矩阵-矩阵的秩

六．设 $$ X=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵．$\displaystyle B^{\prime}=C$ ，证明：存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{\prime} X T$ 为分块对角阵。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, B \in P^{n \times m}, C \in P^{m \times n}, A$ 可逆。证明分块阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & O\end{array}\right)$可逆的充要条件 $\displaystyle C A^{-1} B$ 可逆。

2．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵，$\displaystyle B^{\mathrm{T}}=C$ ． （1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵． （2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．

1．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块为 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right), \operatorname{det}(A)=1$ ，令 $$ B=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}, 2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \cdots,(n-1) \alpha_{n-1}-\alpha_{n}, n \alpha_{n}-\alpha_{1}\right) . $$ 求 $\operatorname{det}(B)=$ $\_\_\_\_$ ．

三．（14 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆方阵，$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 为 $P$ 上的 $n$ 维列向量． （1）试用分块矩阵理论证明：$\displaystyle \left|A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right|=|A|\left(1-\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ． （2）当 $\displaystyle \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha=k \neq 1$ 时，求 $\displaystyle A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 的逆矩阵。

6．（10 分）给定 $\displaystyle m+n$ 阶分块方阵 $$ A=\left(\begin{array}{cc} 0_{m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & 0_{n} \end{array}\right), $$ 证明：若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle -\lambda$ 也为 $A$ 的特征值．

9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ． （b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式 $$ A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{2}^{\top} & A_{4} \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ． （c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\} $$

二．设 $\displaystyle A, B$ 均为 2 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}, B^{*}$ 分别为 $\displaystyle A, B$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle |A|=-2,|B|=-4$ ，请给出分块矩阵 $$ \left(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right) $$ 的伴随矩阵（用 $\displaystyle A^{*}, B^{*}$ 表示）．

六．（15 分）设 $\displaystyle A=\binom{A_{1}}{A_{2}}$ 是数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 阶可逆分块矩阵，记 $$ W_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{1} X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{2} X=0\right\} $$ 证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．

3．已知矩阵 $C$ 的极小多项式为 $(\lambda-a)^{2}(\lambda-b)^{3}(\lambda-c)^{4}$ ，而 $a, b, c$ 是互异的实数．假设 $$ A=C^{4}+C^{3}+C^{2}+C+E, B=C^{4}+2 C^{2}+3 E $$ 证明：$|A+B| \geq|A|+|B|$ ．

4．（10分）设 M 为半正定矩阵，且可以分块成 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & D\end{array}\right)$ ，其中 A 为方阵，设 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M), \lambda_{\text {max }}(A), \lambda_{\text {max }}(D)$ 分别是 $\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M) \leq \lambda_{\text {max }}(A)+\lambda_{\text {max }}(D)$ ．

7．称一复方阵 $N$ 为正规矩阵，如果 $\displaystyle \bar{N}^{T} N=N \bar{N}^{T}$（转置共轭）。 证明：（1）若一上三角阵为正规矩阵，则其为对角矩阵；（2）若分块矩链 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}N_{1} & N_{2} \\ 0 & N_{3}\end{array}\right)$为正规矩阵，则 $\displaystyle N_{2}$ 为零矩阵。