安徽师范大学 2021年 第七题
七、（15分）设 5 阶 $\displaystyle \lambda$－短阵 $\displaystyle A(\lambda)$ 的秩为 4 ，其初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1,(\lambda+1)^{2}$ ，求 $\displaystyle A(\lambda)$的行列式因子、不变因子及标准形。
山东大学 2022年 第一-1题
1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m}
$$
线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．
厦门大学 2020年 第一-6题
6．设 $F$ 是数域，
$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\
& V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\}
\end{aligned}
$$
则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。
华东师范大学 2018年 第5题
5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\
-1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\
1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6
\end{array}\right)
$$
（2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\
\operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) .
\end{aligned}
$$
现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。
（3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证：
$$
V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)),
$$
这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。