta$ 的任一解都可以表示为 $$ k_{0} \gamma_{0}+k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+\cdots+k_{t} \beta_{t} \text {, 其中 } k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1-k_{0} \text {. } $$

2、求出 $f$ 的值域 $f(V)$ 的维数及一组基；

九、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶非零实反对称矩阵。证明： （1）$A$ 的特征值只能为 0 或纯虚数； （2）矩阵 $\displaystyle T=(E+A)^{-1}(E-A)$ 为正交矩阵。

六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明： （1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换； （2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ； （3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

九，（15 分）证明：任意一个实可逆矩阵都可以分解为一个正交矩阵与一个主 对角线元都为正数的上三角矩阵的乘积，并且这种分解是唯一的．

八．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明： （1）$\displaystyle B-E$ 可逆，且 $\displaystyle A B=B A$ ． （2）若 $A$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ ，使 $\displaystyle A^{k}=0$ ），则 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．

四、 $\displaystyle (8+7=15$ 分）若 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （1）若 $B$ 为可逆矩阵，$\displaystyle E-A B$ 也可逆，证明：$\displaystyle A-B^{-1}$ 可逆． （2）若 $\displaystyle A B-B A=A$ ，证明：$A$ 不可逆．

2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．

六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间， $$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. } $$ （1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换； （2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换； （3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．

四、（30 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ k & -1 & -k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ． （1）当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵？并求矩阵 $P$ 和相应的对角矩阵； （2）当 $\displaystyle k=2$ 时，求出矩阵 $A$ 的若尔当标准形和有理标准形．

七、（20 分）求 $A$ 的特征值及其线性无关特征向量，若 $A$ 可对角化，求它的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ．

四、（20 分）$A$ 为 $n$ 阶不可逆矩阵，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 至少有 $\displaystyle n-1$ 个特征值为 0 ，另一个非零特征值（如果存在，它满足 $\displaystyle \operatorname{tr} A^{*}=A_{11}+A_{22}+\ldots+A_{n n}$ ）．

三．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ． （1）证明：$\displaystyle r\left(E_{m}+A B\right)-r\left(E_{n}+B A\right)=m-n$ ． （2）证明：当 $\displaystyle E_{m}+A B$ 可逆时，$\displaystyle E_{n}+B A$ 也可逆，并写出其逆矩阵．

二．（20分）设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 $\displaystyle S=\left\{A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(F) \mid a_{i j}=0\right.$ 当 $\displaystyle \left.i>j\right\}$ ．其中 $\displaystyle M_{n}(F)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间．求证： （1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间． （2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ． （3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ． （4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．

2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $k, A+k E_{n}$ 都可逆．

六．设 $$ X=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵．$\displaystyle B^{\prime}=C$ ，证明：存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{\prime} X T$ 为分块对角阵。

四．称矩阵 $A$ 为幂零矩阵，如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，试证： 1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $\displaystyle A^{n}=0$ ； 2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $\displaystyle k, A+k E_{n}$ 都可逆．

5．设 $\displaystyle A \in P^{\text {mom }}$ 。证明： （1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ； （2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, B \in P^{n \times m}, C \in P^{m \times n}, A$ 可逆。证明分块阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & O\end{array}\right)$可逆的充要条件 $\displaystyle C A^{-1} B$ 可逆。

8．设 $\displaystyle A, B \in R^{n \times n}$ 是两个正交矩阵，若 $\displaystyle A+B$ 可逆，证明 $\displaystyle |A|=|B|$ 。

4．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 级方阵，若 $\displaystyle A B=A-B$ ，证明：$\displaystyle E_{n}+A$ 可逆，并且 $\displaystyle B A=A B$ 。

1．求 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 5 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 1 & 5 & -1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 5 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right) $$ 的伴随矩阵的所有元素之和．

9．已知 $\displaystyle A, B$ 为同阶实对称矩阵，$B$ 为正定矩阵． （1）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵； （2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

2． $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 至少有一个公共的特征向量．

五、设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{m}=0$（ $m$ 为一个大于 1 的自然数），现令 $$ e^{A}=E_{n}+A+\frac{A^{2}}{2!}+\cdots+\frac{A^{m-1}}{(m-1)!} $$ 求证：矩阵 $\displaystyle e^{A}$ 可逆．

3．行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{1}$ 的线性相关性为 $\_\_\_\_$。

2．求 $\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量。

4．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶方阵，且 $A^{3}=0$ ，则 $E+A+A^{2}$ 一定为 $\_\_\_\_$矩阵。

9．若 $A, B$ 为同阶正交阵，且 $|A B|=-1$ ，则 $|A+B|=$ $\_\_\_\_$ ．

七、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$ 作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称距阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆矩阵 $P$ 使 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

10．特征值为 $1,1,1,1$ 的一切 $4 \times 4$ 复数矩阵在复数域内按相似可分为 $\_\_\_\_$类．

2．求证： $\mathbb{R}^{n \times n}=V \oplus W$ ．

2．$M_{n}=S \oplus T$ ．

五、（1）求证任何一个正定矩阵 $\displaystyle A=B^{2}, B$ 也为正定矩阵． （2）求证任何一个可逆实矩阵 $\displaystyle A=Q P, Q$ 为正定矩阵，$P$ 为正交阵．

八、设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 可逆，求证矩阵方程 $\displaystyle A X A^{T}-X=0$ 仅有零解的充要条件为 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 1 。

六、 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域，$\displaystyle A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, A+B=E_{n}, A B=B A, A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll} E_{\mathrm{s}} & \\ & 0 \end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll} 0 & \\ & E_{t} \end{array}\right) $$ 这里 $\displaystyle s+t=n$ ．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & y & 2\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 可对角化的条件； （2）当 $\displaystyle x=1, y=0$ 时，求 $A$ 的约当标准形 $J$ 和可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

3．三阶方阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,-1,2$ ，则 $\displaystyle A^{2}+4 A^{-1}$ 的特征值 $\displaystyle \_\_\_\_$。

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 元实对称矩阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

4．设 $A$ 为 3 阶方阵，$\displaystyle |A|=2$ ，则 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A^{2}+3 A^{*} & 2 A^{*} \\ A & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{*}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 为方阵，且 $\displaystyle A^{3}=0$ ，则 $\displaystyle (E-A)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

七、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶对称阵，且 $A$ 正定，求证：存在一个可逆矩阵使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时为对角阵．

4．若 3 阶可逆阵 $A$ 交换 1,3 行得 $B$ ，则 $\displaystyle A B^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．$\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为3阶可逆矩阵，$\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right), Q=\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle Q^{-1} A Q=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

十、（10 分）$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶对称矩阵，求证：存在同一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时化为对角阵．

4．设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $A+E, A+2 E$ 和 $A+3 E$ 均不可逆，则 $\left|A^{2}+E\right|=$ $\_\_\_\_$。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．

8．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$C(A)=\{B \mid A B=B A\}$ ． （1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．

9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价： （1）$A$ 是正交矩阵； （2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基； （3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．

十．设 3 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{*}=A^{T}$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \left|A^{2}-A\right|$ ．

11．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{T}_{1}$ 为 $V$ 上的线性变换，求证：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}$ 和 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T}_{1}=\mathscr{T}_{2} \mathscr{T}_{3}$ ，其中 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}^{2}=\mathscr{T}_{2}$ ，且 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ 可逆。

2．若 3 阶可逆阵 $A$ 交换 1,2 行得矩阵 $B$ ，再将矩阵 $B$ 的第 2 行加到第 3 行上得到矩阵 $C$ ，则满足 $\displaystyle P A=C$ 的矩阵 $\displaystyle P=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶非零实方阵，$E$ 为 3 阶单位阵，$A$ 与 $B$ 相似，且 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $$ A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3) $$ 其中 $\displaystyle A_{i j}$ 为元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，记 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，又已知 $\displaystyle |E+B|=|E-B|=0$ ，求 $$ \left|A^{*} B+2 A^{*}+2 B+4 E\right| $$

11．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle A=T J T^{-1}$ 。

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换 $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆． （3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

9．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$\displaystyle r(A)+r\left(E_{n}-A\right)=n$ ． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}E_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) P^{-1}$ ，其中 $\displaystyle r(A)=r$ ．

七．（15 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$ 为可逆矩阵，满足 $\displaystyle A B A=B$ 且 $\displaystyle B A B=A$ ，证明：$\displaystyle A^{4}=B^{4}=I$ ．

九．（15 分）对非负整数 $n$ ，已知 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆．求证： $\displaystyle \operatorname{dim} V=1$ ．

一．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 可对角化，且 $\displaystyle B A^{2}=A+B$ ．证明： （1） 1 不是 $A$ 的特征值． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵。

二．求一个矩阵 $A$ ，使得它的伴随矩阵是 $\displaystyle A^{*}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right)$ ．

6．多项式 $x^{3}-1$ 与 $x^{5}-1$ 的最大公因式为 1 ．

8．若 $U, V$ 时 $\mathbb{F}^{n}$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=n$ ，则 $\mathbb{F}^{n}=U \oplus V$ ．

3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$ （2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1

6．设 $n$ 阶矩阵 $A=-E_{11}-2 E_{22}-3 E_{33}-\cdots-n E_{n n}$ ，则与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $\_\_\_\_$

2．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵，$\displaystyle B^{\mathrm{T}}=C$ ． （1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵． （2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．

7．（15 分）设矩阵 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，证明：矩阵 $A$ 能唯一地分解为 $\displaystyle A=Q U$ ，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\displaystyle U=\left(u_{i j}\right)_{n \times n}$ 是上三角矩阵且对角元 $\displaystyle u_{i i}(1 \leq i \leq n)$ 均为大于 0 的实数．

12．设 $f(x)=x^{2}+2 x+3, g(x)=x^{3}-2$ ． （1）求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $(f(x), g(x))=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ． （2）将分数 $\frac{1}{3+2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$ 的分子分母乘以适当根式将分母有理化．

19．设 $\alpha$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非零向量，向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足 （1）$\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0,1 \leq i \leq n$ ． （2）$\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0, i, j=1,2, \cdots, n ; i \neq j$ ． 证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关。

1．设矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $|A|>0$ ，且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+2 E$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $B=$ $\_\_\_\_$。

3．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）判断 $A$ 的特征多项式是否有有理根，并说明在有理数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 是对角矩阵。 （2）判断 $A$ 的特征多项式在复数域上有无重根，并说明在复数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$是对角矩阵。

三、（本题15分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right|=|A|\left(1-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ，其中 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量。fl：行列式

五、（本题20分）设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，求证： （1）$A$ 的特征值全大于 0 ； （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=E, P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。 fl ：矩阵

1．$\displaystyle A, B$ 均为 3 阶方阵，$\displaystyle |A|=5,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=4$ ，则 $\displaystyle \left|A+B^{-1}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经过可逆线性替换化为 $\displaystyle y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．（可能有误）矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$ ，其最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)(\lambda-2)^{3}, A-I$ 不可逆，则复空间 $\displaystyle V=\{B \in \left.\mathbb{C}^{5 \times 5} \mid A B=B A\right\}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ． （1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ； （2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．

四．（15 分）$A$ 为 $\displaystyle 3 \times 4$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda I_{4}-B A\right|=\lambda\left|\lambda I_{3}-A B\right|$ ； （2）若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 每行元素之和均为 $\displaystyle 1, B A-2 I$ 不可逆，求 $\displaystyle |B A+2 I|$ ．

2．设 $\displaystyle A, C$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right)$ 是正定矩阵。 （1）证明：$\displaystyle C-B^{T} A^{-1} B$ 正定； （2）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right| \leq|A| \cdot|C|$ ．

5．若矩阵 $\displaystyle A^{T}=A, B^{T}=-B, A B=B A$ 且 $A$ 可逆，$\displaystyle C=A^{-1} B$ ． （1）证明：$C$ 为反对称矩阵； （2）设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，记线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A}: \alpha \rightarrow C \alpha, \forall \alpha \in V $$ 证明： $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha) \perp \alpha, \forall \alpha \in V$ ． （3）证明：$\displaystyle C^{2}$ 非负定．

5、特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\_\_\_\_$类．

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

9、令 $\mathscr{A}$ 是 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha, \mathscr{A} \alpha, \mathscr{A}^{2} \alpha$ 线性表出，且 $2 \alpha-5 \mathscr{N} \alpha+4 \mathscr{N}^{2} \alpha-\mathscr{N}^{3} \alpha=0$ ． （1）求 $\mathscr{A}$ 的全部特征值与特征向量． （2）是否存在 $V$ 中的一组基， $\mathscr{A}$ 在此基下为对角阵，若存在，求出此基，若不存在，请说明理由．

六．（15 分）（学硕）设 $A$ 为 $m$ 阶复方阵，$B$ 为 $n$ 阶复方阵。若 $A$ 与 $B$ 没有公共的特征值，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解． （20 分）（专硕）设 $\displaystyle A, B$ 和 $C$ 是三个 $n$ 阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 是幂零矩阵，$C$ 是可逆矩阵．若它们满足 $\displaystyle A B=B A$ 和 $\displaystyle A C=C A$ ．证明：1．$\displaystyle A+B$ 是幂零矩阵；2．$\displaystyle A+C$ 是可逆矩阵．

3．（8 分）设 $B$ 是一个 3 阶矩阵且满足 $A B=B A$ ，证明：$B$ 也可对角化．

一．（12 分）设 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，考虑增广矩阵 $\displaystyle B=(A, P)$ ，其中 $A$ 是 3 阶方阵．若 $B$ 经过若干次初等行变换化为 $$ \left(\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) . $$ 证明：$A$ 可逆，并求 $\displaystyle A^{-1}$ ．

五．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $G$ ，满足 $\displaystyle A G A=A$ ，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆．若 $A$为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且满足 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}I_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) Q$ ，其中 $\displaystyle P, Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵。证明：$A$ 的全部广义逆可表示为 $$ G=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc} I_{r} & C \\ D & F \end{array}\right) P^{-1} $$ 其中 $\displaystyle C, D, F$ 分别是任意的 $\displaystyle r \times(m-r),(n-r) \times r,(n-r) \times(m-r)$ 矩阵．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

2．设 $\displaystyle A, B, C$ 及 $D$ 均为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵且 $D$ 可逆，令 $$ M=\left(\begin{array}{cc} O & A D \\ C & B \end{array}\right) $$ 用 $\displaystyle r(A)$ 表示矩阵 $A$ 之秩，证明：$\displaystyle r(M) \geq r(A)+r(C)$ ．

5．设 $A$ 是 $n$ 级半正定矩阵，$D$ 是 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵． （1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定． （2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．

3．如果把复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，即两个复 $n$ 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有 $\_\_\_\_$类。

4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义： $$ \sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right) $$

3）问 $V$ 是否为 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的直和．（本题20分）

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．已知 $|A-E|=|A-2 E|=|A+E|=2$ ，求 $|A+3 E|$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

2、多项式 $f(x)$ 满足，$x-1$ 除 $f(x)$ 余 $5, x+2$ 除 $f(x)$ 余 2 ，求 $(x-1)(x+2)$ 除 $f(x)$的余式。

5、 $W=\left\{\left(x_{0} x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}+x_{0}+\cdots+x_{n}=0\right\}$ 的补空间 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

2、（16 分）线性空间 $V=\left\{a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{i} \in P\right\}$ ，线性变换 $$ \sigma\left(a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\right)=a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1} $$ （12 分）（1）求 $\sigma(V)$ 与 $\sigma^{-1}(0)$ 的维数和基． （4 分）（2）$V$ 是否可以表示为 $\sigma(V)$ 和 $\sigma^{-1}(0)$ 的直和．

4、（16 分）非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{3}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3\end{array}\right.$ ，有 3 个线性无关的解． （5 分）（1）记 $A$ 为方程组的系数矩阵，证明：$r(A)=2$ ． （5 分）（2）求 $a, b$ 的值． （6 分）（3）求方程组的解．

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

2．求解微分方程 $y^{\prime \prime}-y=x e^{x} \cos x$ ．

3．求 $x^{\prime}=A x$ 的基础解系，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．

3．（10分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维实的列向量，证明：$A^{-1}$ 与 $A+\alpha \alpha^{T}$ 均为正定矩阵，其中 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置。

5．（15分）设 $A, B$ 为 3 阶复方阵，且都只有一个特征值 $\lambda_{0}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $$ \operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(A)\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(B)\right) $$

2、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ． 证明： （1）$n$ 为偶数． （2）矩阵 $B$ 的秩 $\displaystyle r(B)=n$ ．

5、（20 分）对于方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{~d} t}=A(t) X$ ，其中 $\displaystyle A(t)$ 的每个元素 $\displaystyle a_{i j}(t)$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数，且 $\displaystyle X(t)$ 为方程的基解矩阵。证明：$\displaystyle X(t+T)$ 也是方程组的解，且存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle X(t+T)=B X(t)$ ．

6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明： （1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ． （2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $$ \operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) . $$ ## 2025 年山东大学常微分方程考研真题

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量． （2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型． （3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

3．求正交变换 $X=Q Y$ 化 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

1．证明 $U, W$ 为 $V$ 上的子空间．

4．设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\displaystyle A=\alpha \alpha^{T}, n$ 为正整数，求行列式 $\displaystyle \left|a E-A^{n}\right|$ 的值

5. （1）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 时，求该二次型的最大值。 （2）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中： $\displaystyle \bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ ，求此二次型的矩阵和秩

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

8．设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $V_{1}$ 的维数小于 $V_{2}$ 的维数，则 $V_{2}$ 中 $\_\_\_\_$ （选填＂必有＂＂未必有＂＂必没有＂）一非零向量正交于 $V_{1}$ 中的所有向量。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

2．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 不可逆，且 $A_{11} \neq 0$ ，则 $\_\_\_\_$是 $A$ 的伴随矩阵的行向量组的一个极大线性无关组。

二．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right), X=(1, b, 1)^{T}$ 是 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，求 $a$ ．$\displaystyle b, \lambda$ 的值，并讨论 $A$ 是否可以相似对角化．

四．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$ 的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A$ ．

三．若 $A$ 是可逆实矩阵，证明：存在正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角阵且对角元全为正数．

五．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), 0<\operatorname{rank} A<n, \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} A^{2}$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}$ ．

六．$A$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，且非对角元均小于 0 ，证明：$\displaystyle A^{-1}$ 的所有元素都大于 0 ．

四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明： $\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.

3．$V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个 $n-1$ 维子空间，$V_{1} \neq V_{2}$ ， $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

6．矩阵 $A=$ ？的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

六．设 $A$ 是可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$和正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle A=Q S$ 。

3．向量 $\alpha_{1}=(a, 1,-1,1), \alpha_{2}=(1,1, b, a), \alpha_{3}=(1, a, 1,-1)$ ．当 $a=$ $\_\_\_\_$时，对任意 $b$ 都使得向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 2 。

七．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂零的线性变换．证明：存在 $\displaystyle \sigma$ —子空间 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，满足 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，且 $\displaystyle \sigma \mid V_{1}$ 为可逆变换，$\displaystyle \sigma \mid V_{2}$ 为幂零变换．

4．设 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 为 $n$ 维实列向量． （1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 等价于 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 。 （2）当 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 时，求 $\displaystyle r(A)$ ．

6．解答如下问题： （1）设 $A$ 为上三角矩阵也为正交矩阵．证明：$A$ 为对角矩阵，且对角线元素为 $\displaystyle \pm 1$ ． （2）设 $B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 和主对角线元素大于零的上三角矩阵 $R$ ，使得 $\displaystyle B=Q R$ ，并且这种分解是唯一的．

2、已知 $\displaystyle A+B=A B$ ． （1）证明 $\displaystyle A+E$ 可逆．并求 $\displaystyle (A+E)^{-1}$ ． （2）证明 $\displaystyle A B=B A$ ． （3）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}2 & & \\ & 1 & 2 \\ & -3 & 1\end{array}\right]$ ，求 $B$ ．

三．（14 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆方阵，$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 为 $P$ 上的 $n$ 维列向量． （1）试用分块矩阵理论证明：$\displaystyle \left|A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right|=|A|\left(1-\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ． （2）当 $\displaystyle \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha=k \neq 1$ 时，求 $\displaystyle A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 的逆矩阵。

十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹． （1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型． （2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．

8．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是一个幂零矩阵（即，存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ），定义矩阵 $\displaystyle \exp (A)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}$ 。证明： $\displaystyle \exp (A)$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \exp (A)^{-1}=\exp (-A)$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶非零矩阵， $$ A_{i}^{2}=A_{i}(i=1,2, \cdots, n), A_{i} A_{j}=0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) . $$ （1）．证明：$\displaystyle A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 都可以对角化； （2）．求数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{1} P, P^{-1} A_{2} P, \cdots, P^{-1} A_{n} P$ 为对角矩阵。

7．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in R^{2 \times 2}$ ，且 $$ A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=0 $$ 证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$

8．（20 分）已知实矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & b_{1} & & & \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_{n} \end{array}\right) $$ 满足 $\displaystyle b_{i} c_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．求证：$A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值． （提示：先考虑 $\displaystyle b_{i}=c_{i}(i=1,2, \cdots, n-1)$ 的特殊情况；对一般情形，试找出一个实对角可逆矩阵 $D$ 使得 $\displaystyle D^{-1} A D$ 符合该特殊情形。）

5．（13 分）设 $\displaystyle A, B$ 是同阶方阵，若 $A$ 可逆，证明 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 相似。问当 $A$ 不可逆时，结论是否成立？

9．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的非零多项式，$A$ 是 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶方阵。 （1）证明：若 $\displaystyle g(A)$ 可逆，则 $$ f(A) g(A)^{*}=g(A)^{*} f(A) $$ 其中 $\displaystyle g(A)^{*}$ 为 $\displaystyle g(A)$ 的伴随矩阵。 （2）$\displaystyle g(A)$ 不可逆时，结论是否成立？

6．（15 分）设 $f$ 与 $g$ 是从有限维线性空间 $U$ 到有限维线性空间 $W$ 的两个线性映射．若 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(g)$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 是 $f$ 的像，证明：存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ ，使得 $\displaystyle g=f \circ h$ ．

8．（20 分）$\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$ 为 2 阶可逆复矩阵集合，$V$ 是迹为 0 的 2 阶复矩阵构成的复线性空间。若 $V$的一个线性子空间 $W$ 满足：$\displaystyle \forall P \in G L_{2}(\mathbb{C})$ 与 $\displaystyle \forall A \in W$ ，总有 $\displaystyle P^{-1} A P$ 落在 $W$ 中，称 $W$ 为 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$－不变子空间。求证：$V$ 的 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})-$ 不变子空间只有零空间和 $V$ 。

7．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是二阶复方阵，且 $\displaystyle A, B, C$ 在 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 中线性无关。求证：存在复数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$使得 $\displaystyle x_{1} A+x_{2} B+x_{3} C$ 是可逆矩阵。

8．（20 分）（1）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ．求证：若存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ ，则 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ 。 （2）．设可逆矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ ．求证：存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in\{a \bar{A}+b E \mid a, b \in \mathbb{C}\}$ 使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ 。（ $\displaystyle \bar{A}$ 为 $A$ 的共轭矩阵，$E$ 是指单位矩阵。）

9．（10 分）设 $n$ 为奇数，$\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ 且 $\displaystyle A^{2}=0$ ，求证：$\displaystyle A B-B A$ 不可逆．

3．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A(t)=\left(a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ 中元素（ $\displaystyle a_{i j}(t)$ 为实变量 $t$ 的可微函数。记 $\displaystyle A^{\prime}(t)= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ ．证明：若对 $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},|A(t)|>0$ ，则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right) $$

7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足 $$ <\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V . $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．

9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ． （b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式 $$ A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{2}^{\top} & A_{4} \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ． （c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\} $$

4．证明：对任何可逆复矩阵 $\displaystyle A \in G L_{n}(\mathbb{C})$ 以及任意正整数 $k$ ，矩阵方程 $\displaystyle X^{k}=A$ 一定有解．

10、设 $A=J_{2025}(0)$ ，复线性空间 $V=\left\{X \in M_{2025}(\mathbb{C}) \mid A X=X A^{2}\right\}$ ．则 $\operatorname{dim}(V)=$ $\_\_\_\_$。

14、设 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是正惯性指数为 1 的实对称矩阵，$V$ 是实数域上 $n$ 维列向量空间，定义 $V$ 上的双线性型：$f(u, v)=u^{T} A u,(\forall u, v \in V)$ ．设 $u \in V$ 满足：$f(u, v)>0$ ，证明：对 $\forall v \in V$ ，有 $f(u, u) f(v, v) \leq f^{2}(u, v)$ ，等号成立时，当且仅当 $\exists r \in \mathbb{R}$ ，使得 $f(w, v)=f(w, r u),(\forall w \in V)$ ．

5．设线性空间 $V$ 和它的三个线性子空间 $V_{1}, V_{1}, V_{3}$ 满足 $\operatorname{dim} V=9, \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim} V_{3}=4$ ， $V=V_{1}+V_{2}+V_{3},\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\{0\}$ ．则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶整数矩阵（即 $\displaystyle A, B$ 的元素都是整数），且 $\displaystyle A B=E-A$ ，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位阵。 （1）（7 分）求证：$\displaystyle |A|= \pm 1$ ． （2）（8 分）设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A$ ．

9．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，且 $\displaystyle A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=O$ ． （1）（10 分）证明：矩阵 $A$ 的特征值一个为 1 ，另一个为 -1 ． （2）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．

6．$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$W$ 为其子空间，$\displaystyle \eta_{0} \in V$ ，存在 $\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in \mathbb{V}}\left|\xi-\eta_{0}\right|_{0}$ （1）证明：$\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in W}\left|\xi-\eta_{0}\right|$ 当且仅当 $\displaystyle \eta-\eta_{0} \perp W$ ： （2）$\displaystyle \eta_{0}$ 为单位向量，则 $\displaystyle \eta_{0}$ 与 $W$ 的距离为 1 当且仅当 $\displaystyle \eta_{0} \perp W$ 。

10．已知 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C, C^{\prime} B C$ 同时为对角矩阵．

3．设 $\displaystyle A, B$ 都是二阶实对称矩陏，且 $\displaystyle A, B$ 的行列式都为负数．证明：存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C=B$ ．

4．已知 $A$ 是元素均为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle \sqrt{3}$ 为 $A$ 的一个特征值． （1）证明：$\displaystyle -\sqrt{3}$ 也为 $A$ 的一个特征值； （2）证明：$\displaystyle n=3$ 时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

5．设 $V$ 是数域 $P$ 上所有二阶矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=X^{*}, X \in V$ ，其中 $\displaystyle X^{*}$为 $X$ 的伴随矩阵。 （1）证吅 $f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵，并求 $V$ 的一组基，使得 $f$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，并求出对角阵。

2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。

3．（20分）设 $A$ 为 3 阶方阵，$E$ 为 3 阶单位阵。 （1）若 $\displaystyle |E-A|=|-E-A|=|2 E-A|=0$ ，求 $\displaystyle |3 E-A|$ ． （2）若 $\displaystyle |E-A|=1,|-E-A|=-1,|2 E-A|=2$ ，求 $\displaystyle |3 E-A|$ ．

6．（10 分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, a_{i j}$ 不全为零，$\displaystyle A_{i j}$ 表示其代数余子式，且满足 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2, \cdots)$ ．证明：$A$ 可逆．

5．$n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ ． （1）证明：$\displaystyle |A+B|^{2}=|A||B|$ ． （2）$\displaystyle A, B$ 是实矩阵，证明：$\displaystyle |A|=|B|$ ． （3）$\displaystyle A, B$ 是复矩阵，$\displaystyle |A|=|B|$ 是否成立？

3． 4 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-2,-1,1,2$ ，则 $\left|A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$。

五．（12 分）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E$ ，证明：$\displaystyle r(E-A)+r(E+A)=n$ ．

4．设 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ a & 2 & -b \\ 2 a & -3 a-2 & 3 a+b\end{array}\right)$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，则 $a, b$ 依次为 $\_\_\_\_$ ．

5．设 $A$ 为一个 3 阶方阵，且 $|A+E|=|A+2 E|=|A+3 E|=0$ ，求 $\left|A-A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

八．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，且 $A$ 与 $B$ 相似． （1）（5 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值． （2）（10 分）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．

六．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & 2 a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，且 $A$ 与 $B$ 合同． （1）（ 5 分）求 $a$ 的值． （2）（10 分）求一可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C=B$ ．

2．若 5 阶矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=-1, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

二．设 $\displaystyle A, B$ 均为 2 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}, B^{*}$ 分别为 $\displaystyle A, B$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle |A|=-2,|B|=-4$ ，请给出分块矩阵 $$ \left(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right) $$ 的伴随矩阵（用 $\displaystyle A^{*}, B^{*}$ 表示）．

3．三条直线 $a_{i} x+b_{i} y+c_{i}=0$ 满足 $a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \neq 0$ ，记 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, a_{2}\right), \beta=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \gamma=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ ，则三条直线相交于一点的充要条件是 $\_\_\_\_$ ． A．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关． B．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，$\alpha, \beta$ 线性无关． C．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关． D．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，且任意两个都线性无关．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：$A$ 可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积．

八．$A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\displaystyle 1,-1$ 不是 $A$ 的特征值． （1）求证：$\displaystyle A^{2}-E$ 是可逆矩阵． （2）证明：存在次数小于等于 $\displaystyle n-1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(A)=\left(A^{2}-E\right)^{-1}$ ．

10．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $\displaystyle n-1 \leq R(A) \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 均为对角矩阵（20分）

5．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。 （1）证明：$\displaystyle |A|=|A|^{n-1}$ ； （2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right), B$ 满足 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{-}\right]^{-1} B A^{-1}=2 A B+12 E$ ，求 $B$ 。

8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标． （3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$

7、设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \beta^{\top} & \alpha\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \beta$ 为 $\displaystyle n-1$ 阶列向量． （1）证明：$\displaystyle \alpha-\beta^{\top} A_{1} \beta>0$ ． （2）若 $A$ 的非对角线元素都不大于零，即 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ ，当 $\displaystyle i \neq j$ 时，$\displaystyle a_{i j} \leq 0$ ，证明： $\displaystyle A^{-1}$ 的元素都非负．

11．（15 分）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ -b & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1+a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & 1+a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{2} b_{n} & \cdots & 1+a_{n} b_{n}\end{array}\right], \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T}, \beta= \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{T}$. （1）证明 $\displaystyle |A|=1+\beta \alpha^{T}$ （2）$B$ 可逆当且仅当 $\displaystyle \beta \alpha^{T} \neq-1$ （3）$B$ 可逆，求 $B$ 的逆矩阵。

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

4．（5 分）设 2 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式是 $\displaystyle f(x)=x^{2}-10 x-24$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

五．（15 分）设 $$ \alpha=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 & 11 \\ 4 & 8 & 12 & 17 \end{array}\right)-\frac{1}{30^{2025}}\left(\alpha \alpha^{\prime}\right)^{2026}, B=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）求矩阵 $A$ ． （2）若 $X$ 满足 $\displaystyle X\left(E-B^{-1} A\right)^{\prime} B^{\prime}=E$ ，求矩阵 $X$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值为 1 或 0 ． （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ．

6．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, n \geq 2$ 的矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

1．证明方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 2 ；

一．已知三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & a \\ -1 & -1 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle f(x)=|x E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 是 $A$ 的最小多项式． （1）求 $a$ 及 $\displaystyle f(x)$ ； （2）求 $A$ 的初等因子； （3）$A$ 是否与对角矩阵相似？请说明理由．

七．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=A+B$ ．证明： （1）$\displaystyle A B=B A$ ； （2）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $A$ 的特征值； （3）若 $A$ 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为对角阵．

二．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & b\end{array}\right)$ 有特征向量 $\displaystyle \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵； （3）求 $\displaystyle A^{2022}$ ．

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．

5．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=4 B+3 A-10 E$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ． （2）若 $A$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵．

8．已知 $\displaystyle A B-B A=a A$ ．证明： （1）若 $\displaystyle a \neq 0$ ，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为上三角矩阵． （2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle r(A+B)+r(A B) \leq r(A)+r(B)$ ．

6．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{cc}0 & A \\ C & 0\end{array}\right)$ ，已知 $\displaystyle A, C$ 可逆，求 $\displaystyle X^{-1}$ 。

六、 证明对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ ，存在可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{\prime} B$（20 分）

四、设 $\displaystyle A, B$ 分别为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle E-A B$ 可逆，则 $\displaystyle E-B A$（20 分）

七、（20分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明： （1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ； （3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

三、（15 分）设 $A$ 为正定矩阵，$B$ 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}, P B P^{T}$ 同时为对角矩阵。

二、（本题 20 分）已知矩阵 $$ A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right] $$ 矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。

2、不变子空间

六、（15分）设 $A$ 为复系数 $n$ 阶方阵，求证：$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵。

七、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1\end{array}\right)$ ，问矩阵 $A$ 是否可以对角化？若 $A$ 可以对角化，求出一个可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成对角形．

五、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，（1）求 $A$ 的逆矩阵 $\displaystyle A^{-1}$ ；（2）求矩阵 $X$ 使得 $\displaystyle A X=B$ ．

四、（15 分） 已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。

七、（20分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记 $$ W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ； （2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．

六、（15 分） 已知 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 4\end{array}\right]$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+3 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。

三、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵的特征向量，求 $t$ 的值。

六、（15分） 设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足 $$ A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3} $$ （1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ； （2）求矩阵 $A$ 的特征值； （3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。

十、（15 分） 已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中 $$ A_{1}=U\left[\begin{array}{ll} T & S \\ 0 & 0 \end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & N \end{array}\right] U^{H}, $$ $\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。 （1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩； （2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解； （3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。

七、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且 $$ \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} . $$ （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换； （2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。

四、（15 分） 已知矩阵：$\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A$ 的逆矩阵．

七、（15分） 已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换： $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right), $$ （1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．

八、（15 分） 设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．

四、（15 分） 设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A^{*} X=A^{-1}+2 X$ ，其中 $\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，求矩阵 $X$ 。

八、（15 分） 设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换 $$ \sigma x=A x, \quad \forall x \in V, $$ （1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的； （2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆； （3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．

十、（15 分） 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明： （1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ； （2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．

四、（15 分） 设 $A$ 为 $n$ 阶非零实方阵，$\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle A^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的转置矩阵，当 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ 时， 证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，若 $\mathscr{A}$ 不改变向量的距离，即 $|\mathscr{A} \alpha-\mathscr{A} \beta|=|\alpha-\beta|$ 对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 成立。证明： $\mathscr{A}$ 是正交变换．

1．已知 $X, Y$ 为三维列向量，$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵． （1）（10 分）对任意的实数 $a$ ，证明：$\left|\begin{array}{cc}a & X^{T} \\ Y & A\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ ． （2）（10 分）已知 $A$ 的所有特征值的和为 $1, A$ 的所有特征值的积为 -12 ，并且 $(1,0,-2)^{T}$ 为 $\left(A^{*}-4 E\right) X=0$ 的解．对于下列四元二次型，用正交替换化为标准形． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc} x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ -x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ -x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ -x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| $$

3．设 $f(x, y, z)=x^{2}+t y^{2}+z^{2}+2 x y-2 t x z-2 y z$ 的正负惯性指数都为 1 ，求 $t$ 的值．

5．设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：$A B$ 与 $B A$ 有相同的特征多项式．

6．设 $\mathscr{A}$ 为欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W \subseteq V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，证明：$W^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\operatorname{Hom}(V)$ 表示 $V$ 上所有线性变换构成的线性空间．任取 $\mathscr{A} \in \operatorname{Hom}(V)$ ． （1）令 $C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in \operatorname{Hom}(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$C(\mathscr{A})$ 是 $\operatorname{Hom}(V)$ 的子空间． （2）设 $\mathscr{A}$ 在 $P$ 中有 $n$ 个不同的特征值，求 $C(\mathscr{A})$ 的维数和一组基． （3）写出 $\operatorname{Hom}(V)$ 上的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\operatorname{Ker} \sigma=C(\mathscr{A})$ ．

1．求 $|A|$ ．

1．求 $A$ 的 Jordan 标准型 J．

四．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $\displaystyle A B$ 满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{2025}+x+1$ ，求证：$\displaystyle I+A B$可逆．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。

8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2026 & 2 & -2 \\ 2 & 2029 & -4 \\ -2 & -4 & 2029\end{array}\right)$ ，记 $M=\left\{B \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}$（即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合），求 $\operatorname{dim} M=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1+a & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2+a & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n & \cdots & n+a \end{array}\right) . $$ 求 $\operatorname{det} A$ ，判断 $a$ 为何值时，$A X=0$ 有非零解，并求该非零解．

3．设 $\displaystyle \mathbb{Q}[A]=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & \sqrt{2} \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，证明： $\displaystyle \mathbb{Q}[A]$ 中的非零矩阵均为可逆矩阵．

八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证： （1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．

四、设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ，证明： （1）$\displaystyle A-E_{n}$ 可逆； （2）$\displaystyle A B=B A$ ．

4．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ，其中 $\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵．

8．（15分）有一个 6 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} a & -b & & & & \\ b & a & 1 & & & \\ & & a & -b & & \\ & & b & a & 1 & \\ & & & & a & -b \\ & & & & b & a \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $\displaystyle b \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $A$ 的若尔当标准形．

六．（15 分）设 $\displaystyle A=\binom{A_{1}}{A_{2}}$ 是数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 阶可逆分块矩阵，记 $$ W_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{1} X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{2} X=0\right\} $$ 证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{-1}$ 的后 $\displaystyle n-r$ 行全为零．

九．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级正交方阵，若 $\displaystyle |A| \neq|B|$ ，证明：$\displaystyle A+B$ 是不可逆矩阵．

六．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是 $n$ 级方阵，且 $A$ 和 $B$ 都可逆，证明：矩阵 $$ M=\left(\begin{array}{cc} A & A \\ C-B & C \end{array}\right) $$ 可逆，并求矩阵 $M$ 的逆．

10．（20分）设 $n$ 级实矩阵 $A$ 与 $B$ 都可对角化，即存在可逆矩阵 $S$ 与 $T$ ，使得 $\displaystyle S^{-1} A S$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 都是对角矩阵。证明：当 $\displaystyle A B=B A$ 时，存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $A$ 与 $B$ 可同时对角化，即 $\displaystyle C^{-1} A C$ 与 $\displaystyle C^{-1} B C$ 都是对角阵。

8．（20 分）设 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 级可逆阵，证明：存在实数域上的 $n$ 级正定阵 $P$ 和 $n$ 级正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ ，并且这一分解式是惟一的．

七．（15 分）设 $V$ 是数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域，$\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核．证明： （1）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right) \geq \frac{n}{2}$ ． （2）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right)=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $\displaystyle \sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$ ．

三．（15 分）设 $A$ 是数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且存在 $n$ 维非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，满足 $\displaystyle A \alpha=0$ ．证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A^{*} X=\alpha$ 有解当且仅当秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

八．（15 分）设 $A$ 为实对称矩阵，$S$ 为实反称矩阵，$\displaystyle A S=S A, A$ 可逆，证明：$\displaystyle A-S$ 可逆，且 $$ (A+S)(A-S)^{-1} $$ 为正交矩阵。

4．设 $\alpha$ 为3 维列向量，$\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，如果 $\alpha \alpha^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

5．设 $R$ 为实数域，集合 $T=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}u & v & u \\ v & x+y & x \\ u & x & u\end{array}\right) \right\rvert\, u, v, x, y \in R\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$ ，维数为 $\_\_\_\_$ －．选择题（将正确答案的选项填入括考中，本题共 25 分，每小题 5 分）

4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$

1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ， $Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($ （A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

2．若实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 合同，且 $X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ ，则 $X^{T} A X$ 的规范形为 3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{array}\right)$ ，齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数为 2 ，则 $t=$ 4．设 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$A^{*}, B^{*}$ 分别为它们的伴随矩阵，$|A|=2,|B|=-4$ ，则 $\left|A^{*} B^{-1}-A^{-1} B^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

2．把复数域看成它自身上的线性空间，它的维数是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$

七．（共25分）设 $\displaystyle G=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵。 （1）若 $A$ 可逆，证明 $G$ 的行列式 $\displaystyle |G|=|A|\left|D-C A^{-1} B\right|$ ； （2）设 $E$ 是 $n$ 级单位矩阵。令 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}0 & E \\ -E & 0\end{array}\right)$ ，若矩阵 $G$ 满足 $\displaystyle G M G^{Y}=M$ ，证明 $G$ 的行列式等于 1 。

2．（25 分）已知 3 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ k & -1 & k \\ 4 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，且存在可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵。 （1）求 $k$ 的值． （2）求矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角阵。 （3）求 $A^{m}(m \geq 2)$ ．

3．（25 分）$V=\left\{\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i} \mid a_{i} \in \mathbb{R}\right\}, \sigma$ 为 $V$ 中的线性变换，对任意的 $g(x) \in V$ ，有 $\sigma(g(x))=g(x)+g^{\prime}(x)$ 。 （1）求 $\sigma$ 在基 $\left\{1, x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{3!}, \cdots, \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right\}$ 下的矩阵。 （2）求 $V$ 中所有 $\sigma$ 不变子空间的个数，并证明你的结论。

三．设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵．证明： （1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵； （2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵； （3）-1 不是 $T$ 的特征值．

五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明： （1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ； （2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？ （2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

6．（20 分）考虑实对称矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$ ． （1）若 $A$ 可逆，证明：$\displaystyle |B|=|A|\left(1-\alpha^{T} A^{-1} \alpha\right)=\left|A-\alpha \alpha^{T}\right|$ ； （2）证明：矩阵 $\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 正定，且 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ ．

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

2、设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ，且存在可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵． （1）求 $k$ 的值． （2）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 以及相应的对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ ．

3．设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，满足 $\displaystyle A^{2}=A, B, C$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A)+r\left(A-E_{n}\right)=n$ ． （2）若 $\displaystyle E_{n}+C^{\mathrm{T}} B$ 可逆，则 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 可逆，并求 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 的逆．

4．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。 （2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

八、（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是有限维线性空间 V 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma(\mathrm{V})$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间。

六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明： （1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ， （2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ． 这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。

6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明：存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $A B A=A$ 且 $B A B=B$ ．

18．设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵．证明： （1）对任意 $m$ 维实向量 $\beta$ ，线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必有解． （2）若 $X_{0}$ 是线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 的解，则在欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，均有 $d\left(\beta, A X_{0}\right) \leq d(\beta, A \alpha)$ ，其中 $d(X, Y)$ 表示向量 $X, Y$ 的距离．

2．（5 分）设 $\varphi:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b}$ ，则 $\varphi$ 在基 $\binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

5．（5 分）设 $f(x)=\prod_{j=1}^{2026}\left(x^{2}+j\right)^{j^{2}+j+1}, d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的首一最大公因式，则 $f(x)$ 除以 $d(x)$的商为 $\_\_\_\_$ ．

13．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $A B=B A$ ．证明：若 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ 使得 $B^{k}=O$ ），则 $A+B$ 可逆．

四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。 五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． 1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值； 2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

1、（6 分）求 $f(x)$ 全部有理根．

1、（5分）求 $D_{3}$ ．

5、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实矩阵，证明：如果存在一个复可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $$ P^{-1} A P=B, $$ 那么一定存在一个实可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q=B$ ．

5．设 $\displaystyle A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ 且 $\displaystyle |\lambda|<\delta$ 时，$\displaystyle \lambda E+A$ 可逆． （2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} A(\lambda E+A)^{-1}$ 存在的充分必要条件是 $\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

6．（可能有误）设 $A$ 为三阶可逆实对称矩阵，证明下面两个命题等价： （a） $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ． （b）对任意三阶实反对称矩阵 $S$ ，存在三阶实反对称矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B A=S$ ．

10、（15 分）$\displaystyle \varepsilon_{1} \cdots \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 可逆当且仅当 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_{n}\right) $$ 线性无关．

5、（15 分）$\displaystyle B^{3}=0$ 问：$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}E & B \\ B & E\end{array}\right)$ 可逆吗？求 $\displaystyle M^{-1}$ ．

4．设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$C$ 为 $n$ 阶方阵，$D$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶方阵。证明：矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}A & D \\ B & C\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是，$\displaystyle A, B, C$ 均可逆，并在可逆时用 ，$\displaystyle A, B, C$ 及其逆矩阵表示 $\displaystyle M^{-1}$ 。

9．设 $A$ 是数域 $P$ 上的一个 $n$ 阶可逆方阵，$A$ 的前 $r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{1}$ ，后 $\displaystyle n -r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{2}, n$ 元线性方程组 $\displaystyle A_{1} x=0$ 与 $\displaystyle A_{2} x=0$ 的解空间分别为，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 。

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

13．设 $\displaystyle A_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 个非零矩阵，满足 $$ A_{i k} A_{l j}= \begin{cases}A_{i j}, & k=l \\ O, & k \neq l\end{cases} $$ 证明：存在公共的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{i j} P$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 。其余元素为 目的矩阵。

4．正交矩阵的复特征值一定是 -1 或 1 吗？为什么？

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

4、（20分）设 $N$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，即存在自然数 $k$ ，使得 $\displaystyle N^{k}=O$ 。 （1）证明：$\displaystyle N+E$ 可逆，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。 （2）若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\displaystyle A N=N A$ ，证明：$\displaystyle A+N$ 可逆．

5、（20 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha} \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $n$ 维列向量．若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 正定，证明：$\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定时当且仅当 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ 。

6．（15 分）设 4 阶方阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & a & b & 1\end{array}\right)$ ．若 4 阶方阵 $A$ 在复数域上可对角化。 （1）求 4 阶方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式。 （2）确定 $a$ 和 $b$ 的值． （3）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角方阵．

3．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为4维列向量组，且满足 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{4}$ ， $\beta=\alpha_{1}+\alpha_{3}+3 \alpha_{4}$ ，则非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的通解为 $\_\_\_\_$

6．设 $n$ 阶矩阵 $A=-E_{11}-2 E_{22}-3 E_{33}-\cdots-n E_{n n}$ ，则与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $\_\_\_\_$

10．已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$ ，则 1 $\_\_\_\_$ （填＂一定＂或＂不一定＂）是 $A$ 的特征值。

五、（15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵，证明：$\displaystyle A-B^{2}$ 可逆．

八、（20分） 已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ． （1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化； （2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形； （3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。

四、（15 分） 设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 可逆，证明：$\displaystyle A, B$ 的秩相同．

2．设 $S_{1}, S_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-z-2 w=0 ; \\ y+2 z+w=0 .\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y+z=0 ; \\ 6 x+13 y-w=0 .\end{array}\right.$ 的解空间． （1）求两个齐次线性方程组的通解． （2）求 $S_{1}+S_{2}$ 与 $S_{1} \cap S_{2}$ 的基与维数．

9．设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=\beta$ 有解．证明： （1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ． （2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）

9．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{cccc} a & 1 & & \\ & a & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & a \end{array}\right] $$ （1）设 $\alpha_{n}$ 为 $\mathscr{A}$ —子空间 $W$ 的一个向量，证明：$W=V$ ． （2）证明：$\alpha_{1}$ 属于所有非零的 $\mathscr{A}-$ 子空间． （3）证明：$V$ 不能表示为两个非平凡的不变子空间的直和．

3．是否存在特征多项式为 $x^{6}-4 x^{5}+6 x^{4}-8 x^{3}+9 x^{2}-4 x+4$ 的实对称矩阵？说明理由．

2．设 $A, B, C$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 可逆，$A B=B A, C(A+B)=-B A^{-1}$ ．证明：$r(C)=r(B)$ ，且 -1 不是 $C A$ 的特征值．

3．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 正定，则实常数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

5．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{2} x_{3}(\lambda>0)$ 经过正交变换 $X=Q Y$ 化为标准形 $y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，则实参数 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

九．（ 15 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A-B$ 。证明： （1）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $B$ 的特征值： （2）若 $B$ 相似于对角矩阵，则有可逆矩降 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 均为对角矩阵．

3、设矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{3}$ 阶矩阵，特征值是 $\mathbf{1}, 2,3$ ，则 $$ \left(A^{2}\right)^{*}+\left(A^{-1}\right)^{*}+\left(A^{*}\right)^{*} $$ 的全部特征值为 $\_\_\_\_$。

四、设 4 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵方程： $$ \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right]^{-1} X A^{-1}=2 A X+12 E_{4} $$

3．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n} & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ，其中 $\displaystyle a_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ．

四．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & a^{2} \\ \frac{1}{a} & 0 & a \\ \frac{1}{a^{2}} & \frac{1}{a} & 0\end{array}\right)$ ，求三阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\Lambda$ ，且求 $\displaystyle A^{n}$ ．

6．（20 分）解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $$ C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc} E_{s} & O \\ O & -E_{n-s} \end{array}\right) $$ （2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有 $$ \left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n} $$ 成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．

七．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & \omega & c \\ 0 & 0 & \omega^{2} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle a, b, c$ 为任意数，$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ 及 $\displaystyle A^{-1}$ ．

4、已知 $n$ 阶方阵 $A, B$ 都可逆，且 $X=\left(\begin{array}{ll}O & B \\ A & O\end{array}\right)$ ，则 $X^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

4、设 $V$ 为数域 $R$ 上的 4 维空间向量，$a_{1}=(0,1,2,1), a_{2}=(1,-1,1,1), a_{3}=(1,2,-1,0)$ ． $a_{4}=(7,1,-1,3)$ 的子空间 $V_{1}=L\left(\alpha_{1}, a_{2}\right), V_{2}=L\left(a_{3}, a_{4}\right)$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的基和维数．

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上无零点的实值连续函数，且满足 $\displaystyle f(2024)+f(2025)=2026$ ． 证明：对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{R}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1+f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ f\left(x_{1}\right) & 1+f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & 1+f\left(x_{n}\right)\end{array}\right)$是可逆矩阵．

1．假如 $A$ 是 4 阶整数矩阵，其有特征值 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ ，那么在复数范围内 $A$ 的相似标准型为 $\_\_\_\_$ ， $\left|2 \sqrt{5} E-A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

3．已知矩阵 $C$ 的极小多项式为 $(\lambda-a)^{2}(\lambda-b)^{3}(\lambda-c)^{4}$ ，而 $a, b, c$ 是互异的实数．假设 $$ A=C^{4}+C^{3}+C^{2}+C+E, B=C^{4}+2 C^{2}+3 E $$ 证明：$|A+B| \geq|A|+|B|$ ．

5．假如 $A^{*}$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ 的伴随矩阵，$A$ 的行列式等于 $-1, \xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $A^{*}$ 的对应特征值 $\lambda_{0}$ 的特征向量，求 $A$ 所相似的 Jordan 标准型．

2．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right) $$ 若 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{4} A\right)^{*}\right]^{-1} B A^{-1}=\frac{1}{2} A B+6 E$ ，求 $B$ ．

7．用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，设 $\displaystyle f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\displaystyle A=f(J)$ ． （1）求 $J$ 的全部特征值及特征向量． （2）求 $A$ 的所有特征子空间． （3）问 $A$ 是否可对角化？若可以，求可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵．

3．设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & & & \\ & 1 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -1 \\ & & & & 1\end{array}\right)$ ．求 $\displaystyle A^{-1}$ ．

5．已知 $V$ 为有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \mathscr{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \mathscr{A}$ ． （2）证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为单射． （3）举例说明 $V$ 为无限维线性空间时，（2）不成立．

7．设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle A^{2}$ 在复数域上可相似对角化，证明：$A$ 在复数域上可相似对角化．

7．设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．若存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角矩阵，则称 $A$ 在数域 $K$ 上可相似上三角化．证明： （1）数域 $K$ 上的矩阵 $A$ 可相似上三角化的充要条件是 $A$ 的所有复特征值都在数域 $K$ 中． （2）若数域 $K$ 上的矩阵 $\displaystyle A, B$ 均可相似上三角化，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A, B$ 可同时相似上三角化，即存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q, Q^{-1} B Q$ 同时为上三角矩阵。 （3）若 $\displaystyle A B=B A$ ，其中 $B$ 还是幂零矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A+B)$ ．

9．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令 $$ V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. } $$ 证明： （1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。 （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换． （4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

5．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上向量，证明：$\displaystyle E_{n}+\alpha \beta^{T}$ 可逆当且仅当 $\displaystyle 1+\alpha^{T} \beta \neq 0$ 并求 $\displaystyle \left(E_{n}+\alpha \beta^{T}\right)$ 的逆．

3．设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维列向量 $\alpha=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $n$ 维向量 $\alpha=(t, 0, \cdots, 0, t)^{\mathrm{T}}, t \neq 0, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B=E+\frac{1}{t} \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（可能有误）设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 是 $V$ 的两组基，设 $\mathscr{A}$ 是 $V$上的线性变换， $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $A, \mathscr{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵为 $B$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{array}\right) . $$ 求 $y$ 的值，并求由基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 的过渡矩阵 $P$ ．

10．已知 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1 \end{array}\right) $$ 且二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}}\left(A^{\mathrm{T}} A\right) X$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换将 $f$ 化为标准形．

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

12．设 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A B=B+2 A$ ，且 $B$ 相似于对角矩阵，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都是对角矩阵．

15．解答如下问题： （1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵 $$ B=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1} \end{array}\right) . $$ 记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。 （2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于 $$ \left(\begin{array}{llll} c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\ c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1} \end{array}\right) $$

六、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，请把 $A$ 分解为一个可逆矩阵 $B$ 和一个幂等矩阵 $C$（即 $\displaystyle C^{2}=C$ ）的乘积。 $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle \_\_\_\_$

十、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}\end{array}\right)$ ． （1）试把 $A$ 表示为一个 $n$ 级可逆矩阵 $T$ 的多项式； （2）证明：所有的 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化． 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$高等代数 （共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2

7、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，证明： $\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原像及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基．

八、（ 20 分）设 $A$ 是 $n$ 级实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=2 A+3 E_{n}$ 。证明：（1）$A$ 相似于一个对角矩阵；（2）$\displaystyle A+2 E_{n}$是可逆矩阵．

8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．

三、（15分）设矩阵 $\displaystyle A, C$ 分别为 $n$ 级和 $m$ 级可逆矩阵，$\displaystyle B, D$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $$ |C| \cdot\left|A-B C^{-1} D\right|=|A| \cdot\left|C-D A^{-1} B\right| . $$

4．（20 分）已知矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 8\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，求矩阵 $B$ ．

10．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。注记：$\displaystyle T^{*}$ 表示方阵 $T$ 的伴随矩阵。

2．（15 分）设 $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right), $$ 求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $\displaystyle A^{-1}$ 及伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ ．

6．（20分）设矩阵 $\displaystyle A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle B, C$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵． 证明：（1）$\displaystyle \left\ \begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right\ =\ A\ \cdot\left\ D-C A^{-1} B\right\$ ； （2）秩 $\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)-$ 秩 $\displaystyle \left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$ ．

5．若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A+E$ 可逆，且有 $\displaystyle f(A)=(E-A)(E+A)^{-1}$ ，证明： （1）$\displaystyle (E+f(A))(E+A)=2 E$ ； （2）$\displaystyle f(f(A))=A$ ．

3．求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ * & * & * \\ * & * & *\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

三．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & 2 B \\ -4 B & B\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $$ f(\lambda)=|\lambda E-(A+2 B)||\lambda E-(A-2 B)| . $$

六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．

7．设三阶矩阵 $A$ 满足 $|E-A|=|2 E-A|=0$ ，且 $E+A$ 不可逆，则 $\left|E+A^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

五．（20 分）设偶数阶的实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{3}+7 A^{2}+14 A+8 E=0$ ，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 为负定矩阵．

2、设矩阵 $A, B$ 均可逆，那么 $\left(\begin{array}{cc}C & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。

四、（20分）证明：实数域上的每个可逆上三角矩阵均可以表示为一个主对角线上元素为 1 的上三角矩阵与一个可逆的对角矩阵的乘积，并且这种表示方式是唯一的。

7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为 $$ J=\left(\begin{array}{lll} J_{1} & & \\ & J_{2} & \\ & & J_{3} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式； （2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组； （3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．

5．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶复方阵，且有 $\displaystyle A B=B A$ ． （1）设 $\displaystyle \lambda_{1}$ 是 $A$ 的特征值，$\displaystyle V_{\lambda_{1}}$ 是对应的特征子空间，证明：对任意的 $\displaystyle X \in V_{\lambda_{1}}$ ，有 $\displaystyle B X \in V_{\lambda_{1}}$ ； （2）证明：$\displaystyle A, B$ 有公共的特征向量； （3）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都为对角矩阵．

7．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ll} B & C \\ C^{\prime} & O \end{array}\right) $$ 其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．

1．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，若 $n=2$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ，若 $n>2$ ，且 $\operatorname{rank}(A)= n-1$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $M_{n}(\mathbb{R})$ 是所有 $n$ 阶实方阵构成的实向量空间，那么它的由所有迹等于 0 的方阵构成的子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为不可逆线性变换，证明：存在线性变换 $\displaystyle \mathscr{B} \neq 0$ 满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}=0$ ．

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^{*}$ 是其伴随矩阵，若 $\operatorname{det}(A)=2$ ，则 $\operatorname{det}\left(\left(3 A^{*}\right)^{-1}+2 A\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{2}=A, \operatorname{rank}(A)=r$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+2 E_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

11．设 $A$ 是三阶实对称矩阵， 1 是 $A$ 的一个特征值， $\operatorname{tr}(A)=5$ ． （1）若存在无穷个多个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该对角阵并说明理由． （2）若只有有限个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该类正交阵 $R$ 的个数．

3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．